第03讲 导数与函数的极值、最值(高考高频考点）( 8大题型+ 1类易错）-【练透核心考点—新结构新定义】备战2025年高考数学一轮复习高频题型疯狂练（新教材新高考）

第03讲 导数与函数的极值、最值 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查根据图象判断极值（点） 1 题型二：重点考查利用导数求函数的极值（点） 4 题型三：重点考查利用函数的极值求参数 6 题型四：重点考查利用函数的极值个数求参数 8 题型五：重点考查利用导数求函数的最值 10 题型六：重点考查利用导数求函数（含参）中的最值问题 12 题型七：重点考查根据函数的最值求参数 14 题型八：重点考查极值，最值，单调性的综合问题 16 第二部分：易错篇 19 易错一：已知极值（点）求参数，注意回代检验 19 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查根据图象判断极值（点） 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 例题2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 例题3．（2024高二·江苏·专题练习）已知函数，其导函数的图象经过点，如图，则下列说法中不正确的是 填序号 ①当时，函数取得最小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 精练高频考点 1．（23-24高二下·广东佛山·期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 2．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ①有2个极值点 ②在处取得极小值 ③有极大值，没有极小值 ④在上单调递增 题型二：重点考查利用导数求函数的极值（点） 典型例题 例题1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 例题2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 例题3．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）设，为实数，且，函数. (1)讨论的单调性； (2)设，函数，试问是否存在极小值点?若存在，求出的极小值点；若不存在，请说明理由. 精练高频考点 1．（23-24高二下·青海海南·期中）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. 2．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，求： (1)函数的图象在点处的切线方程； (2)的单调递减区间； (3)求的极大值和极小值． 3．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的极值点； 题型三：重点考查利用函数的极值求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 例题2．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 例题3．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数在区间内有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)若的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围. 精练高频考点 1．（2024·重庆·模拟预测）已知 (1)若在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)若存在极值点，求a的取值范围． 2．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数且为常数）. (1)当，求函数的最小值； (2)若函数有2个极值点，求的取值范围； 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 题型四：重点考查利用函数的极值个数求参数 典型例题 例题1．（2024·安徽·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)若函数在上有2个极值点，求实数的取值范围. 例题2．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若在上没有极值点，求的取值范围． 例题3．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围． 精练高频考点 1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，. (1)求函数单调区间； (2)若函数在有两个极值点，求实数的取值范围. 2．（2024·河北·三模）已知函数． (1)若是的一个极值点，求的值； (2)若有两个极值点，，其中，求的取值范围． 3．（2024·山西晋中·三模）已知函数， (1)讨论的单调性； (2)若函数存在两个极值点，求实数的取值范围． 题型五：重点考查利用导数求函数的最值 典型例题 例题1．（23-24高二下·新疆喀什·期中）已知函数，为的导函数． (1)求函数的单调性； (2)求函数在上的最大值和最小值． 例题2．（23-24高二下·安徽淮北·期末） 已知函数的图象过点，且 (1)求的值; (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 例题3．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知函数在处有极值. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值. 精练高频考点 1．（23-24高二下·上海·期末）已知．求： (1)函数的单调区间及极值； (2)函数在区间上的最大值与最小值． 2．（23-24高二下·江苏盐城·开学考试）已知是函数的极值点，曲线在点处的切线斜率为． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值． 3．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . (1)求 的值； (2)求 在区间 上的最大值与最小值. 题型六：重点考查利用导数求函数（含参）中的最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数在区间上的最小值． 例题2．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)求在区间上的最小值． 例题3．（23-24高二上·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最小值． 精练高频考点 1．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习） 已知函数， (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在区间上的最大值． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求函数在上的最小值. 3．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数， (1)讨论的单调性； (2)若函数在闭区间上的最大值为，求a的范围． 题型七：重点考查根据函数的最值求参数 典型例题 例题1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数的一个极值为． (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最大值为18，求实数与的值． 例题2．（23-24高二下·四川德阳·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的零点个数； (2)若函数在区间上取得最小值4，求的值． 例题3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数． (1)当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程； (2)证明：函数有3个零点； (3)若在区间上有最小值，求的取值范围． 精练高频考点 1．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 3．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 题型八：重点考查极值，最值，单调性的综合问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)指出极值点的个数，并说明理由. 例题2．（23-24高二下·江西·期末）已知函数. (1)当时，求函数极值； (2)讨论在区间上单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 例题3．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知函数，设. (1)若，求的单调区间； (2)若在区间上存在极小值m， （ⅰ） 求的取值范围； （ⅱ）证明：． 精练高频考点 1．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数． (1)求函数的极值； (2)设函数的导函数为，若（），证明：． 2．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知函数（为实数） (1)若，求的单调区间； (2)若，求在的最值； (3)若恒成立，求的取值范围. 3．（23-24高二下·黑龙江·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在两个极值点，，记，若恒成立，求实数的取值范围． 第二部分：易错篇 易错一：已知极值（点）求参数，注意回代检验 典型例题 例题1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数． (1)若函数在处有极值，求的值； 例题2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知函数． (1)若在处取得极值，讨论的单调性； 精练高频考点 1．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）已知函数在时取得极小值． (1)求实数，的值； 2．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数，若在处取得极值10，. (1)求的值； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 导数与函数的极值、最值 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：重点考查根据图象判断极值（点） 1 题型二：重点考查利用导数求函数的极值（点） 5 题型三：重点考查利用函数的极值求参数 10 题型四：重点考查利用函数的极值个数求参数 17 题型五：重点考查利用导数求函数的最值 22 题型六：重点考查利用导数求函数（含参）中的最值问题 27 题型七：重点考查根据函数的最值求参数 33 题型八：重点考查极值，最值，单调性的综合问题 40 第二部分：易错篇 50 易错一：已知极值（点）求参数，注意回代检验 50 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：题型篇 题型一：重点考查根据图象判断极值（点） 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 【答案】D 【分析】根据导函数的图象判断出其符号分布情况，进而可求出函数的单调区间及极值点，即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在和处取得极小值，在处取得极大值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 例题2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 【答案】A 【分析】通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值. 【详解】    由导函数图像可知： 导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减， 在上大于等于0，于是原函数在上单调递增， 所以原函数在处取得极小值，无极大值， 故选：A. 例题3．（2024高二·江苏·专题练习）已知函数，其导函数的图象经过点，如图，则下列说法中不正确的是 填序号 ①当时，函数取得最小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【答案】① 【分析】由函数图象分析得到是极大值点，是极小值点，从而判断出结论. 【详解】由图象可知，，2是函数的两极值点，所以②正确； 又当或时，，则此时单调递增； 当时，，则此时单调递减， 所以是极大值点，是极小值点，故③④正确， 由于不是极小值点，故当时，函数取不到最小值，①错误. 故答案为：①． 精练高频考点 1．（23-24高二下·广东佛山·期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】B 【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系，结合极值的定义逐一判断即可. 【详解】由图象可知，当时，， 所以函数在上单调递减，A错误； 当时， 所以函数在上单调递增，B正确，C错误； 函数在处取得极小值，D错误． 故选：B 2．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，结合图像，由函数极值的定义即可得到结果. 【详解】依题意，记函数的图像与轴的交点横坐标依次为 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以为极小值点，为极大值点，为极小值点 故极大值点有1个 故选:A 3．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ①有2个极值点 ②在处取得极小值 ③有极大值，没有极小值 ④在上单调递增 【答案】③④ 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调区间，进而确定极值情况即可得解. 【详解】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值， 因此①②错误；③④正确. 故答案为：③④ 题型二：重点考查利用导数求函数的极值（点） 典型例题 例题1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）先求出导数，再求出切线的斜率，再由点斜式方程求解； （2）求出导数，令，解得，再列表，给出函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，得 ， 又因为，故切点为， 所以切线方程为，即； （2）由（1）知，令，解得或3， ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的极大值为，极小值为． 例题2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为. 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）通过函数的导数研究函数的单调性，再求出函数极值点，求得极值. 【详解】（1）由，的定义域为， 得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2）， 由，得，或， 当或时，，在上均单调递增； 当时，，在上单调递减； 故函数在处取得极大值，极大值为； 在处取得极小值，极小值为. 故函数有极大值，也有极小值，极大值为，极小值为. 例题3．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）设，为实数，且，函数. (1)讨论的单调性； (2)设，函数，试问是否存在极小值点?若存在，求出的极小值点；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在极小值点，且极小值点为 【分析】（1）根据题意，对求导，分和两种情况讨论即可求解； （2）对求导，确定函数的单调区间，根据零点存在性定理即可说明是否存在极值点. 【详解】（1），，， 当时，，在区间上单调递增； 当，且时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）当时，，， 故. 令，，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，，， 故，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 故存在极小值点，且极小值点为. 精练高频考点 1．（23-24高二下·青海海南·期中）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)； (2)递增区间为，递减区间为，极大值，极小值. 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【详解】（1）函数，于是，求导得， 解得，所以所求切线方程为：，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值. 2．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，求： (1)函数的图象在点处的切线方程； (2)的单调递减区间； (3)求的极大值和极小值． 【答案】(1) (2)， (3)极大值为，极小值为 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程； （2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间； （3）根据（2）可求极值. 【详解】（1）由题意得：， ，又， 的图象在处的切线方程为，即. （2）由（1）知：， 当时，；当时，；的单调递减区间为，. （3）根据（2）可知，当为函数的极小值点，且， 当为函数的极大值点，且， 所以的极大值为，极小值为. 3．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的极值点； 【答案】(1) (2)的极大值点为0和；极小值点为 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义列式求解作答. （2）利用（1）的结论求出，再利用导数求出极值点作答. 【详解】（1）函数，求导得， 因为在处的切线方程为，于是，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得，求导得， 令，解得，显然恒有成立， 由，得或，函数递减； 由，得或，函数递增， 所以的极大值点为0和；极小值点为. 题型三：重点考查利用函数的极值求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当在上单调递增，无递减区间； 当在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，得到切线方程即可. （2）利用导数含参讨论单调性即可. （3）结合题意转化为不等式恒成立问题，利用导数判断函数单调性，再解不等式即可. 【详解】（1）， 当时，. 所以曲线在点处的切线方程，即. （2）由（1）知，， ①当时，在上单调递增，无递减区间， ②当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 综上：当在上单调递增，无递减区间， 当在上单调递增，在上单调递减. （3）因为有极大值，且极大值大于， 故，且在处取极大值， ，即， 令， 恒成立，在上单调递增， 又，当且仅当时成立， 故，当且仅当时成立， 因此的取值范围是. 例题2．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 例题3．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数在区间内有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)若的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出函数的导函数，令，令，依题意可得，即可求出的取值范围； （2）由（1）可得，再由，且，转化为关于的函数，再换元令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，则， 令， 设函数在区间内的两个极值点为，， 由韦达定理得，所以， 显然，，所以， 所以，即，解得. 此时，，列表如下： ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以. （2）因为，所以 . 由，得，且， 所以. 设，，令，， 则，所以在上单调递减， 从而，即， 所以实数的取值范围是. 精练高频考点 1．（2024·重庆·模拟预测）已知 (1)若在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)若存在极值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据已知条件有，解方程即可求出； （2）根据条件有在上至少有一个变号零点，即至少有一解，构造函数，对求导，利用导数判断函数单调性，求出函数最值，进而即得. 【详解】（1）因为，所以， 根据题意有，即，解得， 检验，此时，切线为，平行与轴，故符合题意. （2）因为，所以， 因为存在极值点，所以在上至少有一个变号零点， 即至少有一解，令， 则，令，即，解得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，又当时，， 所以. 2．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数且为常数）. (1)当，求函数的最小值； (2)若函数有2个极值点，求的取值范围； 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值； （2）首先求函数的导数，再设函数，利用导数分析函数的图象，转化为直线与的图象有2个交点，即可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最小值； （2）函数的定义域为，， 设，， 由，得， 列表如下： 减 极小值 增 当时，，当时，， 做出函数与的图像，如下图， 当时，直线与的图象有2个交点， 设这两个交点的横坐标分别为，且，由图可知， 当或时，， 当时，，此时函数有2个极值点， 所以的取值范围是. 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求出导函数的零点，再分，和三种情况讨论，即可得解. 【详解】（1）， 则， 所以曲线在处的切线方程为； （2）， 令，则， 当时，， 则在上单调递增，没有极小值点，与题意矛盾； 当，即时， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极小值点，符合题意； 当，即时， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极大值点，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为． 题型四：重点考查利用函数的极值个数求参数 典型例题 例题1．（2024·安徽·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)若函数在上有2个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）令，分离参数可得，由题意可得方程在上有2个根，构造函数，，利用导数求出其极值和单调区间即可得解. 【详解】（1）由题意得，， 故，解得， 而，故所求切线方程为，即； （2）令，则，故， 因为函数在上有2个极值点， 所以方程在上有2个根， 令，，则， 令，解得，故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且，当时，，当，， 故实数的取值范围为. 例题2．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若在上没有极值点，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）解不等式即可； （2）分两种情况：即在上恒成立，或在上恒成立。 【详解】（1）当时，，其定义域为， ， 由，得．由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）因为， ， 当时，， 若在上没有极值点，则在上单调， 即在上恒成立，或在上恒成立． 若在上恒成立，则，解得， 若在恒成立，则，解得． 综上所述，a的取值范围为． 例题3．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围． 【答案】(1)极小值1，无极大值 (2) 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值即可. （2）求出函数及导数，再探讨函数在上的零点情况即可得解. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，单调递减；当时，单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得极小值，无极大值. （2）函数， 求导得， 令，求导得， 令，即，解得， 当时，；当时，， 则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且，显然， 若在上存在极值，则或，解得， 所以实数的取值范围为. 精练高频考点 1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，. (1)求函数单调区间； (2)若函数在有两个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）通过求函数的导数，将分类，讨论函数的单调性； （2）通过导数将函数极值问题转化为方程在上有两个根即可. 【详解】（1）由题意可知，函数定义域为， 导数 时，恒成立 时，当；当 时，当；当 综上可知：时为常函数，无单调区间 时，单调增区间为：，单调减区间为： 时，单调增区间为：，单调减区间为：. （2）因为， 所以， 因为在上有两个极值点， 则，即在上有两个根， 令， 当时，，单调递减 当时，，单调递增 又因为时 ，，， 所以在上有2个极值点需满足. 综上所述，当时，函数在上有两个极值点. 2．（2024·河北·三模）已知函数． (1)若是的一个极值点，求的值； (2)若有两个极值点，，其中，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据极值点的概念求参数的值； （2）函数由两个极值点，转化为有两个不同的零点，再分离参数，转化为求函数的最值问题解决. 【详解】（1）易知， 又是的一个极值点，所以，即，所以， 此时， 令，， 所以在上单调递增，且， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，即符合题意， 因此的值为． （2）因为，且有两个极值点，， 所以方程在上有两个不同的根， 即方程有两个不同的正数根， 将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点， 则，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 且当时，，，故作出的图象如图所示： 由图象可知满足题意，即，即的取值范围为． 3．（2024·山西晋中·三模）已知函数， (1)讨论的单调性； (2)若函数存在两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）使用单调性的定义和导数即可判断单调性； （2）先用导数确定的单调性，然后利用零点存在定理分情况讨论的零点个数，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由，知. 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，有， 从而对和有，对有. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）由于，故. 记，则. 从而对有，对有. 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，对均有，所以不可能有两个零点，从而不可能有两个极值点； 当时，由，，，结合零点存在定理可知存在两个零点，. 再结合的单调性知在时取正值，在时取负值，所以有极大值点和极小值点. 综上，的取值范围是. 题型五：重点考查利用导数求函数的最值 典型例题 例题1．（23-24高二下·新疆喀什·期中）已知函数，为的导函数． (1)求函数的单调性； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； (2)最大值为9，最小值为. 【分析】（1）先对函数化简后，再对函数求导，然后由导数的正负可得到函数的单调性； （2）通过列出函数与的变化求出函数的极值，再求出，然后与极值比较可求出函数的最值. 【详解】（1）. ， 令，解得， 由得或，此时函数单调递增， 由得，此时函数单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，函数与的变化如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值，， 又， 可知函数的最大值为9，最小值为. 例题2．（23-24高二下·安徽淮北·期末） 已知函数的图象过点，且 (1)求的值; (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）由题意可得，解之即可求解； （2）由（1）可得，利用导数研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1），则， 所以，解得. （2）由（1）知，，则， 令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而， 所以， 即在的最大值为4，最小值为. 例题3．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知函数在处有极值. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)； (2)最大值20，最小值2. 【分析】（1）求出函数的导数，利用极值点、极值建立方程求解并验证即得. （2）由（1）求出函数的单调区间，再求出最值. 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，解得，此时， 当或时，当时，，则在处取得极大值，因此， ，由，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，，且函数在上递增，在上递减， 当时，，， 所以函数在上的最大值是，最小值是. 精练高频考点 1．（23-24高二下·上海·期末）已知．求： (1)函数的单调区间及极值； (2)函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为；函数极大值为，极小值为. (2)函数在区间上的最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导数，令，得函数的单调增区间，令，得单调减区间，进而可得函数的极值； （2）结合（1）中单调性，求出端点值，比较大小即可得解． 【详解】（1）的定义域为，， 令，得或，令，得， 函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为， 当时，函数取得极大值，当时，函数取到极小值， 函数极大值为，极小值为. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，， 又, ， 函数在区间上的最大值为，最小值为． 2．（23-24高二下·江苏盐城·开学考试）已知是函数的极值点，曲线在点处的切线斜率为． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1) (2)函数的最大值是，最小值是. 【分析】（1）首先求函数的导数，根据极值点以及导数的几何意义，列式求解，再代入验证，即可求得函数的解析式； （2）根据（1）的结果，结合函数的单调性，求函数的最值. 【详解】（1），由题意可知，，， 即，解得：，， 则，， ，和的变化关系，如下表所示， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以是函数的极值点，，，满足题意， 所以； （2）根据（1）的结果可知，，，和的变化关系，如下表所示， 0 单调递减 极小值 单调递增 当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 所以函数的最大值是，最小值是. 3．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . (1)求 的值； (2)求 在区间 上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值为10，最小值为-10 【分析】（1）根据函数在点 处的切线方程为 ，由求解； （2）令，得，分别求得求解. 【详解】（1）解：因为函数 ， 所以， 因为函数在点 处的切线方程为 ， 所以， 解得； （2）由（1）知：， 令，得， 随x的变换变换如下表 x -2 -1 1 3 10 6 10 -10 由表知：在区间 上的最大值为10，最小值为-10. 题型六：重点考查利用导数求函数（含参）中的最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数在区间上的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）当时，求，令，，求解即可； （2）先求，令，在定义域内解得，讨论的取值范围，通过判断函数在的单调性，即可求得最小值. 【详解】（1）当时，，， ， 因为，， 所以当时，解得， 当时，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）函数的定义域为， ，， 令，得或（舍）， 当，即时， 当时，，则在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 当，即时， 当时，，则在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 当，即时， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在区间上的最小值为， 综上. 例题2．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解. （2）对进行分类讨论，结合的正负情况得到在上的性质，从而得解. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 所以在点处的切线方程为. （2）因为， 则， 因为， 当，即时，， 则当时，单调递增， 所以在区间上的最小值为； 当，即时，， 则当时，单调递减； 当时， ，单调递增. 所以在区间上的最小值为 ； 当，即时，， 则当时，单调递减， 所以在区间上的最小值为； 综上，. 例题3．（23-24高二上·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定和的解，得单调性； （2）结合（1）的单调性分类讨论得最小值． 【详解】（1）的定义域是， ， 时，恒成立，在上是减函数； 时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 综上，时，在上是减函数；时，在上是减函数，在上是增函数． （2）由（1）当时，在上递减，； 时，即时，在上递减，； ，即时，在上是减函数，在上是增函数，． 综上，或时，，时，． 精练高频考点 1．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习） 已知函数， (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在区间上的最大值． 【答案】(1)是的单调增区间，是的单调减区间； (2). 【分析】（1）先求导函数，再根据导函数的正负求出单调区间即可； （2）分两种情况，结合函数单调性求出最大值即得. 【详解】（1）因为，所以， 单调递增； 单调递减. 是的单调增区间，是的单调减区间； （2）因为，是的单调增区间，是的单调减区间； 当时,是单调增区间,； 当时,是单调增区间,是单调减区间，； . 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导后分析单调性求最值即可； （2）利用（1）的结论，对参数分类讨论，得到参数区间的范围，进而求最值即可. 【详解】（1）因为，所以， 由，得，所以；由，得，所以， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 所以的最小值为，无最大值． （2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增， 当，即时，在单调递减， ； 当时，即在单调递减，单调递增，． 当时，在单调递增，； 综上所述. 3．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数， (1)讨论的单调性； (2)若函数在闭区间上的最大值为，求a的范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出的单调区间即可. （2）利用（1）的结论，分类讨论求出最大值，结合已知列出不等式求解即得. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，由得或，由得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③当时，由得或，由得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， （2）由（1）知，①当时，在上单调递增，此时在上的最大值为； ②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增， 在上的最大值只有可能是或， 由在上的最大值为，得，则， ③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增， 在上的最大值可能是或， 由在上的最大值为，得，则， 综上，a的范围. 题型七：重点考查根据函数的最值求参数 典型例题 例题1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数的一个极值为． (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最大值为18，求实数与的值． 【答案】(1)或5 (2)实数的值为的值为5 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负得到极值点，根据极值为解出的值； （2）根据上的单调性，分，，，四种情况讨论的最大值，只有中存在符合题意，令最大值为18，求得和的值. 【详解】（1）由，得， 令，得或；令，得；令，得或． 所以函数有两个极值和． 若，得，解得； 若，得，解得． 综上，实数的值为－22或5． （2）由（1）得，在区间的变化情况如下表所示： 1 + 0 － 0 + 极大值 极小值 由表可知， ①当时，函数在区间上单调递增，所以最大值为， 其值为或，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，，所以在上的最大值为，其值为或25，不符合题意； ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，，所以在上的最大值为，其值为或25，不符合题意； ④当时，在上单调递减，在上单调递增， 若在区间上的最大值为，其值为或，不符合题意， 又因为若，则．那么，函数在区间上的最大值只可能小于－2，不合题意， 所以要使函数在区间上的最大值为18，必须使，且， 即．所以， 所以．所以， 所以．所以或， 所以或．因为，所以舍去． 综上，实数的值为的值为5． 【点睛】方法点睛：函数在闭区间上的最值 通过求导，根据导数的正负得到函数的单调性，从而函数的最大值在极大值和端点值中取大，函数的最小值在极小值和端点值中取小. 例题2．（23-24高二下·四川德阳·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的零点个数； (2)若函数在区间上取得最小值4，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，通过对参数m的讨论，逐个区间确定零点的个数； （2）求出函数的导数，通过对参数m的讨论，求出函数的单调区间，然后求出函数的最小值即可求得参数. 【详解】（1）易求的定义域为， 对原函数求导得， 当时，，在上是单调增函数， 由于， 故使得成立， 又因为，故此时在上只有一个零点； 当时，令，则， ，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，此时函数没有零点； 当时，，此时函数只有一个零点； 当时，， 当趋于0时，趋于无穷大， 又因为，，所以， 根据零点的存在性定理，在区间，各有一个零点，此时函数有两个零点； 综上所述：或时，只有一个零点； 时，没有零点； 时，函数有两个零点. （2）因为，令，则， 当时，即时，当时，， 所以在上单调递增，从而，解得，显然不符合题意； 当时，即时，当时，， 所以在上单调递减，从而，解得，符合题意； 当时，又，当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 解得，显然不符合题意； 综上所述，m的值为. 例题3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数． (1)当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程； (2)证明：函数有3个零点； (3)若在区间上有最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出切线方程； （2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，再结合零点存在性定理证明即可； （3）结合（2）中函数的极小值点及极小值， 令求出所对应的，从而得到，解得即可. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以切线方程为，即； （2）因为定义域为， 又，因为，所以， 由，解得或，由，解得； 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以，， 又，， 且当时，当时， 即，所以在上存在唯一零点， 由，所以在上存在唯一零点， 由，所以在上存在唯一零点， 所以在和上均不存在零点， 所以函数有且仅有个零点． （3）由（2）可知的极小值点为，极大值点为，且， 当时，即，则， 解得或， 因为在区间上有最小值， 所以最小值为函数的极小值，即，解得， 所以的取值范围为． 精练高频考点 1．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】（1）求出函数的导数函数，再按为非正数与正数讨论值的正负即可得解； （2）由（1）知的单调性，可得，即，构造函数，利用导数探讨的最值即可计算作答. 【详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增 当时，由得，由得 所以在区间单调递减，在区间单调递增 （2）由（1）知，当时，在区间单调递增，无最小值 当时，在区间单调递减，在区间单调递增 所以，所以 令，则， 由得，， 所以在区间单调递增，在区间单调递减，所以的最大值为 所以， 所以的值为1. 2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用函数导数判断函数单调区间； （2）根据函数的最大值，结合（1）中函数单调性，在处取得极大值，也为最大值，代入计算的出的值. 【详解】（1）已知的定义域为，所以， 当时，解得，当时，解得， 所以，的递增区间为，递减区间为. （2）由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值， 所以，解得. 3．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，再求切点坐标，利用直线点斜式方程即可求解； （2）利用导数求出函数的极值，根据题意，极小值即为最小值，建立方程得解. 【详解】（1）当时，. ， ，即切线斜率. 所以切线方程为，即 （2）函数的定义域为. 当时，.所以在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得. 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 所以，即. 综上所述. 题型八：重点考查极值，最值，单调性的综合问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)指出极值点的个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)在，单调递增，在单调递减 (3)2个，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1），求得，结合和，即可求解； （3）由（2）中函数得到单调性，分，和，三种情况讨论，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即. （2）解：由（1）知，可得， 令，即，解得或， 当，；当，；当，， 所以函数在，单调递增，在单调递减. （3）解：函数有2个极值点，理由如下： 由（2）知，①当时，函数在区间上单调递增， 且，， 所以存在唯一，使； ②当时，函数在区间上单调递减， 且，， 所以存在唯一，使； ③当时，在区间上单调递增， 且，恒有，故该区间内无零点， 综上可得：当，；当，；当，， 所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有2个极值点. 例题2．（23-24高二下·江西·期末）已知函数. (1)当时，求函数极值； (2)讨论在区间上单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，由导函数的正负确定函数单调性，即可根据极值点定义求解， （2）求导，分类讨论导函数的正负即可求解， （3）构造函数，利用导数求解函数的最值即可求解，或者利用对数运算，结合换元法将不等式转化为，设，求导求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， 求导得，由，得， 由，得，由，得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值. （2）由， 在时，， 若，,即在区间上单调递增； 若，,即在区间上单调递减； 若，令，令， 可知在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：时，在区间上单调递增； 时，在区间上单调递减； 时，在上单调递增， 在上单调递减. （3）方法1： 根据题意可知， ， 设， 则， 令， 则定义域上单调递增，易知， 即，使得， 即时，，故，此时单调递减， 时，，，此时单调递增， 则， ，即. 方法2：由， ， 设，则， 设，则， 当单调递减； 当单调递增； . 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 例题3．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知函数，设. (1)若，求的单调区间； (2)若在区间上存在极小值m， （ⅰ） 求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)在上单调递增，在 上单调递减 (2)（ii）；（ii）证明见解析 【分析】（1）先求导数得到，然后再一次利用求导得出单调区间； （2）（i）法一：分类讨论：时无极值，时，有极大值，再一次分类讨论：极大值小于0，极大值大于0， 最后得出符合题意的范围；法二：先求出的最大值，根据最大值大于0，和小于0 分类讨论，最后得出符合题意的范围； （ii）由（i）写出m的解析式，构造二次函数即可得证. 【详解】（1）若，则，. 所以，则 . 令，即，解得; 令，即，解得. 所以在上单调递增，在 上单调递减 . （2）（ⅰ）法一：因为，所以. 易知在上单调递减，. 当即时，，在上单调递减， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以无极值. 当即时， 由可得. 当变化时，与的变化情况如下表所示. x (0,ln(2a)) ln(2a) (ln(2a),+∞) h’(x) + 0 h(x) 单调递增 极大值 单调递减 ∴在上单调递增，在上单调递减. 当时，有极大值. ①当即时， ，在上单调递减. 所以无极值. ②当即时， 因为，所以在上有且只有一个零点，记为. 当变化时，与的变化情况如下表所示. x (0,x0) x0 (x0,ln(2a)) 0 + f (x) 单调递减 极小值 单调递增 所以，当时，有极小值. 法二： . 令，则 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， ①当，即时， 在上单调递减， 所以无极值. ②当，即时， 当且时，. 又，使. 所以当时，即在上单调递减. 当时，即在上单调递增. 当时，有极小值. 有极小值时，的取值范围是. （ⅱ）由（i）知，. . . ,. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中（i）的关键在于处理好导函数的单调性或最值问题，从而影响原函数的极值情况，要保证原函数有极小值，只需要确保导函数有变号零点， 且导函数在零点附近是递增的即可. 精练高频考点 1．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数． (1)求函数的极值； (2)设函数的导函数为，若（），证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解； （2）由，得到，求得，得到，化简得到，设，利用函数的导数求解函数的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值. （2）证明：由（1）知，， 可得，且， 所以，所以， 因为，所以，可得， 则， 因为，所以，记得， 所以， 设，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，当时，， 所以，所以，即. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知函数（为实数） (1)若，求的单调区间； (2)若，求在的最值； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，结合和的解集，即可求得函数的单调区间； （2）根据题意，求得，得到函数的单调区间和最值，即可求解； （3）根据题意，转化为恒成立，令 ，利用导数求得的单调区间和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，可得， 令，即，解得；令，即，解得， 所以函数在上单调减，在上单调递增， 即函数的递减区间为，递增区间为. （2）解：当时，，可得， 令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 则函数在区间上的最小值为，最大值为. （3）解：由题意，可得得函数的定义域为， 若恒成立，则，即恒成立， 令 ，则， 当 时， ；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以 ， 故的取值范围为. 3．（23-24高二下·黑龙江·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在两个极值点，，记，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求的导函数，再对含参的二次函数分类讨论，分别求出单调区间即可； （2）在（1）的条件下先写出两个极值点，的关系，， 再化简的解析式为关于的函数，最后求导计算范围即可． 【详解】（1）的定义域为，对求导得： ， 令，， （1）若，则，即，所以在上单调递增． （2）若， ①当时，即，则，印，所以在上单调递增． ②当时，即，由，得， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在 上单调递增， 在上单调递减． （2）由小问（1）知，当且仅当时，存在两个极值点， 设的两个极值点为，，则，满足方程， 所以，， 所以， 同理， ， 所以， 令，所以，当时， ，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值也是最小值，所以， 若恒成立，等价于，所以t的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：（1）关键是求导后对参数分情况讨论，从而得出单调区间； （2）关键是首先将恒成立问题转化为最值问题，再利用第一问函数单调性结果找出两个极值点之间的关系，构造函数，再利用导数求解最小值即可解决问题. 第二部分：易错篇 易错一：已知极值（点）求参数，注意回代检验 典型例题 例题1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数． (1)若函数在处有极值，求的值； 【答案】(1) 【分析】（1）对函数进行求导，结合在处的极值为列方程组，解方程组即可求得的值； 【详解】（1） 由题意可知 或 当时，恒成立 不满足题意，舍去. 当时， 此时，在处取极大值.满是题意． 所以； 例题2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知函数． (1)若在处取得极值，讨论的单调性； 【答案】(1)增区间为，，减区间为 【分析】 （1）直接根据条件得到，，然后解出并检验每个解即可； 【详解】（1）由题意，， 因为在处取得极值10，即， 从而，故，得或. 再由，知，故或． 当时，，， 此时在上单调递增，不存在极值，不合题意； 当时，，， 故当或时，；当时，． 故的增区间为，，减区间为． 从而是的极值点，符合题意. 综上，我们有，此时的增区间为，，减区间为. 精练高频考点 1．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）已知函数在时取得极小值． (1)求实数，的值； 【答案】(1)， 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得、的值，再代入检验； 【详解】（1）因为， 所以， 依题意，即， 解得或， 若，则，则无极值点，不满足题意，    经检验符合题意，所以，. 2．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数，若在处取得极值10，. (1)求的值； 【答案】(1) 【分析】（1）求得，根据题意，列出方程组，求得的值，结合极值定义，进行验证，即可求解； 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为在处取得极值10，所以， 解得或， 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 所以在上单调递增，此时无极值，不符合题意， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$