第二章 常用逻辑用语（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第二章 常用逻辑用语（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第一章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 2．若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 4．已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．下列命题为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（    ） A．集合 B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 10．下列命题中，正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 11．下列四个结论中正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．设，，则“”的充分不必要条件是“” C．若“，”为假命题，则 D．已知命题p：存在 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 13．设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的 条件． 14．已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 16．(本小题满分15分)设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 17．(本小题满分15分)若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 18．(本小题满分17分)请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？ 19．(本小题满分17分)设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：. (1)计算：； (2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明； (3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 常用逻辑用语（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第一章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题. 【详解】命题“”为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A 2．若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，由必要条件的定义即可判断的范围. 【详解】或， “或”是的必要条件，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 3．“”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】大于3的数不一定大于π，但大于π的数一定大于3，不能推出，可以推出, 故选：D 4．已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接写出答案. 【详解】已知命题：有些实数的相反数是正数，即， 则， 故选：B. 5．下列命题为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据特称命题和全称命题的真假一一判断即可. 【详解】对A，取，则，则“，”为假命题； 对B，取，则，则“，”为假命题； 对C，时，恒成立，则不存在，使得，则其为假命题； 对D，，解得，则“，”为真命题. 故选：D. 6．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】化简已知条件，根据充分条件、必要条件的概念可得解. 【详解】由，得， 即，则， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：A 7．已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由存在性命题为真，求出的范围，再否定结论即可作答. 【详解】 命题，使为真命题，则， 解得或， 而命题“，使”是假命题，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 8．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案. 【详解】∵不等式在R上恒成立， ∴ ，解得， 又∵，∴，则不等式在R上恒成立， ∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件, 故选:A. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（    ） A．集合 B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】A选项，根据定义判断；B选项，根据集合中的元素个数计算；C选项，根据“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，然后求的范围即可；D选项，分和两种情况分析即可. 【详解】时，时，， 时，，时，， 时，，时，， ，集合的非空真子集有个，所以A，B错误． 又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，C正确． 若，则时，； 时，， 综上，D正确． 故选：CD. 10．下列命题中，正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AB 【分析】A项：利用不等式知识即可判断； B，C项：根据充分条件与必要条件知识即可判断； D项：根据交并集知识即可判断. 【详解】对于A项：由“”可以推出，但反之不可以，故A项正确. 对于B项：由“”推不出“”，但反之可以，故B项正确. 对于C项：由“”可以推出“”，但反之不可以，故C项错误. 对于D项：由题意知：是(A∩B)∪C的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，故D项错误. 故选:AB. 11．下列四个结论中正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．设，，则“”的充分不必要条件是“” C．若“，”为假命题，则 D．已知命题p：存在 【答案】CD 【分析】A选项，根据全称命题的否定判断；B选项，分别分析充分性和必要性即可；C选项，根据“，”为假命题得到则“，”为真命题，然后列不等式求解即可；D选项，根据为假命题得到命题为真命题，然后将存在问题转化为，最后求最小值即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”，故A错； 不能推出，比如，，时，满足，但；也不能推出，只能得到， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错； 若“，”为假命题，则“，”为真命题， 所以，解得，故C正确； 若为假命题，则命题为真命题，不等式可整理为， 解得，因为存在，使，所以，即，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可. 【详解】由已知得，. 设,， 若是的充分不必要条件，则，， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 13．设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的 条件． 【答案】充分必要 【分析】根据题设定义，再结合充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果. 【详解】若，则，则，故成立， 若，则，所以， 所以“”是“”的充要条件， 故答案为：充分必要 14．已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可. 【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a． 设， 若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求； （2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，． 当时，，或 又， ； （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：． 16．(本小题满分15分)设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】设两个方程公共实数根，代入方程化简得到，求得，代入，得到，证得必要性成立；由，可得，代入两个方程，化简得到两方程有公共实数根，进而得到充分性成立，即可得证. 【详解】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 17．(本小题满分15分)若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 【答案】(1)集合不是“好集”， 有理数集是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)命题、均为真命题，理由见解析 【分析】（1）按照新定义，判断、是否符合条件即可； （2）根据条件进行推导，先判断，进而可证； （3）类似（2）根据“好集”的性质进行推导即可. 【详解】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”. 因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”. 有理数集是“好集”. 理由： 因为，， 对任意的，，有，且时，， 所以有理数集是“好集”. （2）证明:因为集合是“好集”， 所以， 若，，则，即. 所以，即. （3）命题、均为真命题，理由如下： 对任意一个“好集”，任取，， 若，中有0或1时，显然. 若，均不为0，1，由定义可知，，， 所以，即，所以. 由（2）可得，即. 同理可得. 若或，则. 若且，则. 所以，所以. 由（2）可得，所以. 综上可知，，即命题为真命题. 若，，且，则，所以，即命题q为真命题. 18．(本小题满分17分)请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？ 【答案】答案见解析 【分析】若选择条件①，可得集合A是集合B的真子集，列出不等式组可得实数m的取值范围；若选择条件②，可得集合B是集合A的真子集，列出不等式组可得实数的取值范围；若选择条件③，列出方程组可得集合A等于集合B可得答案. 【详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得， 所以，实数m的取值范围是； 若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有，解得， 所以，实数的取值范围是； 若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解， 所以，不存在满足条件的实数. 19．(本小题满分17分)设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：. (1)计算：； (2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明； (3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I. 【答案】(1)； (2)交换律：，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用给定定义直接计算作答. （2），再利用所给定义计算证明作答. （3）结合（2）及给定条件，求出元素I，再验证即可作答. 【详解】（1）. （2）交换律：，证明如下： 依题意，设，，则， ， 所以. （3）若A中的元素，，都有成立，则由（2）知只需成立，设， 即，则， 当时，显然有成立，即元素为A中任意元素， 当时，则，解得， 因此当，都有成立时，得， 反之，当时，，设，， 所以“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件， 元素. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$