精品解析：山东省菏泽市成武县伯乐高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024—2025学年度高二数学暑假学习质量监测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：D 2. 在中，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可得， 即. 故选：D 3. 设，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据化简复数，即可根据虚部概念求解. 【详解】由于，所以的虚部为1， 故选：A 4. 交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证安全．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将其放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕其顶点滚动，当其首次转回原位置时，交通锥筒恰好滚动了3周．若交通锥筒近似看成无底的圆锥，将地面近似看成平面，该圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的周长公式、圆锥的体积公式运算即可得解. 【详解】因为该圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为， 设圆锥的底面圆半径为， 则该圆锥的底面周长为， 故由题意，，则该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为， 故选：C. 5. 已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系及平行垂直性质判断逐一判断. 【详解】若,可以有或相交，故A错； 若，可以有或异面，故B错； 若，可以有、与斜交、，故C错； 过作平面，则，又，得，， 所以，故D正确. 故选:D 【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，属于基础题. 6. 某射击运动员射击5次的成绩如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 9环 9环 10环 8环 9环 下列结论正确的是（ ） A. 该射击运动员5次射击的平均环数为9.2 B. 该射击运动员5次射击的平均环数为9.5 C. 该射击运动员5次射击的环数的方差为1 D. 该射击运动员5次射击的环数的方差为 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均值和方差的公式即可求解. 【详解】该射击运动员5次射击的平均环数为， 5次射击的环数的方差. 结合选项可知：ABC错误，D正确. 故选：D. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】分和的情况分别考虑四个选项. 【详解】当时，表示一正一反，故，故A正确； 表示两个正面，此时，故B正确； 当时，表示既有正面朝上又有反面朝上， 故，故C正确； 当时，表示既有正面朝上又有反面朝上， 故，故D错误. 故选：D. 8. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ） A. 一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B. 该“十字贯穿体”的表面积是 C. 该“十字贯穿体”的体积是 D. 一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：求出，看是否符合勾股定理即可；对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成，分别求出来即可；对于C：求出两个正四棱锥重叠部分为多面体的体积，然后求整个几何体的体积；对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，则线段的长即为所求. 【详解】依题意，不妨设该几何体中心对称， 对于A：在梯形中，，， 则，所以， 即一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线不互相垂直，A错误； 对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成， 故表面积，B错误； 对于C：如图两个正四棱锥重叠部分为多面体，取的中点， 则多面体可以分成个全等的三棱锥， 又， 所以该“十字贯穿体”的体积是，C正确； 对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，如图： 则，所以为钝角， 连接，则线段的长为一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长，根据对称性可得， 因为，所以， 又， 所以， 所以，又， 所以， 则，D错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于几何体表面距离和问题，一般通过将各面旋转转化为共面问题，然后距离最小问题可以转化为两点之间线段最短或者垂线段最短的问题来解答. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件能得到为钝角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 利用余弦定理判断；B.利用余弦定理求得边c，再利用余弦定理判断；C.利用两角和的余弦公式判断；D.利用两角和的余弦公式判断. 【详解】A. 因为，由余弦定理得，角C为钝角，所以为钝角三角形，故正确； B. 因为，由余弦定理得， ，角B为钝角，所以为钝角三角形，故正确； C. 由，得 ，由 ，得 ， 又 ，所以角A为锐角，则，所以 ，所以， 所以为直角三角形，故错误； D. 由，得 ，则 ， 即 ，角B为钝角，所以为钝角三角形，故正确； 故选：ABD 10. 有一组样本数据，由这组数据得到的新样本数据，其中（其中，为非零常数），则（　　） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本方差相同 C. 两组样本数据的样本中位数相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质即可判断AB；根据中位数的定义即可判断C；根据极差的定义即可判断D. 【详解】对于A，， ， 因为，故平均数不相同，故A错误； 对于B，若样本数据的方差为， 则新样本数据的方差为， 故方差相同，故B正确； 对于C，若第一组中位数为，则第二组的中位数为， 因为，故中位数不相同，故C错误； 对于D，由极差的定义知：若第一组的极差为， 则第二组的极差为， 所以极差相同，故D正确； 故选：BD. 11. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点(不含端点)，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 存在点使得 C. 存在点使得异面直线与所成的角为60° D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，转证线线平行即可；对于B，转证线面垂直即可；对于C，把异面直线所成角转为相交直线所成角问题，借助边间关系即可判断；对于D，利用面面平行可知点到平面距离为定值. 【详解】如图，易证，平面，则有平面，故A正确； 设中点为，若为中点，则有，，， 则平面，则， 因为，所以，故B正确； 设正方体棱长为2，取中点为，连接， 因为，所以异面直线与所成的角即为， 在直角三角形中，，即，故C错误； 易知点到平面的距离为定值，则三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据如下：，该组数据的分位数是______． 【答案】14 【解析】 【分析】直接由百分位数的定义求解即可. 【详解】将这些数据从小到大排成，一共个数. 解不等式，得，故分位数是从小到大排第个数和第个数的算术平均数，即. 故答案为：. 13. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由三棱锥三条侧棱相等可知三棱锥的外接球球心在正三棱锥的高上且点在底面的射影即为的外心,可先由正弦定理求得外接圆半径，再由勾股定理求得外接球半径,即可求得球的表面积. 【详解】因为，所以点在平面上的射影为的外心， 如下图，又，所以的外接圆的半径， 从而三棱锥的高为. 设该三棱锥外接球的半径为，则，即，解得， 故球的表面积为. 故答案为：. 14. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出甲在一轮比赛中得分、分的概率，乙在一轮比赛中得分、分的概率，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为， 甲队在一轮比赛中得分的概率为， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 设在这一轮中，满足且为事件， 则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分， 所以， 即在这一轮中，满足且的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； （2）若圆与圆C相切，求实数m的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况； （2）分内切和外切，结合公式，列式求值. 【小问1详解】 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 则，解得，所以直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问2详解】 圆的方程可化为. 若圆与圆C外切，则，解得. 若圆与圆C内切，则，解得. 综上，或. 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，F为中点. （1）求证：平面EAB； （2）求点C到平面BDE的距离. 【答案】（1）证明：取BE的中点G，连接AG，FG， 所以且， 又，，，所以，且， 所以四边形ADFG为平行四边形，所以， 又平面EAB，平面EAB，所以平面EAB. （2）. 【解析】 【分析】（1）取BE的中点G，连接AG，FG，先证明四边形ADFG为平行四边形，然后利用平行四边形性质及线面平行判定定理证明即可. （2）由平面ABCD求得，然后利用线面垂直的性质定理得，进而求出，最后利用等体积法求出点面距. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以， 所以， 又平面ABCD，所以， 因为，，所以， 由平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，， 又，， 所以， 所以， 设点到平面BDE的距离为h，则，解得， 所以点C到平面BDE的距离为. 17. 中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求； （2）若且的面积为，求边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式化简进行求解即可； （2）由正弦定理得，，代入面积公式求边长． 【小问1详解】 中，， 由正弦定理得， 又， 所以， 由于，，有， 所以，又，则，所以. 【小问2详解】 由（1）， 而， 由正弦定理有，从而，， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为， 由已知的面积为，可得，所以. 18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），85 （2） （3）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则. 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 19. 定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. （1）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？ （2）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？ （3）若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）最小值为3，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义可得，解绝对值不等式可得答案； （2）根据曼哈顿距离的定义可得恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值，解不等式即可求得答案； （3）根据曼哈顿距离的定义可得的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案. 【小问1详解】 因为，，故， 由曼哈顿距离不大于5，得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 因为， 故， 由题意可得恒成立， 因为， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， 所以，则或，解得或. 故的取值范围是. 【小问3详解】 点在函数图象上且，点的坐标为， 故 当时，，函数在上单调递增， 故， 当且仅当时取等号. 当时，. 令，由于，故，. 当时，， 函数在上单调递减，故， 当且仅当时取等号. 综上可知，的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分段讨论，判断函数的单调性，求解最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高二数学暑假学习质量监测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 2. 在中，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 4 3. 设，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证安全．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将其放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕其顶点滚动，当其首次转回原位置时，交通锥筒恰好滚动了3周．若交通锥筒近似看成无底的圆锥，将地面近似看成平面，该圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 某射击运动员射击5次的成绩如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 9环 9环 10环 8环 9环 下列结论正确的是（ ） A. 该射击运动员5次射击的平均环数为9.2 B. 该射击运动员5次射击的平均环数为9.5 C. 该射击运动员5次射击的环数的方差为1 D. 该射击运动员5次射击的环数的方差为 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 8. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ） A. 一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B. 该“十字贯穿体”的表面积是 C. 该“十字贯穿体”的体积是 D. 一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件能得到为钝角三角形的是（ ） A. B. C. D. 10. 有一组样本数据，由这组数据得到的新样本数据，其中（其中，为非零常数），则（　　） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本方差相同 C. 两组样本数据的样本中位数相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 11. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点(不含端点)，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 存在点使得 C. 存在点使得异面直线与所成的角为60° D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据如下：，该组数据的分位数是______． 13. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 14. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； （2）若圆与圆C相切，求实数m的值. 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，F为中点. （1）求证：平面EAB； （2）求点C到平面BDE的距离. 17. 中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求； （2）若且的面积为，求边长． 18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 19. 定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. （1）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？ （2）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？ （3）若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $