精品解析：重庆南川区2026年春季期期末八年级学业质量监测试题数学

2026年春期八年级学业质量监测试题 数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 数据2，3，4，5，6，这组数据的平均数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平均数的定义，用数据总和除以数据个数即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据的总和为，数据个数为， ∴这组数据的平均数为． 2. 下列各点在一次函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将各选项横坐标代入解析式计算，验证纵坐标即可得到结果． 【详解】解： A． 当时，， 在一次函数的图象上，符合题意； B． 当时，， 不在一次函数的图象上，不符合题意； C． 当时，， 不在一次函数的图象上，不符合题意； D． 当时，， 不在一次函数的图象上，不符合题意； 3. 下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】只需验证两个较小边长的平方和是否等于最长边长的平方，若相等则可构成直角三角形，反之不能． 【详解】解：选项A，，， ，不能构成直角三角形，故A不符合题意； 选项B，，， ，能构成直角三角形，故B符合题意； 选项C，，， ，不能构成直角三角形，故C不符合题意； 选项D，，， ，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 4. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得：， 解得． 5. 估计的值在( ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】直接得出的取值范围进而得出答案． 【详解】∵， ∴. 故选C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，只有对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故A是假命题，不符合题意； B．根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题，符合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故C是假命题，不符合题意； D．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故D是假命题，不符合题意； 7. 将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（ ） A. 31 B. 36 C. 41 D. 46 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形规律探索​​，解题的关键是求得前面几个数据，正确找出规律，然后求解．观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个点，因此可得出第n个图案的点的数量为，代入即可求解． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“●”的个数为， 第②个图案中“●”的个数为， 第③个图案中“●”的个数为， …， 所以第n（n为正整数）个图案中“●”的个数为（个）， 因此第⑨个图案中“●”的个数为（个）． 故选：D． 8. 如图是反映A，B两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月A，B两地平均气温的说法正确的是（ ） A. A地平均气温的最大值高于B地平均气温的最大值 B. A地平均气温的中位数高于B地平均气温的中位数 C. A地平均气温的方差小于B地平均气温的方差 D. A地有以上的天数的平均气温高于B地平均气温的中位数 【答案】A 【解析】 【分析】根据箱线图的定义逐项分析即可． 【详解】选项A，由图可知，A地平均气温的最大值约为20，B地平均气温的最大值约为15，，故A地平均气温的最大值高于B地，该选项说法正确； 选项B，由图可知，A地平均气温的中位数约为6，B地平均气温的中位数约为10.5，，故A地平均气温的中位数低于B地，该选项说法错误； 选项C，由图可知，A地数据的分布范围和四分位距均大于B地，数据更分散，故A地平均气温的方差大于B地，该选项说法错误； 选项D，由图可知，B地平均气温的中位数约为10.5，A地上四分位数（又称第三四分位数）约为10，即A地约有的数据高于10，故A地高于10.5的数据少于，该选项说法错误． 9. 如图，将面积为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长（ ） A. 6 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形面积求出边长，再利用折叠的性质得到相关线段、角的等量关系，确定、、三点共线，通过勾股定理求出和的长度，再结合平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：∵正方形纸片的面积为， ∴， ∵沿折叠，点落在点处，沿折叠，点落在点处， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴，，三点共线． 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得 ∴ ∵，，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴在中，为斜边上的中线， ∴ 10. 对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，，…，每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0； ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个； ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先列出前几次操作的结果，计算每次操作后所有二次根式的和，找出周期规律，再逐一验证三个结论即可． 【详解】 第1次操作后：，，，和； 第2次操作后：，，，，和； 第3次操作后：，，，，，和； 第4次操作后：，，，，，，和； 第5次操作后加项为，和； 第6次操作后加项为，和； 第7次操作后加项为，和； 第8次操作后加项为，和； 第次操作后的和的周期为． 验证①：第4次操作后和为，故①正确； 验证②：第7次操作后二次根式串为，，，，，，，，，不相同的二次根式共个，故②错误； 验证③：， ，故③错误； 综上，正确的结论只有1个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 代数式有意义时，x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵有意义时， ∴， 解得：． 12. 甲、乙、丙三人分别进行相同次数的射击训练，他们的平均分均为，且方差，，，则本次训练发挥最稳定的是________． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，比较甲，乙，丙三人的方差大小即可得到结论． 【详解】解：∵甲，乙，丙三人的平均分均为，且方差，，， ∴， ∴本次训练发挥最稳定的是甲． 13. 若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是________°． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，推出，根据，求出即可. 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大. 14. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题关键．根据点的纵坐标为，代入得出的值，即可得到点的坐标，即可得答案． 【详解】解∵一次函数与的图象交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为： 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，由折叠的性质得到，，证明，得到，，设，在中利用勾股定理求出的值，进而得到的长，最后利用等面积法求出点到的距离． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， 由折叠可得，，， ，， 又， ， ，， 设，则，， 在中， ，即， 解得， ，， 过点作于点，则即为点到的距离， 在中，， 由三角形面积公式可得， 即， 解得． 16. 我们规定：一个四位数，若满足：百位数字是千位数字的2倍，且十位数字比个位数字大1，则称这个四位数为“金佛数”，按照这个规定，则最小的“金佛数”是________；一个“金佛数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字和个位数字调换位置，得到一个新的数，记，，若与均为整数，则满足要求的“金佛数”之和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据“金佛数”的定义，要得到最小的“金佛数”，千位取最小正整数，依次确定各数位数字即可；再根据定义表示出和，计算得到和，结合两个分式为整数的条件，求出所有符合条件的，再求和即可． 【详解】解：设四位数，其中，，为整数， 根据“金佛数”定义，得，， 求最小的“金佛数”，要使四位数最小，千位取最小正整数，得，则，由得，取最小，得，因此最小的“金佛数”是； 由，得，为整数，由得，为整数， 得， 调换后新数：， 则，， ∴ ， 该式为整数，则能被7整除； ， 该式为整数，则能被5整除， ∵，， ∴或， 当时，能被7整除，则只有符合条件， ∴，，此时； 当时，能被7整除，则只有符合条件， ∴，，此时， 所有满足条件的M的和为． 三、解答题（本大题9个小题，17、18每小题8分，19―25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）÷﹣（＋1）（﹣1）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别化简二次根式再合并即可； （2）先计算二次根式的除法和应用平方差公式计算（＋1）（﹣1），再相减即可； 【小问1详解】 解：原式= =． 【小问2详解】 解：原式= =． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 已知四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ，∴①________． ∵平分， ， ∴②________，， 又， ∴③________． 又∵④________， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干信息逐步作图即可； （2）根据题干信息逐步完善推理依据与推理过程即可． 【小问1详解】 解：作的角平分线交于点E，在上截取，连接，如图所示： 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∴①． ∵平分， ， ∴②，， 又， ∴③． 又∵④， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 19. 某区举办了2026年度青少年科学素养大赛系列赛事活动，其中“创意场景编程赛”引来众多爱好者参与，比赛分初赛和决赛，初赛成绩优秀（高于或等于90分）的选手进入决赛．统计小组从七年级和八年级参与“创意场景编程赛”初赛的选手中各随机选出20名选手的比赛成绩进行分析，并将选手成绩分为A，B，C，D四个等级（单位：分），分别是：A．；B．；C．；D．． 下面给出了部分信息： 七年级选手的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 八年级C等级的成绩为：81，82，83，86，86，87，89； 七、八年级选手成绩平均数、中位数、众数、方差： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 59.66 八年级 85.2 91 91.76 八年级选手成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为在此次初赛中，哪个年级选手的成绩更好？说明理由（一条理由即可） （3）若初赛时七年级有120名选手参赛，八年级有150名选手参赛，请估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）八年级的成绩更好，理由如下： 七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好 （3）96人 【解析】 【分析】（1）利用中位数和众数的定义即可求出a和b的值；利用八年级D组的频数除以20即可得m的值； （2）根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：八年级A、B组的频数和为， ∴将八年级20名学生的成绩按从小到大排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为86，87， ∴八年级的中位数； 七年级选手的成绩中出现最多的是88，出现了三次， ∴七年级的众数； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有96人． 20. 2026年世界乒乓球团体锦标赛在伦敦举办，中国男女团勇夺冠军，掀起了一股乒乓热潮．某经销商计划购进乒乓球拍钥匙扣和乒乓文化衫两类伴手礼用于销售，若购进3个钥匙扣和2件文化衫共需110元，若购进4个钥匙扣和5件文化衫共需240元． （1）经销商购进一个钥匙扣、一件文化衫分别为多少元？ （2）该经销商计划购进这两种伴手礼共50个（件），其中钥匙扣的数量不超过文化衫数量的2倍．出售时，若每个钥匙扣的售价为20元，每件文化衫的售价为45元．问：经销商应怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）购进一个钥匙扣10元，购进一件文化衫40元 （2）购进33个钥匙扣，17件文化衫时可获得最大利润，最大利润是415元 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两种进货的总费用，设未知数列二元一次方程组，求解即可得到两种商品的进价； （2）设钥匙扣的进货数量，根据利润关系得到总利润的一次函数表达式，再根据数量限制得到自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最大利润和对应的进货方案． 【小问1详解】 解：设经销商购进一个钥匙扣需要元，购进一件文化衫需要元， 根据题意列方程组得， 解得， 答: 经销商购进一个钥匙扣10元，购进一件文化衫40元； 【小问2详解】 解：设购进钥匙扣个，全部售完获得的总利润为元，则购进文化衫件， 每个钥匙扣的利润为（元）， 每件文化衫的利润为（元）， 因此总利润， 根据题意，钥匙扣的数量不超过文化衫数量的2倍，可得， 解得， ，  随的增大而增大， 又为正整数，  当时，取得最大值， 此时（元）， 文化衫数量为（件）， 答: 购进33个钥匙扣，17件文化衫时获得最大利润，最大利润是415元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． （1）求直线的解析式； （2）若为直线上一动点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出点A的坐标，即可求出点D的坐标，再求出点E的坐标，最后利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出的面积，进而求出的面积，再根据三角形的面积公式求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得， 在中，当时，，解得， ∴点F的坐标为或． 22. 如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． （1）求外来车辆的平均速度； （2）监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】（1）外来车辆的平均速度为 （2）能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； 【小问2详解】 略． 23. 数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．求证：； （2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1）∵矩形纸片沿折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）①证明：根据折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 根据（1）可知：， ∴， ∴； ②10 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，再证明，易得，即可证明； （2）①先根据（1）的方法证明，再根据，得出，即可证明结论； ②由折叠的性质可得，，，设，易得，在中，由勾股定理解得的值，易知，最后计算的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，在中，，，，为边中点，点从点出发，沿运动到点后停止，连接，构成，设点的运动路程为，的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出对应的取值范围； （2）在图2中画出（1）中的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当面积大于2时的取值范围．（结果精确到） 【答案】（1） （2）见解析；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、三角形的面积等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）当点在上运动时，取的中点，连接，利用三角形中位线定理可得，即可求解；当点在上运动时，取的中点E，连接，利用三角形中位线定理可得，根据题意得：，，再由，即可求解； （2）当时，；当时，；当时，，将上述3个点描点连线绘制函数图象，进而求解； （3）将代入得出，进一步分析即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， 当点在上运动时，取的中点，连接，如图， ∵为边中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∴； 当点在上运动时，取的中点E，连接，如图， ∵为边中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， 根据题意得：，， ∴ ， 即； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 当时，， 将上述3个点描点连线绘制函数图象如下： 从图象看，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：将代入，得，． 所以△面积大于2时的取值范围为：． 25. 在菱形中，，动点在直线上，连接，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，在上取点，使得，且，连接，点是的中点，连接，求证； （3）如图3，在同一平面上取一点（点与点在的异侧），使得，且，连接．当取最小值时，直接写出． 【答案】（1） （2）证明：延长到点H，使得，连接， 则， ∵点G是AF的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定，勾股定理解答即可； （2）延长到点H，使得，连接，则，只需证明，，证明即可． （3）过点D作于点Q，在上截取，连接，，点P在过点M且垂直于的定直线上运动，根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合，根据菱形的性质，勾股定理，面积分割法计算解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点D作于点Q，在上截取，连接， ∵菱形中，， ∴， ∵， ∴ ∴，是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在过点M且垂直于的定直线上运动， 根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合， 此时， 设， 同理可得， ∴, ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，一线三直角全等模型的应用，垂线段最短，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期八年级学业质量监测试题 数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 数据2，3，4，5，6，这组数据的平均数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列各点在一次函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在( ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（ ） A. 31 B. 36 C. 41 D. 46 8. 如图是反映A，B两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月A，B两地平均气温的说法正确的是（ ） A. A地平均气温的最大值高于B地平均气温的最大值 B. A地平均气温的中位数高于B地平均气温的中位数 C. A地平均气温的方差小于B地平均气温的方差 D. A地有以上的天数的平均气温高于B地平均气温的中位数 9. 如图，将面积为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长（ ） A. 6 B. C. D. 5 10. 对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，，…，每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0； ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个； ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 代数式有意义时，x应满足的条件是______． 12. 甲、乙、丙三人分别进行相同次数的射击训练，他们的平均分均为，且方差，，，则本次训练发挥最稳定的是________． 13. 若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是________°． 14. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为______． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则到的距离为________． 16. 我们规定：一个四位数，若满足：百位数字是千位数字的2倍，且十位数字比个位数字大1，则称这个四位数为“金佛数”，按照这个规定，则最小的“金佛数”是________；一个“金佛数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字和个位数字调换位置，得到一个新的数，记，，若与均为整数，则满足要求的“金佛数”之和为________． 三、解答题（本大题9个小题，17、18每小题8分，19―25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）÷﹣（＋1）（﹣1）． 18. 已知四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ，∴①________． ∵平分， ， ∴②________，， 又， ∴③________． 又∵④________， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 19. 某区举办了2026年度青少年科学素养大赛系列赛事活动，其中“创意场景编程赛”引来众多爱好者参与，比赛分初赛和决赛，初赛成绩优秀（高于或等于90分）的选手进入决赛．统计小组从七年级和八年级参与“创意场景编程赛”初赛的选手中各随机选出20名选手的比赛成绩进行分析，并将选手成绩分为A，B，C，D四个等级（单位：分），分别是：A．；B．；C．；D．． 下面给出了部分信息： 七年级选手的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 八年级C等级的成绩为：81，82，83，86，86，87，89； 七、八年级选手成绩平均数、中位数、众数、方差： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 59.66 八年级 85.2 91 91.76 八年级选手成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为在此次初赛中，哪个年级选手的成绩更好？说明理由（一条理由即可） （3）若初赛时七年级有120名选手参赛，八年级有150名选手参赛，请估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有多少人？ 20. 2026年世界乒乓球团体锦标赛在伦敦举办，中国男女团勇夺冠军，掀起了一股乒乓热潮．某经销商计划购进乒乓球拍钥匙扣和乒乓文化衫两类伴手礼用于销售，若购进3个钥匙扣和2件文化衫共需110元，若购进4个钥匙扣和5件文化衫共需240元． （1）经销商购进一个钥匙扣、一件文化衫分别为多少元？ （2）该经销商计划购进这两种伴手礼共50个（件），其中钥匙扣的数量不超过文化衫数量的2倍．出售时，若每个钥匙扣的售价为20元，每件文化衫的售价为45元．问：经销商应怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． （1）求直线的解析式； （2）若为直线上一动点，连接，当时，求点的坐标． 22. 如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． （1）求外来车辆的平均速度； （2）监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 23. 数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．求证：； （2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． ①求证：； ②若，，求的长． 24. 如图1，在中，，，，为边中点，点从点出发，沿运动到点后停止，连接，构成，设点的运动路程为，的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出对应的取值范围； （2）在图2中画出（1）中的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当面积大于2时的取值范围．（结果精确到） 25. 在菱形中，，动点在直线上，连接，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，在上取点，使得，且，连接，点是的中点，连接，求证； （3）如图3，在同一平面上取一点（点与点在的异侧），使得，且，连接．当取最小值时，直接写出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $