精品解析：重庆市铜梁区铜梁区关溅初级中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题

重庆市铜梁区关溅中学2023年6月七年级下数学期末模拟试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．） 1. 下列各数中，无理数是（    ） A. 0 B. C. D. 2. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 环保部门调查长江的水质情况 B. 调查五一期间到扬州旅游的游客满意度 C. 调查我市中学生使用手机的时长 D. 调查神舟飞船各零件部位是否正常 4. 如图，已知，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则，（ ） A. B. C. D. 5. 若实数a与b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为，则最后输出的结果是（ ） A. B. C. 24 D. 7. 下列命题：①对顶角相等；②点到x轴的距离是3；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤2是的算术平方根．其中真命题的个数为（    ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为（ ） A B. C. D. 9. 如图，四边形中，，平分，，且．下列判断错误的是（ ） A. B. C 若，则 D. 若，则 10. 若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且使得关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解．则所有符合条件的整数a的和为（    ） A. 8 B. 9 C. 15 D. 16 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 已知点在x轴上，则点的坐标为 ___________． 12. 已知是方程的解，则代数式的值为 __． 13. 如图，点B，C在直线l上，且BC＝6cm，△ABC的面积为18cm2．若P是直线l上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为 _____cm． 14. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3a+2b．如2※4＝3×2+2×4=14．则不等式x※3≤0的解集为___________． 15. 如图，长方形纸片中，，边上分别有点E，F，将长方形纸片沿翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则的度数是___________． 16. 已知不等式组的解集为，则的值为________． 17. 如图，点，点，点，点...，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________． 18. 一个各位数字都不为的四位正整数． ，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定-．若已知数为“双胞蛋数”，设的千位数字为，百位数字为，且，若是一个完全平方数，则 ______，满足条件的的最小值为______． 三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，20题10分，下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤） 19. 已知：求证：．请将下面的解题过程填写完整． 证明：（已知）， （________）， ∴AD________（________________________）， ________（________________________）． 又（已知）， （________________）， ∴（________________________）， （________________________）． 20. （1）计算： ； （2）解方程组； （3）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 四、解答题：（本大题6个小题，每题10分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤 21. 为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下： 请根据以上信息解答下列问题： （1）该校对多少名学生进行了抽样调查？ （2）请将图1和图2补充完整：并求出扇形统计图中小说所对应的圆心角度数． （3）已知该校共有学生1600人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说人数约为多少人？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点， （1）将向右平移格，再向下平移格，得到，在方格纸中画出．内有一点，则平移后它的对应点的坐标是______． （2）求三角形的面积； （3）在轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形的面积的倍？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知关于x、y的方程组的解是非负数． （1）求方程组的解（用含k的代数式表示）； （2）求k的取值范围； （3）化简：． 24 如图，平分，，． （1）求证：； （2）若，求度数． 25. 吃粽子是端午节的习俗，某糕点店推出的“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”深受顾客喜欢．“海鸭蛋蛋黄粽”每个售价是“红豆鲜肉粽”的倍，去年端午节期间，“海鸭蛋蛋黄粽”销量为3500个，“红豆鲜肉粽”销量为2500个，两款粽子销售额共为50000元． （1）求“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的售价各是多少元？ （2）糕点店在今年端午节前夕，“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的进货量均为去年端午节期间两种粽子销售量的两倍，计划利用店庆活动让利于新老顾客，对两种粽子都开展降价的促销活动；其中，“海鸭蛋蛋黄粽”每个让利0.5a元销售（a为整数），“红豆鲜肉粽”则按原售价打（5+a）折出售，并且降价后的“海鸭蛋蛋黄粽”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，最终两种粽子全部都销售了出去，且总销售额不超过84000元，求出a的值． 26. 同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即． （1）现将点移至如图的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． （2）如图，与的角平分线相交于点； ①若，，则 ______ ． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． （3）如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，则 ______ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市铜梁区关溅中学2023年6月七年级下数学期末模拟试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．） 1. 下列各数中，无理数是（    ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：0，，是有理数； 是无理数． 故选：C． 2. 如图所示图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B． 【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意； C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意． 故选：B． 3. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 环保部门调查长江的水质情况 B. 调查五一期间到扬州旅游的游客满意度 C. 调查我市中学生使用手机的时长 D. 调查神舟飞船各零件部位是否正常 【答案】D 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知． 【详解】A. 环保部门调查长江的水质情况，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项不符合题意； B. 调查五一期间到扬州旅游的游客满意度，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项不符合题意； C. 调查我市中学生使用手机的时长，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项不符合题意； D. 调查神舟飞船各零件部位是否正常，这个调查很重要不可漏掉任何零件，适合普查，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键． 4. 如图，已知，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质可知的度数，再根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，进而即可得解． 【详解】解: ∵， ∴ ∵直角三角板的直角顶点在直线上， ∴ ∴ 故选： 【点睛】本题考查的是平行线的性质以及直角定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 5. 若实数a与b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：由题意知：， A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故B正确； C、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故C错误； D、当时，；当时，，故D错误； 故选：B． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 6. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为，则最后输出的结果是（ ） A. B. C. 24 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把x=代入代数式x（x+1）得到结果，若大于7则输出，若结果不大于7再次代入，循环后满足条件即为所求结果． 【详解】解：当x=时，x（x+1）= ， ∵4＜5＜9 ∴2＜＜3， ∴＞7 ∴最后输出的结果为． 故选：B． 【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图的意义是解本题的关键． 7. 下列命题：①对顶角相等；②点到x轴的距离是3；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤2是的算术平方根．其中真命题的个数为（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 根据对顶角相等，点到x轴的距离，平行线的性质，平行公理，立方根和算术平方根，逐一进行判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，原命题是真命题； ②点到x轴的距离是5，原命题是假命题； ③两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ⑤2不是的算术平方根，原命题是假命题． 综上：真命题只有1个． 故选A． 8. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据快的人追上时两者的路程关系及时间相等建立方程组，即可 ． 【详解】解：设走路快的人走步追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步． 根据题意得， 故选：B． 9. 如图，四边形中，，平分，，且．下列判断错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了角平分线，平行线的判定与性质，根据平行线的判定及性质即可解得．解题的关键是利用已知条件求得直线平行． 【详解】∵，， ∴， ∴AB∥CD， ∴A项正确； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴B项正确； ∵， ∴， ∴， ∴C项正确； ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 而，则与不平行， ∴D项不正确， 故选：D． 10. 若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且使得关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解．则所有符合条件的整数a的和为（    ） A. 8 B. 9 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∵由不等式组至少有3个整数解， ∴，即整数，2，3，4，5，…， ∵， ∴ 解得：， ∵方程的解为非负整数， ∴，且为偶数， ∴，且为奇数 ∴得到符合条件的整数a为1，3，5，7之和为16． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 已知点在x轴上，则点的坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据轴上点的坐标的特点，计算出的值，从而得出点坐标．解题的关键是掌握在轴上的点的坐标的特点． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，则，得， 则点的坐标为， 故答案为：． 12. 已知是方程的解，则代数式的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，得出，整体代入代数式求值即可求解． 【详解】∵是方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13. 如图，点B，C在直线l上，且BC＝6cm，△ABC的面积为18cm2．若P是直线l上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为 _____cm． 【答案】6 【解析】 【分析】根据垂线段最短知，当AP⊥BC时，AP的长度最小．从而由三角形的面积公式可求出AP，即三角形ABC的高； 【详解】解：根据垂线段最短知，当AP⊥BC时，AP的长度最小， 此时△ABC的面积为18cm2， 即，可得， 解得：（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂线段最短，明确当AP⊥BC时，AP的长度最小是关键． 14. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3a+2b．如2※4＝3×2+2×4=14．则不等式x※3≤0的解集为___________． 【答案】x≤-2 【解析】 【分析】根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可求得 【详解】解：不等式x※3≤0化为： 故答案为： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于不等式及解不等式的步骤． 15. 如图，长方形纸片中，，边上分别有点E，F，将长方形纸片沿翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则的度数是___________． 【答案】##76度 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据折叠的性质可得，再由，可得，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 16. 已知不等式组的解集为，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据不等式组解集为求出a、b值，再代入计算即可． 详解】解：， 解①得：x>1-a， 解②得：x<, ∵不等式组的解集为， ∴，解得：， 当a=3，b=-4时， =(3-4)2022=(-1)2022=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查根据不等式组解集求参数，代数式求值，熟练掌握根据不等式组解集求出a、b值是解题的关键． 17. 如图，点，点，点，点...，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可得奇数点的规律为：，，…..，偶数点的规律为：，，……，根据规律求解即可． 【详解】解：由图像可得，奇数点的规律为：，，…..， 偶数点的规律为：，，……， ∵2023是奇数，即， ， 的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键． 18. 一个各位数字都不为的四位正整数． ，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定-．若已知数为“双胞蛋数”，设的千位数字为，百位数字为，且，若是一个完全平方数，则 ______，满足条件的的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题通过定义新运算“双胞蛋数”，用、来表示和，并代入中，用、表示，然后代入中，用、表示，求出的值，从而求出值． 【详解】解：， ， ， ， 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，且、， ， ∴，或，或，或，， 的最小值为． 故答案为：5，． 【点睛】本题主要考查新定义的双胞蛋数，通过给出的关系式，运用整式的运算，得出对应的式子，通过平方数来得到对应的关系，从而判断出最小值． 三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，20题10分，下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤） 19. 已知：求证：．请将下面的解题过程填写完整． 证明：（已知）， （________）， ∴AD________（________________________）， ________（________________________）． 又（已知）， （________________）， ∴（________________________）， （________________________）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定及性质，熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键．先证明，再证明，即可解答． 【详解】证明：（已知）， （垂线定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补） 20. （1）计算： ； （2）解方程组； （3）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】（1）（2）（3）不等式组的解集是，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组和解不等式组，算术平方根和立方根的性质； （1）根据算术平方根和立方根的性质，绝对值化简再相加减即可； （2）先把方程分别化简，然后消元计算即可； （3）先分别解不等式，再取公共部分即可． 【详解】（1）原式 （2） 由①得： 把③代入②得： 解得： 把代入③得： ∴方程组的解为 （3） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集是 在数轴上表示为： 四、解答题：（本大题6个小题，每题10分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤 21. 为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下： 请根据以上信息解答下列问题： （1）该校对多少名学生进行了抽样调查？ （2）请将图1和图2补充完整：并求出扇形统计图中小说所对应的圆心角度数． （3）已知该校共有学生1600人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说人数约为多少人？ 【答案】（1）200；（2）图1和图2见解析，；（3）320 【解析】 【分析】（1）用喜欢小说人数除以喜欢小说的人数所占的百分比，即可求得总人数． （2）利用总人数减去其它组的人数，即可求得喜欢科幻的人数，再利用百分比的意义求得喜欢科幻的百分比，据此可补充完整的图1和图2；利用小说所占的百分比乘以，即可得到扇形统计图中小说所对应的圆心角度数． （3）利用全校学生总人数乘以小说所占的百分比，即可得到全校学生中最喜欢小说人数． 【详解】（1）（名）， 答：该校对200名学生进行了抽样调查． （2）喜欢科幻的人数为：（名）， 喜欢科幻的人数所占的百分比为：， 补充完整的图1和图2如下所示： 扇形统计图中小说所对应的圆心角度数为：． （3）（名）， 答：全校学生中最喜欢小说人数约为320名． 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的综合运用．利用图形获取正确的信息，以及扇形统计图与条形统计图相结合是解决问题的关键；在扇形统计图中，各部分扇形圆心角的度数等于部分占总体的百分比乘以；在条形统计图中，各组的人数之和等于总人数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点， （1）将向右平移格，再向下平移格，得到，在方格纸中画出．内有一点，则平移后它的对应点的坐标是______． （2）求三角形的面积； （3）在轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形的面积的倍？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）三角形的面积为 （3）存在点，使三角形的面积等于三角形的面积的倍，且点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，左移横轴减，右横轴加，上移纵轴加，下移纵轴减，由此即可求解； （2）运用割补法即可求解； （3）在轴上取一点，用含的式子表示，由（2）可知，根据，由此即可求解． 【小问1详解】 解：将向右平移格，是在横轴上平移；再向下平移格，是在纵轴上平移， ∴图像平移后如下图示， ∴是所求图形， 根据平移的规律，内有一点，平移后它的对应点的坐标是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示， ，，，， ∴，即， ∴三角形的面积为． 【小问3详解】 解：如图所示，在轴上取一点，已知，，， ∴，点到的距离为，则， 由（2）可知， ∴， ∴， 当时，，即点的坐标为； 当时，，即点的坐标为； 综上所述，存在点，使三角形面积等于三角形的面积的倍，且点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形的平移规律，不规则几何图形面积计算方法等知识是解题的关键． 23. 已知关于x、y的方程组的解是非负数． （1）求方程组的解（用含k的代数式表示）； （2）求k的取值范围； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法直接利用“加减消元法”求解即可． （2）根据方程的解x、y为非负数，建立不等式组即可求解k的取值范围． （3）根据（2）中的k值取值范围，将绝对值符号去掉，进行化简即可． 【小问1详解】 解：， ①+②，得：， 解得， 将代入②，得：， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：∵方程组的解是非负数， ∴， 解不等式③，得：， 解不等式④，得：， 则不等式组的解集为； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 则 ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组以及根据取值范围对绝对值进行化简，能够熟练掌握“消元法”是解决本题的关键． 24. 如图，平分，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同位角相等得出，进而根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出．等量代换得出，可得，即可得证； （2）根据已知得出，，进而根据平行线的性质得出 【小问1详解】 解：证明：， ． ． 平分， ． ． ， ，即． ． 【小问2详解】 ，， ． ． ， ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 25. 吃粽子是端午节的习俗，某糕点店推出的“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”深受顾客喜欢．“海鸭蛋蛋黄粽”每个售价是“红豆鲜肉粽”的倍，去年端午节期间，“海鸭蛋蛋黄粽”销量为3500个，“红豆鲜肉粽”销量为2500个，两款粽子销售额共为50000元． （1）求“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的售价各是多少元？ （2）糕点店在今年端午节前夕，“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的进货量均为去年端午节期间两种粽子销售量的两倍，计划利用店庆活动让利于新老顾客，对两种粽子都开展降价的促销活动；其中，“海鸭蛋蛋黄粽”每个让利0.5a元销售（a为整数），“红豆鲜肉粽”则按原售价打（5+a）折出售，并且降价后的“海鸭蛋蛋黄粽”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，最终两种粽子全部都销售了出去，且总销售额不超过84000元，求出a的值． 【答案】（1）“海鸭蛋蛋黄粽”的售价为10元，“红豆鲜肉粽”的售价是6元； （2）a的值为2． 【解析】 【分析】（1）设“红豆鲜肉粽”的售价是x元，则“海鸭蛋蛋黄粽”的售价是元，利用总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出“红豆鲜肉粽”的售价，再将其代入中即可求出“海鸭蛋蛋黄粽”的售价； （2）根据降价后的“海鸭蛋蛋黄粽”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，且两种粽子全部售出后的总销售额不超过84000元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出结论． 【小问1详解】 设“红豆鲜肉粽”的售价是x元，则“海鸭蛋蛋黄粽”的售价是元， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：“海鸭蛋蛋黄粽”售价为10元，“红豆鲜肉粽”的售价是6元． 【小问2详解】 依题意得：， 解得：， 又∵a为整数， ∴， 答：a的值为2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 26. 同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即． （1）现将点移至如图的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． （2）如图，与的角平分线相交于点； ①若，，则 ______ ． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． （3）如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，则 ______ ． 【答案】（1）结论不成立，应该是，理由见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，，即可求解； （2）由角平分线的性质可得，，由平行线的性质可得，，即可求解，由角平分线的性质可得，，由平行线的性质可得，，即可求解； （3）由角平分线的性质可得，，，，由角的数量关系可求解． 【小问1详解】 解：结论不成立，应该是，理由如下： 如图，过点A作， ，， ， ，， ； 【小问2详解】 如图3，过点作， ，，， ， 与的角平分线相交于点， ，， ，， ， ，， ∴， ； ， ， 与的角平分线相交于点， ，， ，， ， ，， ； 【小问3详解】 如图，过点作，过点A作， 与的角平分线相交于点， ，， ，，， ， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是正确添加辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $