专题06 处理解三角形范围问题的8大视角-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第一册）

专题06 解决解三角形范围问题的八大题型 目录 1 1 题型1.对边对角模型 1 题型2.正弦定理边角转化 2 题型3.齐次边型分式结构 3 题型4. 余弦定理求角的最值 4 题型5. 秦九韶公式 6 题型6.爪型三角形与等面积方法 7 题型7.斯特瓦尔特定理与均值不等式 7 题型8.恒等变换型目标函数 9 10 1、对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围. 2、在正弦定理中：此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系. 3、对于等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理. 4、余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，在上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值. 若，倘若再能找到这样一个约束条件，代入余弦定理消掉，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值. 5、秦九韶公式求范围是近年来解三角形模考试题中热门考察方向之一，相关内容是人教版新教材的阅读内容，未来完全有可能出现在高考试题中. 6、设为的平分线，则设，那么有等面积可得：，进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题. 题型1.对边对角模型 例1.（2020年全国2卷）在中， （1）求； （2）若，求周长的最大值. 题型2.正弦定理边角转化 例2.（2019全国3卷）的内角对边为，. （1）.求角的值； （2）.若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 题型3.齐次边型分式结构 例3.（2022新高考1卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 例4．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 题型4. 余弦定理求角的最值 例5.已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 例6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则角A的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型5. 秦九韶公式 例7.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，，是的内角，，的对边． 已知中，，，则面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 例8.已知，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（       ） 题型6.爪型三角形与等面积方法 例9.（2022成都一诊）在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________. 题型7.斯特瓦尔特定理与均值不等式 基本结论：如图：当设为的边中点时，. 注：该结论还可由证得.更一般的情形即斯特瓦尔特定理，此处不再赘述，我们通过例题展示 例10.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值. 例11．内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）是边上一点，且，，求面积的最大值. 题型8.恒等变换型目标函数 这类最值问题的特点是利用恒等变换化简函数，它们的目标函数往往不是上面的类型，而且有点“丑”，你需要做的就是耐心美化目标函数，直到找到可以入手的结构！ 例12．已知在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例13．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 一．选择题（共3小题） 1．锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 2．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 3．已知中，角，，的对边分别为，，．若，则的最小值为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共2小题） 4．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有　　 A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 5．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有　　 A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 三．解答题（共4小题） 6．在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合，，可求，进而可求的值． （Ⅱ）由题设及正弦定理，可求，结合，可求，可求范围，进而根据三角形的面积公式即可求解面积的取值范围． 8．记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）求的取值范围． 9．记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）若，求； （2）若，且，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解决解三角形范围问题的八大题型 目录 1 1 题型1.对边对角模型 1 题型2.正弦定理边角转化 2 题型3.齐次边型分式结构 3 题型4. 余弦定理求角的最值 4 题型5. 秦九韶公式 6 题型6.爪型三角形与等面积方法 7 题型7.斯特瓦尔特定理与均值不等式 7 题型8.恒等变换型目标函数 9 10 1、对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围. 2、在正弦定理中：此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系. 3、对于等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理. 4、余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，在上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值. 若，倘若再能找到这样一个约束条件，代入余弦定理消掉，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值. 5、秦九韶公式求范围是近年来解三角形模考试题中热门考察方向之一，相关内容是人教版新教材的阅读内容，未来完全有可能出现在高考试题中. 6、设为的平分线，则设，那么有等面积可得：，进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题. 题型1.对边对角模型 例1.（2020年全国2卷）在中， （1）求； （2）若，求周长的最大值. 解析：（1）由正弦定理可得：， ，. （2）， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. 备注：关于此题第二问，标准的对边对角模型，还可以得到下列的相关问题 i) 若,求面积的最大值. 若为锐角三角形，求的取值范围. 若为锐角三角形，求的取值范围. 相关解答比较简单，此处不再赘述. 题型2.正弦定理边角转化 例2.（2019全国3卷）的内角对边为，. （1）.求角的值； （2）.若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 解析：(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得． ，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以. (2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到， 故，解得. 又应用正弦定理，，由三角形面积公式有： . 又因,故， 故.故的取值范围是 题型3.齐次边型分式结构 在这一部分中，我们经常会看到诸如：等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理. 例3.（2022新高考1卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 解析：（1）由已知条件得： 所以，即， 由已知条件：，则，可得，所以，． 2）由（1）知，则，， ，由正弦定理 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 例4．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 在锐角中，，因为，，, 所以，，解得， 所以，，而， 所以， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以，所以，即. 故选：A. 题型4. 余弦定理求角的最值 余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，在上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值. 若，倘若再能找到这样一个约束条件，代入余弦定理消掉，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值，下面通过例题予以分析. 例5.已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 解：∵，∴， ∴由正弦定理得：， 即，，则， （当且仅当，即时取等号），的最小值为. ∵，∴，∴的最大值为. 例6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则角A的最大值为（   ） A． B． C． D． 解析：因为，所以，进而可得 因为，当且仅当时等号成立，所以又因为，所以角A的最大值为 例6：若的内角满足，则的最小值是 思路：所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可 解： 由可得： 答案： 题型5. 秦九韶公式 秦九韶公式求范围是近年来解三角形模考试题中热门考察方向之一，相关内容是人教版新教材的阅读内容，未来完全有可能出现在高考试题中. 例7.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，，是的内角，，的对边．已知中，，，则面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 解析：由得，， 即，所以， ， 所以，即时，．故选：A． 例8.已知，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 解：中，因为，所以， 则，即， 又，则，即，则， 所以，当时，面积取得最大值为，故选：A 题型6.爪型三角形与等面积方法 如图，设为的平分线，则设，那么有等面积可得：，进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题. 例9.（2022成都一诊）在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________. 解析：，依题意是角的角平分线， 由三角形的面积公式得， 化简得，， .当且仅当，时等号成立.故答案为： 题型7.斯特瓦尔特定理与均值不等式 基本结论：如图：当设为的边中点时，. 注：该结论还可由证得.更一般的情形即斯特瓦尔特定理，此处不再赘述，我们通过例题展示 例10.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值. 解：（1）由正弦定理及得， 由知， 则，化简得，. 又，因此，. （2）由，又为的中点，则， 等式两边平方得， 所以， 则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为. 例11．内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）是边上一点，且，，求面积的最大值. 解析：（1）因为，由正弦定理可得， 又，所以，因为， 所以，则， 又，所以， 因为，所以； （2）根据题意可得， 所以， 即，所以，当且仅当 等号成立 所以，面积的最大值为. 题型8.恒等变换型目标函数 这类最值问题的特点是利用恒等变换化简函数，它们的目标函数往往不是上面的类型，而且有点“丑”，你需要做的就是耐心美化目标函数，直到找到可以入手的结构！ 例12．已知在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 解析：由，知， ，，， 因为、，则，， 因为正弦函数在上单调递增，所以，，则， 因为为锐角三角形，则，可得，则， ，故选：A. 例13．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 解析：∵，∴， ∴，∴， ∴，∴ ，∴，∴或（不符合题意舍去）， ∴，∴ ，设，∵是锐角三角形，∴，∴，∴，∴，令，则，∴函数在上单调递增，故，∴.故选：C． 一．选择题（共3小题） 1．锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】不妨将看作定值，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，求得，的坐标，设，由条件可得的轨迹，讨论在轴上和当时，运用余弦定理和余弦函数的定义，可得范围． 【解答】解：不妨将看作定值，以的中点为坐标原点，所在直线为轴， 建立直角坐标系，则，，，，设， 则，； 点在以为圆心，为半径的圆上， 又是锐角三角形，当在轴上时， ， 为最小； 当时，代入，， ，，， ，即， （取不到）， 则的取值范围为，． 故选：． 【点评】本题考查余弦定理的应用，注意运用坐标法，考查运算能力，属于中档题． 2．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正弦定理和余弦定理求出，再求出的取值范围，求出，根据函数的单调性求出其取值范围即可． 【解答】解：中，， 又由余弦定理， 得：， 整理得：①， ， ， 由①利用正弦定理可得： ， 得， 可得，或（舍，， 又，，，均为锐角， 由于，，，， 可得：，可得：， 在锐角中，，，，， ， 令，则，， 故， 令，，， 则， 故在，单调递增， 故，（1）， 故，，即的取值范围是，， 故选：． 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查三角函数的恒等变换以及函数的单调性问题，是中档题． 3．已知中，角，，的对边分别为，，．若，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得，，关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值． 【解答】解：因为， 由正弦定理得：， 即， 所以，则， 所以， （当且仅当，即时取等号）， 所以的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题关键是能够灵活应用正弦定理进行边角互化，从而得到三角形三边之间满足的等量关系，将等量关系代入余弦定理，则可利用基本不等式求得最值． 二．多选题（共2小题） 4．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有　　 A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断，再根据三角函数的性质判断、． 【解答】解：因为，又由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 由正弦定理可得， 又， ，即， ， ，，为锐角， ，即，故选项正确； ，，故选项错误； ，故选项正确； ， 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 又， ，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了三角函数中的几何计算，属于中档题． 5．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有　　 A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【分析】利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简，逐一分析选项，即可得出答案． 【解答】解：在锐角中，， 由正弦定理可得， 又， ，即， ， ，，为锐角，， ，即，故正确； 在锐角中，，解得，故正确； 由，故错误； ， 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在，上单调递增， 又，， ，故正确， 故选：． 【点评】本题考查正弦定理和三角函数的恒等变换，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 三．解答题（共4小题） 6．在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换可得，进一步结合已知即可得解； （2）将三角形的面积表示为，通过三角形是锐角三角形求出的范围即可得解． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 所以， 即，即， 所以，可得， 所以或， 又，所以． （2）由正弦定理，可得， 所以， 所以， 又由为锐角三角形，且，则 ，解得，因为在上单调递增，所以， 所以，即的面积的取值范围是． 【点评】本题考查正弦定理，考查三角函数性质，属于中档题． 7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合，，可求，进而可求的值． （Ⅱ）由题设及正弦定理，可求，结合，可求，可求范围，进而根据三角形的面积公式即可求解面积的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题设及正弦定理得， 因为， 所以． 由，可得， 故． 因为， 故， 因此． （Ⅱ）由题设及（1）知的面积． 由正弦定理得． 由于为锐角三角形， 故，， 由（1）知， 所以， 故， 所以， 从而． 因此，面积的取值范围是． 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 8．记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）求的取值范围． 【分析】（1）利用倍角公式化简为，再弦化切得，再逆用和角正切公式可得，进而可求解； （2）利用正弦定理边化角得，令，则，转化为求取值范围，从而利用二次函数在区间的最值求法可得． 【解答】解：（1）因为， 所以， ， 因为，，所以， 所以， 上式整理得，即， 所以， 所以． 因为，所以， 因为， 所以，即，解得． （2）因为 ， 所以令， 因为，所以 所以，则． 则， 所以， 令， 因为的对称轴为，且开口向上， 所以在区间上单调递增， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为． 【点评】本题考查解三角形问题，三角恒等变换，函数思想的应用，属中档题． 9．记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）若，求； （2）若，且，求的最小值． 【分析】（1）根据三角函数恒等变换，建立三角函数等式，即可求解； （2）根据（1）的结果有，，再根据正弦定理边角互化，用三角函数表示，最后结合基本不等式，即可求解最小值． 【解答】解：（1）， ， ， ， 或者， 由，得，从而， 由， 得， ，则，而，故， 综上，或； （2），，即， 由（1）知，， 又，， ， 由正弦定理可得，， ， 当且仅当时取等号， 的最小值为． 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换和正弦定理的应用，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$