精品解析：福建省福州第二中学2024-2025学年高三适应性考试（8月开门考）数学试题

福州二中2024－2025学年高三适应性考试（8月） 数学学科 （满分：150分，考试时间：120分钟） 命题：高三数学集备组 审核：高三数学集备组 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(　　) A. 240种 B. 120种 C. 96种 D. 480种 4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是的极大值点 B. C. 当时， D. 当时， 8. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点为卵圆上任意一点，有下列四种说法：①卵圆关于轴对称；②卵圆上不存在两点关于直线对称；③线段长度的取值范围是；④的面积最大值为1； 其中正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 存在直线与直线垂直 D. 直线被圆截得的最短弦长为 10. 已知定义在的函数满足，且，当时，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集是 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项为_________．（用数字作答） 13. 当时，曲线与的交点个数为______. 14. 已知函数，若当且仅当，则a的值是______，b的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四边形中， （1）求的正弦值； （2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长. 16. 如图，在三棱柱中，分别是梭的中点． （1）在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论； （2）若是边长为2的等边三角形，，求二面角的正弦值． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数． （i）求的值； （ii）证明：存在实数 ，使得曲线关于直线对称． 18. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 19. 已知有穷数列共有项，首项,设该数列的前项和为，且其中常数. （1）求证：数列是等比数列 （2）若，数列满足，求出数列的通项公式 （3）若（2）中的数列满足不等式，求出的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州二中2024－2025学年高三适应性考试（8月） 数学学科 （满分：150分，考试时间：120分钟） 命题：高三数学集备组 审核：高三数学集备组 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再求出，则图中阴影部分所表示的集合为. 【详解】由，即，解得， 所以， 又， 所以， 所以图中阴影部分所表示的集合为. 故选：A 2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算及几何意义直接可得解. 【详解】因为， 所以复数对应的点是，在第三象限， 故选：C. 3. 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(　　) A. 240种 B. 120种 C. 96种 D. 480种 【答案】A 【解析】 【分析】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案． 【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，所以不同的分法种数为种，故选A. 【点睛】本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题． 4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为，， 所以，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可. 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积. 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数恒等变换化简已知可得，再利用诱导公式和二倍角公式求值. 【详解】根据题意， ， 而 . 故选：D 7. 设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是的极大值点 B. C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求其单调性，进而可知其极值点，进而判断A;再利用其单调性来比较大小，进而判断BCD. 【详解】的定义域为， 令得, 当时,, 当时,, 在单调递增， 在单调递减. 对于A,是的极大值点，故A正确; 对于B,, 而在单调递减， ， 即,故B正确； 对于C,当时,， 而在单调递减， , 即,故C正确； 对于D,当时,, ， 而在单调递增, ,故D错误. 故选:D. 8. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点为卵圆上任意一点，有下列四种说法：①卵圆关于轴对称；②卵圆上不存在两点关于直线对称；③线段长度的取值范围是；④的面积最大值为1； 其中正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由与均满足方程即可判断①；点，和都在卵圆上，列方程，解方程即可判断②；对于③：，可借助导数求最值，即可判断③；对于④：，可求最大值，即可判断④． 【详解】对于①：设是卵圆上的任意一个点， 因为，所以点也在卵圆上， 又点和点关于轴对称，所以卵圆关于轴对称，故①正确； 对于②：设点，，则（1）， 若存在卵圆上点与关于对称， 则在卵圆上，满足方程（2）， （1）（2）联立可得或， 所以卵圆上存在、两点恰好关于对称，故②错误， 对于③，由，得， 所以，又，所以， 设点，，， 则， 令， 则， 令，则或， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 又，，，（2），且， 所以，，即，，所以，，故③正确； 对于④，点，，， ， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的面积取得最大值1，故④正确． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 存在直线与直线垂直 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D. 【详解】对A，由可得，， 令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确； 对B，因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确； 对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即， 此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确； 对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为， 此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误； 故选：ABC. 10. 已知定义在的函数满足，且，当时，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用可求出判断A，根据定义域判断奇偶性判断B，由单调性定义判断C，由函数性质及单调性脱去“f”解不等式判断D. 【详解】令，得，即，则A正确； 由题意可知的定义域是，则是非奇非偶函数，故B错误； 当时，因为，所以，因为， 所以，则在上单调递增，故C错误； 令，得，因为，所以. 因为，所以，所以，所以等价于， 因为在上单调递增，所以，解得，则D正确. 故选：AD 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项为_________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项. 【详解】解：因为， 其中展开式的通项为， 令得的常数项为， 令，即得展开式中的系数为. 所以的常数项为. 故答案为： 13. 当时，曲线与的交点个数为______. 【答案】4 【解析】 【分析】分别画出两个函数在的函数图象即可判断交点的个数. 【详解】与在的图象如图所示， 由图可知，其交点个数有4个. 故答案为：4. 14. 已知函数，若当且仅当，则a的值是______，b的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】观察到，所以可以知道函数关于点对称，结合题意可以求出a,进而可以知道的表达式，再利用导数研究恒成立问题，进而求解b的取值范围. 【详解】因为，其定义域为， 所以，所以 ， 所以曲线关于中心对称， 因为在上连续,当且仅当时， 故为的一个解，所以即， 所以， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时，， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，的取值范围为. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四边形中， （1）求的正弦值； （2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）中，设，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案. （2）利用面积关系得到化简得到 根据（1）中解得答案. 【详解】（1）在中，设， 由余弦定理得 整理得，解得. 所以 由正弦定理得，解得 （2）由已知得， 所以， 化简得 所以 于是 因为，且为锐角，所以. 代入计算 因此 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力. 16. 如图，在三棱柱中，分别是梭的中点． （1）在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论； （2）若是边长为2的等边三角形，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）为棱的中点，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）为棱的中点，根据面面平行的判定定理证明即可. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面法向量后结合平方关系可求二面角的正弦值. 【小问1详解】 存在为棱的中点，使平面平面． 证明如下：如图，连接． 因为分别是棱的中点，所以， 因为平面平面，所以平面． 因为分别是棱的中点，所以， 因为平面平面，所以平面． 因为，面，所以平面平面，得证，． 【小问2详解】 取的中点，连接． 由为等边三角形，为棱的中点，可得， 因为，面，所以平面， 又平面，所以． 因为，所以为等边三角形，所以． 又，所以平面． 以为坐标原点，过点作的平行线作为轴，以所在直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则取． 设平面的法向量为， 则取． 所以， 则二面角的正弦值为． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数． （i）求的值； （ii）证明：存在实数 ，使得曲线关于直线对称． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当 时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）； （ii）证明：函数的定义域为．若存在 ，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以 ． 可知曲线关于直线对称． 【解析】 【分析】（1）求出，求导，，分和 两种情况讨论函数的单调性. （2）（ⅰ）求出，直接计算，即可得结果；（ⅱ）根据的定义域，推断函数的对称轴为，验证即可. 【小问1详解】 由题意可知，则的定义域为， ， 当时，，则在上单调递减； 当 时，令，即，解得， 若，； 若，， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当 时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 （i）函数，则，，故． （ii）略 18. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（I）（II）存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用直接法设，利用直线与的斜率之积等于，得到关于的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设，点的坐标分别为三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得和的面积，利用，进而得到关于的方程，求得点的坐标为． 试题解析：（1）点的轨迹方程为； 5分 （2）设点的坐标为，点的坐标分别为， 则直线的方程为， 直线的方程为． 令，得， 于是的面积， 8分 直线的方程为，， 点到直线的距离， 于是的面积， 10分 当时，得， 又，所以，解得， 因为，所以， 故存在点使得与的面积相等， 此时点的坐标为． 12分 考点：1．动点的轨迹方程；2．点到直线的距离公式和三角形的面积公式． 19. 已知有穷数列共有项，首项,设该数列的前项和为，且其中常数. （1）求证：数列是等比数列 （2）若，数列满足，求出数列的通项公式 （3）若（2）中的数列满足不等式，求出的值 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论的思想，分别对时和时进行讨论，求得与的关系，即可求解； （2）结合（1）的结论和条件得的表达式，对进行化简，结合对数运算即可求得数列的通项公式； （3）利用分类讨论对的大小进行判断，再结合不等式去绝对值，变形得关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）当时，，则； 当时，，， ， ， 数列是等比数列． （2）由（1）得， ， ， （3）设，解得，又是正整数，于是当时，； 当时，． 原式 ． 当，得，，又， 当，3，4，5，6，7时， 原不等式成立． 【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用．分类讨论思想、对数运算性质及绝对值不等式的解法，对运算能力要求高，属于难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $