第01讲 空间直角坐标系（2考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第01讲 空间直角坐标系 课程标准 学习目标 1 理解空间直角坐标系的概念； 2 会求空间直角坐标系点的坐标； 3 建立数感和空间感、培养空间想象和抽象思维和探索能力． 1. 掌握空间直角坐标系建立过程和相关概念； 2. 学会在空间直角坐标系中表示点的位置； 3. 培养学生的空间想象能力、抽象思维和探索能力。 知识点一、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向线段Ox，Oy，Oz，在三条线段上选取相同的长度单位，分别建立坐标轴，依次为x轴，y轴，z轴，从而组成了一个空间直角坐标系．（如图） 点O叫做坐标原点，三条坐标轴分别是横轴（即x轴）、纵轴（即y轴）与竖轴（即z轴）．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面与zOx平面．三个坐标平面把空间划分成八个部分，每个部分称为一个卦限． (2)相关概念：有了空间直角坐标系，我们就可以把空间中的任意一点P跟有序实数组建立起一一对应的关系．此时，有序实数组称为点P的坐标．记作，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标． 知识点二、空间直角坐标系点的坐标 设点P的坐标为． （1）点P关于xOy平面的对称点的坐标是 ；（2）点P关于yOz平面的对称点的坐标是 ； （3）点P关于xOz平面的对称点的坐标是 ；（4）点P关于x轴的对称点的坐标是 ； （5）点P关于y轴的对称点的坐标是 ； （6）点P关于z轴的对称点的坐标是 ； （7）点P关于坐标原点O的对称点的坐标是 ． 题型01 空间直角坐标系 1.如图，在长方体中，，，E、F分别为、的中点，分别以DA、DC、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求点E、F的坐标．    2.（多选）下列命题中正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是 B．在空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标是 C．在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可记作 D．在空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标是 3.在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为 .    4.已知在长方体中，，，点N是的中点，点M是的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标.    题型02 空间中点关于轴对称点 1.在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（    ） A． B． C． D． 3.在空间直角坐标系中，已知，关于z轴对称，则 ． 4.如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.    若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标； 题型03 空间中点关于面对称点 1.空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 2．空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，给出以下结论：①点的坐标为；②点关于点B对称的点为；③点A关于直线对称的点为；④点C关于平面对称的点为.其中所有正确结论的序号是 . 题型04 空间中点在各面的投影点 1.已知点，，则线段的中点M在平面上的射影点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影是点N，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.在空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为 5.已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 题型05 空间中两点之间的距离 1.已知空间中两点，，且，则实数x的值是（    ） A． B．或6 C． D．或2 2．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（    ） A． B． C．2 D． 3．在空间直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 3.在空间直角坐标系中，若点，则 . 4.在空间直角坐标系中，已知点和点，若点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为 ． 1．已知点，点A关于x轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 6．在空间直角坐标系中，点，点C是点关于轴的对称点，则（    ） A． B． C． D． 7.（多选）在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4) B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3) C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5) D．两点间的距离为3 8.（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线，，为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（    ） A．点与点关于z轴对称 B．点与点关于y轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 10.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ，若点关于平面对称的点为点，则 ． 11．若点到点，两点的距离相等，则x，y，z满足 ． 12．在空间直角坐标系中，过点作轴的垂线，则垂足与点的中点坐标为 ． 13.设点是空间直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为 ． 14．在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间直角坐标系 课程标准 学习目标 1 理解空间直角坐标系的概念； 2 会求空间直角坐标系点的坐标； 3 建立数感和空间感、培养空间想象和抽象思维和探索能力． 1. 掌握空间直角坐标系建立过程和相关概念； 2. 学会在空间直角坐标系中表示点的位置； 3. 培养学生的空间想象能力、抽象思维和探索能力。 知识点一、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向线段Ox，Oy，Oz，在三条线段上选取相同的长度单位，分别建立坐标轴，依次为x轴，y轴，z轴，从而组成了一个空间直角坐标系．（如图） 点O叫做坐标原点，三条坐标轴分别是横轴（即x轴）、纵轴（即y轴）与竖轴（即z轴）．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面与zOx平面．三个坐标平面把空间划分成八个部分，每个部分称为一个卦限． (2)相关概念：有了空间直角坐标系，我们就可以把空间中的任意一点P跟有序实数组建立起一一对应的关系．此时，有序实数组称为点P的坐标．记作，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标． 知识点二、空间直角坐标系点的坐标 设点P的坐标为． （1）点P关于xOy平面的对称点的坐标是 ；（2）点P关于yOz平面的对称点的坐标是 ； （3）点P关于xOz平面的对称点的坐标是 ；（4）点P关于x轴的对称点的坐标是 ； （5）点P关于y轴的对称点的坐标是 ； （6）点P关于z轴的对称点的坐标是 ； （7）点P关于坐标原点O的对称点的坐标是 ． 题型01 空间直角坐标系 1.如图，在长方体中，，，E、F分别为、的中点，分别以DA、DC、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求点E、F的坐标．    【答案】， 【详解】由题意，，，E、F分别为、的中点，∴，． 2.（多选）下列命题中正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是 B．在空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标是 C．在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可记作 D．在空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标是 【答案】BCD 【详解】A．在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是，故错误； B．在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定是，故正确； C．在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可记作，故正确； D．在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标是，故正确； 故选：BCD． 3.在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为 .    【答案】 【详解】依题意，，则， 则点，而点， 所以PD的中点M的坐标为. 故答案为： 4.已知在长方体中，，，点N是的中点，点M是的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标.    【答案】，，. 【详解】由于D为坐标原点，所以， 因为，，则，，，， 因为点N是的中点，点M是的中点，所以，. 题型02 空间中点关于轴对称点 1.在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点横坐标关于y轴对称的横坐标为， 点纵坐标关于y轴对称的纵坐标为， 点竖坐标关于y轴对称的竖坐标为， 所以点关于y轴对称点的坐标为. 故选：C. 2．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点关于轴的对称点为， 故选：C． 3.在空间直角坐标系中，已知，关于z轴对称，则 ． 【答案】－5 【详解】∵其关于z轴对称的点的坐标为， 又对称点为，则，， ∴， 故答案为：－5． 4.如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.    若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标； 【答案】，. 【详解】（1）因为，所以，又，设， 则，解得，所以点P的坐标为， 故点P关于y轴的对称点的坐标为. 题型03 空间中点关于面对称点 1.空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】关于平面的对称点为. 故选：B 2．空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得: 关于平面的对称点的竖坐标和纵坐标不变，横坐标相反， 即所求的坐标为. 故选：B 3.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设所求点的坐标为， 根据关于平面对称的两个点的横纵坐标不变，竖坐标互为相反数， 则有，故该点为. 故选：B. 4.如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，给出以下结论：①点的坐标为；②点关于点B对称的点为；③点A关于直线对称的点为；④点C关于平面对称的点为.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】因为在长方体中，，，， 所以点的坐标为，故①正确. 设点关于点B对称的点为则 解得：则点关于点B对称的点为；故②错误. 由立体几何的特征知：点A关于直线对称的点为故③正确. 由立体几何的特征知：点C关于平面对称的点为,故④正确. 故答案为：①③④. 题型04 空间中点在各面的投影点 1.已知点，，则线段的中点M在平面上的射影点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 线段的中点M的坐标为， 根据在平面上的射影点的特点为：横坐标为0，纵坐标，竖坐标保持不变， 从而点M在平面上的射影点的坐标为， 故选：A． 2.在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点在x轴上的射影横坐标不变，纵坐标和竖坐标为0，即， 点在平面上的射影横坐标和竖坐标不变，纵坐标为0，即. 故选：D. 3．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影是点N，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点在坐标平面内的射影是点，故点的坐标是 故选：C 4.在空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为 【答案】 【详解】在空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为. 故答案为： 5.已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 【答案】(1)，. (2)，，. 【详解】（1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，. （2）点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为，，. 题型05 空间中两点之间的距离 1.已知空间中两点，，且，则实数x的值是（    ） A． B．或6 C． D．或2 【答案】B 【详解】因为，，所以， 所以，解得或6. 故选：B 2．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】点关于z轴的对称点为B， 所以. 故选：A. 3．在空间直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】点到原点的距离为. 故选：A. 3.在空间直角坐标系中，若点，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为： 4.在空间直角坐标系中，已知点和点，若点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设，由， 则， 解得，即． 故答案为：. 1．已知点，点A关于x轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标、竖坐标均互为相反数，点，点A关于x轴的对称点的坐标为. 故选：B. 2．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：点关于平面的对称点是. 故选：D. 3．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为. 故选：C 4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为． 故选：A. 5．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】因为点关于轴的对称点, 所以， 故选：A. 6．在空间直角坐标系中，点，点C是点关于轴的对称点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点C是点关于轴的对称点， 所以， 所以. 故选：C. 7.（多选）在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4) B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3) C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5) D．两点间的距离为3 【答案】BCD 【详解】点关于x轴的对称点的坐标为，故A错误； 点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确； 关于原点的对称的点的坐标为，故C正确； 两点间的距离为，故D正确. 故选：BCD 8.（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线，，为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【详解】根据题意知，点的坐标为，选项A正确，符合题意； B的坐标为，的坐标为， 故点关于点对称的点为，选项B错误，不符合题意； 在长方体中， 所以四边形为正方形，与垂直且平分， 即点关于直线对称的点为，选项C正确，符合题意； 点关于平面对称的点为，选项D正确，符合题意； 故选：ACD． 9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（    ） A．点与点关于z轴对称 B．点与点关于y轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 【答案】BD 【详解】点与点关于x轴对称，故错误； 点与关于y轴对称，故正确； 点与不关于平面对称，故错误； 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故正确． 故选：. 10.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ，若点关于平面对称的点为点，则 ． 【答案】 【详解】点关于轴对称的点的坐标为， 点关于平面对称的点为点的坐标为， 则两点间距离公式得到. 故答案为：；. 11．若点到点，两点的距离相等，则x，y，z满足 ． 【答案】 【详解】由，可得， 整理得． 故答案为：. 12．在空间直角坐标系中，过点作轴的垂线，则垂足与点的中点坐标为 ． 【答案】 【详解】过空间任意一点作轴的垂线，垂足的坐标均为的形式， 所以垂足的坐标为， 故所求中点坐标为， 故答案为：． 13.设点是空间直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【详解】点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为： 14．在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为 . 【答案】 【详解】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为， 又，所以，解得，所以点P的坐标为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$