校本作业29函数y=Asin(wx+φ)及三角函数性质-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业29《函数及三角函数应用》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．函数f(x)＝－2cos的振幅、初相分别是(　　) A．－2， B．－2，－ C．2， D．2，－ 2．函数f(x)=3sin的一个单调递增区间是 (　) A． B．C． D． 3．(苏州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位长度后对应的函数为偶函数，则f 等于(　　) A．－ B． C．1 D． 4．(全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　) A． B． C． D． 5．(课标全国Ⅰ，理)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 6．[揭阳二模] 函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图K25-2所示,则f(x)的单调递减区间为 (　) A．,k∈Z B．,k∈Z C．,k∈Z D．,k∈Z 7．已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（       ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 D．函数在区间上的单调递减区间为 8．将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（       ） A． B．2 C．3 D．6 9．(多选)关于函数f(x)＝2cos2x－cos－1的描述正确的是(　　) A．其图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在[0，π]上有3个零点 D．f(x)在上的最小值为－ 10．(多选)将函数f(x)＝cos(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(0)＝－1，则下列说法正确的是(　　) A．g(x)为奇函数 B．g＝0 C．当ω＝5时，g(x)在(0，π)上有4个极值点 D．若g(x)在上单调递增，则ω的最大值为5 11．(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ),则下列叙述正确的是 (　) A．R=6,ω=,φ=-B．当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6 C．当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减 D．当t=20时,|PA|=6 *12．（多选）设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（       ） A．的周期为 B．的单调递减区间为 C．的对称轴为 D．的图象可由的图象向左平移个单位得到 二、填空题 13．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元． 14．将函数f(x)=sin 2x+2cos2x-1的图像向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图像,对于满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,当|x1-x2|的最小值为时,φ=___________ 15．[福建漳州质检] 已知ω>0,φ>0,将函数f(x)=2cos+1的图像向右平移φ个单位长度得到g(x)的图像,若函数g(x)与函数h(x)=4sin的极值点完全相同,则ω=　　　　,φ的最小值为　　　　.  16．（全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________． 三、解答题 17．如图K25-4,已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像与y轴交于点,且为该图像的最高点. (1)求函数f(x)在[0,π]内的零点;(2)若函数y=f(λx)在内单调递增,求正实数λ的取值范围. 图K25-4 18．如图K23-1,现要在一块半径为1,圆心角为的扇形铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设∠BOP=θ,平行四边形MNPQ的面积为S. (1)求S关于θ的函数关系式;(2)求S的最大值及相应的θ的大小. 图K23-1 19．已知数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域. （3）对于第（2）问中的函数，记方程在，上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值. 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业29《函数及三角函数应用》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．函数f(x)＝－2cos的振幅、初相分别是(　　) A．－2， B．－2，－ C．2， D．2，－ 答案　C 解析　振幅为2，当x＝0时，φ＝，即初相为. 2．函数f(x)=3sin的一个单调递增区间是 (　) A． B．C． D． 答案A　[解析] f(x)=3sin=-3sin,由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=0时,≤x≤,所以函数f(x)的一个单调递增区间是,故选A. 3．(苏州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位长度后对应的函数为偶函数，则f 等于(　　) A．－ B． C．1 D． 答案　D 解析　因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π， 所以ω＝＝2， 所以f(x)＝sin(2x＋φ)， 图象向左平移个单位长度后所得函数为 y＝sin＝sin， 因为y＝sin是偶函数， 所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)， 所以φ＝－＋kπ(k∈Z)， 因为|φ|<， 所以k＝0，φ＝－， 所以f(x)＝sin， 所以f ＝sin＝sin ＝. 4．(全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由图可得，函数图象过点，所以cos＝0.又是函数f(x)的图象与x轴负半轴的第一个交点，所以－·ω＋＝－，解得ω＝.所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝.故选C． 5．(课标全国Ⅰ，理)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 答案　D 解析　本题考查三角函数图象的变换、诱导公式．C1：y＝cosx可化为y＝sin，所以C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得函数y＝sin(2x＋)的图象，再将得到的曲线向左平移个单位长度得y＝sin，即y＝sin的图象，故选D. 6．[揭阳二模] 函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图K25-2所示,则f(x)的单调递减区间为 (　) 图K25-2 A．,k∈Z B．,k∈Z C．,k∈Z D．,k∈Z 答案.D　[解析] 由题图得f(0)=2cos φ=,∴cos φ=,∴φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,∵f=2cos=0,∴ω+= +2kπ,k∈Z,不妨取ω=π,∴f(x)=2cos.令2kπ≤πx+≤π+2kπ,k∈Z,则2k-≤x≤2k+,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z.故选D. 7．已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（       ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 D．函数在区间上的单调递减区间为 【答案】C 【解析】根据函数的图象，可知， 当时，满足，则，即， 因为，所以，可得． 对于A中，当时，，可得函数的图象不关于直线对称，所以A项错误； 对于B中，当时，，可得函数的图象不关于点对称，所以B项错误； 对于C中，因为，将其图象向左平移个单位，可得函数的图象，所以C项正确； 对于D中，因为，所以，所以当，即时，单调递减，所以D项错误． 8．将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（       ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】A 【解析】将函数的图象分别向左平移个单位长度后， 可得 将函数的图象分别向右各平移个单位长度后， 可得， 因为函数与的对称中心重合，所以， 即，解得， 所以的最小值为. 故选：A. 9．(多选)关于函数f(x)＝2cos2x－cos－1的描述正确的是(　　) A．其图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在[0，π]上有3个零点 D．f(x)在上的最小值为－ 答案　AD 解析　f(x)＝2cos2x－cos－1 ＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 对于A，由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度， 得到y＝sin＝sin， 故选项A正确； 对于B，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选项B不正确； 对于C，令f(x)＝0，得2x＋＝kπ，k∈Z， 解得x＝－，k∈Z， 因为x∈， 所以k＝1，x＝π； k＝2，x＝π，所以f(x)在[0，π]上有2个零点，故选项C不正确； 对于D，因为x∈， 所以2x＋∈， 所以sin∈， 所以f(x)∈， 所以f(x)在上的最小值为－， 故选项D正确． 10．(多选)将函数f(x)＝cos(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(0)＝－1，则下列说法正确的是(　　) A．g(x)为奇函数 B．g＝0 C．当ω＝5时，g(x)在(0，π)上有4个极值点 D．若g(x)在上单调递增，则ω的最大值为5 答案　BCD 解析　由题意得g(x)＝cos ＝sin. 因为g(0)＝－1，所以sin＝－1， 所以＝2kπ＋，ω＝4k＋1，k∈N， 从而g(x)＝sin＝－cos ωx， 显然为偶函数，故A错误； g＝－cos ＝0，故B正确； 当ω＝5时，g(x)＝－cos 5x， 令g(x)＝－cos 5x＝±1得 5x＝kπ，x＝，k∈Z. 因为0<x<π，所以x的值为，，，，即函数g(x)在(0，π)上有4个极值点，故C正确；若函数g(x)＝－cos ωx在上单调递增，则≤π，即0<ω≤5，故D正确． 11．(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图K25-3是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ),则下列叙述正确的是 (　) 图K25-3 A．R=6,ω=,φ=- B．当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6 C．当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减 D．当t=20时,|PA|=6 答案ABD 　[解析] 由题意可知周期T=60,所以=60,解得ω=,又从点A(3,-3)出发,所以R=6,所以f(t)=6sin,所以f(0)=6sin φ=-3,又|φ|<,所以φ=-,故A正确;y=6sin,当t∈[35,55]时,t-∈,则sin∈[-1,0],即y∈[-6,0],点P到x轴的距离为|y|,所以点P到x轴的距离的最大值为6,故B正确;当t∈[10,25]时,t-∈,所以函数y=6sin在[10,25]上不单调,故C不正确;当t=20时,t-=,则y=6sin=6,且x=6cos=0,所以P(0,6),则|PA|==6,故D正确.故选ABD. *12．（多选）设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（       ） A．的周期为 B．的单调递减区间为 C．的对称轴为 D．的图象可由的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【解析】由在区间上具有单调性知，的周期T满足，所以，又因为，所以，在同一个周期内且，故的一条对称轴为，又由知的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以，得，即，A正确． 又因为的一个对称中心为，所以，，由知，，故. ，解得，，B正确； ，，，C错误； 的图象向左平移个单位得，D正确． 故选：ABD． 二、填空题 13．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元． 答案　6 000 解析　作出函数简图如图． 三角函数模型为y＝Asin(ωx＋φ)＋B， 由题意知A＝×(9 000－5 000)＝2 000， B＝×(9 000＋5 000)＝7 000， T＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝＝. 将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有×3＋φ＝，∴φ＝0， 故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)． ∴f(7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000(元)． 故7月份的出厂价格为6 000元． 14．将函数f(x)=sin 2x+2cos2x-1的图像向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图像,对于满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,当|x1-x2|的最小值为时,φ=___________ [解析] f(x)=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin,将f(x)的图像向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图像,即g(x)=2sin=2sin,由|f(x1)-g(x2)|=4,易得f(x1)=2,g(x2)=-2或f(x1)=-2,g(x2)=2,不妨设f(x1)=2,g(x2)=-2,则2x1+=2k1π+,k1∈Z,2x2-2φ+=2k2π-,k2∈Z,两式作差得2x1-2x2=2k1π+-2k2π+-2φ=2π-2φ,即x1-x2=π-φ,则|x1-x2|=,∴当k1-k2=0时,|x1-x2|取得最小值,∴φ= 15．[福建漳州质检] 已知ω>0,φ>0,将函数f(x)=2cos+1的图像向右平移φ个单位长度得到g(x)的图像,若函数g(x)与函数h(x)=4sin的极值点完全相同,则ω=　　　　,φ的最小值为　　　　.  .3　　[解析] 将函数f(x)=2cos+1的图像向右平移φ个单位长度得到g(x)的图像,则g(x)=2cos+1,∵函数g(x)与函数h(x)=4sin的极值点完全相同,∴ω=3,令3x-3φ+=kπ,ωx-=nπ+,k,n∈Z,则+φ-=+,即+φ-=+,∴φmin=. 16．（全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________． 【答案】2 【分析】由图可知，即，所以； 由五点法可得，即； 所以. 因为，； 所以由可得或； 因为，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即， 解得，令，可得， 可得的最小正整数为2. 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2. 故答案为：2. 三、解答题 17．如图K25-4,已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像与y轴交于点,且为该图像的最高点. (1)求函数f(x)在[0,π]内的零点; (2)若函数y=f(λx)在内单调递增,求正实数λ的取值范围. 图K25-4 .解:(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像知A=1, 则f(0)=sin φ=-, 又|φ|<,所以φ=-. 由f=sin=1, 结合图像知ω-=,解得ω=2, 所以f(x)=sin. 令f(x)=0,得sin=0, 解得2x-=kπ,k∈Z,所以x=+,k∈Z. 令k=0,得x=,令k=1,得x=, 所以函数f(x)在[0,π]内的零点是和. (2)由(1)知函数y=f(λx)=sin,λ>0, 当x∈时,2λx-∈, 令λπ-≤,解得λ≤, 所以正实数λ的取值范围是. 18．如图K23-1,现要在一块半径为1,圆心角为的扇形铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设∠BOP=θ,平行四边形MNPQ的面积为S. (1)求S关于θ的函数关系式; (2)求S的最大值及相应的θ的大小. 图K23-1 .解:(1)如图,分别过点P,Q作PD⊥OB于点D,QE⊥OB于点E,则易知四边形QEDP为矩形. 由扇形的半径为1,得PD=OPsin θ=sin θ, OD=OPcos θ=cos θ.又OE=QE=PD, ∴MN=QP=DE=OD-OE=cos θ-sin θ, ∴S=MN·PD=·sin θ=sin θcos θ-sin2θ,θ∈. (2)由(1)知S=sin θcos θ-sin2θ=sin 2θ-(1-cos 2θ)=sin 2θ+cos 2θ-=sin-, ∵θ∈, ∴2θ+∈,∴sin∈, ∴当θ=时,S取得最大值,且Smax=. 19．已知数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域. （3）对于第（2）问中的函数，记方程在，上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值. 【解析】（1）由题意，函数 因为函数图像的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得. 故 （2）将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像. 再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图像. 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域. （3）由方程，即，即， 因为，可得，设，其中，即， 结合正弦函数的图像， 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即解得 所以. 17 学科网（北京）股份有限公司 $