第1讲 集 合-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第1讲 集 合 第1讲 集 合 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！- 2 - 最新考题尽在“功夫”！- 1 - 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1．了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义． 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 4.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 元素与集合关系的判断 知识： 方法： 【例1】1．（2023•上海）已知，，，，若，，则　　 A． B． C． D．，2， 2．(2018全国卷Ⅱ)已知集合， 则中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 【拓展练习】1．（2012全国理）已知集合， ，则中所含元素的个数为 A． B． C． D． 集合的包含关系判断及应用 知识： 【例2】1.（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　 A．2 B．1 C． D． 2．（2021•上海）已知集合，，，，则下列关系中，正确的是　　 A． B． C． D． 【拓展练习】3．（2024·贵州黔南·二模）已知非空集合，，均为的真子集，且且.则（    ） A． B． C． D． 集合的运算 【例3】1．（2024全国Ⅰ卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024北京）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2024全国甲理）集合，则（    ） A． B． C． D． 【拓展练习】4.（2024全国甲文）集合，，则（    ） A． B． C． D． 集合的新定义问题 【例4】1．（2015湖北）已知集合，，定义集合 ，则中元素的个数为 A．77 B．49 C．45 D．30 2.设有限集合A={a1,a2,…,an},则ai叫做集合A的和,记作SA。若集合P={x|x=2n-1,n∈N*,n≤4},集合P的含有3个元素的全体子集分别为P1,P2,…,Pk,则= 。  思维升华　集合新定义问题的“三定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 【拓展练习】　(1)(2023·河南南阳一中月考)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．sin α＋cos α 容斥原理 在计数时,先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 (1)二元容斥原理 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) (2)三元容斥原理 card(A∪B∪C) =card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)- card(C∩A)+card(A∩B∩C)。 【例5】“生命在于运动”,在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中,某学校会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若会至少其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为　　　　。  【拓展练习】　某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数占该校学生总人数的比例是( ) A.62% B. 56% C. 46% D.42% 课外内容 【例6】(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(　　) A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群 B．G＝∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．G＝{m＋n|m，n∈Z}关于数的加法构成群 $$ “功夫”2025届第一轮精练 第1讲 集 合 第1讲 集 合 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！- 2 - 最新考题尽在“功夫”！- 1 - 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1．了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义． 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 4.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 元素与集合关系的判断 知识： 方法： 【例1】1．（2023•上海）已知，，，，若，，则　　 A． B． C． D．，2， 【解析】，，，，，， ．故选：． 2．(2018全国卷Ⅱ)已知集合， 则中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 【解析】通解 由知，，． 又，，所以，， 所以中元素的个数为，故选A． 优解 根据集合的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆中有9个整点，即为集合的元素个数，故选A． 【拓展练习】1．（2012全国理）已知集合， ，则中所含元素的个数为 A． B． C． D． 【解析】列举法得出集合 ，共含个元素．故答案选. 集合的包含关系判断及应用 知识： 【例2】1.（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　 A．2 B．1 C． D． 【解析】依题意，或， 当时，解得， 此时，，，0，，不符合题意； 当时，解得， 此时，，，，，符合题意．故选：． 2．（2021•上海）已知集合，，，，则下列关系中，正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】已知集合，，，， 解得或，， ，，； 则，，故选：． 【拓展练习】3．（2024·贵州黔南·二模）已知非空集合，，均为的真子集，且.则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为， 对于选项A：可知，故A错误； 对于选项B：因为，所以为的真子集，故B错误； 对于选项C：可知为的真子集，故C正确； 对于选项D：因为为的真子集，且， 所以，故D正确； 故选：CD. 集合的运算 【例3】1．（2024全国Ⅰ卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，且注意到， 从而.故选：A. 2．（2024北京）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，故选：A. 3.（2024全国甲理）集合，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 则， 故选：D 【拓展练习】4.（2024全国甲文）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是.故选：A 集合的新定义问题 【例4】1．（2015湖北）已知集合，，定义集合 ，则中元素的个数为 A．77 B．49 C．45 D．30 【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合 的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个． 2.设有限集合A={a1,a2,…,an},则ai叫做集合A的和,记作SA。若集合P={x|x=2n-1,n∈N*,n≤4},集合P的含有3个元素的全体子集分别为P1,P2,…,Pk,则= 。  【解析】　由题意知集合P={1,3,5,7},其三元素子集为{1,3,5},{1,3,7},{1,5,7},{3,5,7},故=9+11+13+15=48。 思维升华　集合新定义问题的“三定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 【拓展练习】　(1)(2023·河南南阳一中月考)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．sin α＋cos α 【解析】因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0,1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0. 容斥原理 在计数时,先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 (1)二元容斥原理 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) (2)三元容斥原理 card(A∪B∪C) =card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)- card(C∩A)+card(A∩B∩C)。 【例5】“生命在于运动”,在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中,某学校会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若会至少其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为　　　　。  【解析】　设A={x|x是会打乒乓球的教师},B={x|x是会打羽毛球的教师},C={x|x是会打篮球的教师},根据题意得到card(A)=30,card(B)=60,card(C)=20,card(A∪B∪C)=80,card(A∩B∩C)=5,由三元容斥原理card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C),得card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)=35,而card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次,于是要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数。因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3×5=20。 【拓展练习】　某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数占该校学生总人数的比例是( ) A.62% B. 56% C. 46% D.42% 【解析】　设该中学的学生总人数为m,喜欢足球的学生组成集合A,喜欢游泳的学生组成集合B,则card(A)=60%m,card(B)=82%m,card(A∪B)=96%m,所以card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)=46%m。故选C。 课外内容 【例6】(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(　　) A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群 B．G＝∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．G＝{m＋n|m，n∈Z}关于数的加法构成群 【解析】　对于A，若G＝{－1,0,1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G， 满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1， 但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误； 对于B，因为a＝∈G，且b＝3∈G，但a·b＝×3＝∉G，故B错误； 对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R， 满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0， ∀a∈R，∃b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确； 对于D，若G＝{m＋n|m，n∈Z}， 则对所有的a＝m1＋n1，b＝m2＋n2∈G， 有a＋b＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)∈G，∀a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立， 当a＝b＝0时，a＋b＝0，满足②的e＝0，即②成立， ∀a＝m＋n∈G，∃b＝－m－n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正确． $$