寒假作业01 集合与常用逻辑用语8类重点必刷题型（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 集合与常用逻辑用语 1.集合的含义与表示 （1）集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个 集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素. （2）元素的三个特性 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． （3）集合的两种表示方法 ①自然语言法：使用自然语言（即日常使用的语言，如中文、英文）来表示集合是一种非常常见且直观的方法。它通常用于描述集合中元素的共同属性或明确规则. ②列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． ③描述法：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． ④韦恩图法：用一种封闭的平面图形（通常是圆形或椭圆形）来直观地表示集合与集合之间的关系. 2.元素与集合关系的判断及应用 （1）属于与不属于概念： ①属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． ②不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． （2）常用数集及表示符号 数集 记法 数集的内涵 自然数集 自然数的核心是“表示物体个数的数”，即非负整数， 正整数集 或 整数集 涵盖了正整数、零和负整数， 有理数集 所有可以表示为形式的数，其中是整数，是正整数，且与互质. 实数集 有理数与无理数的并集. 3.子集 （1）子集的定义：对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”)． （2）真子集：如果集合是集合的子集，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集。记作或() （3）集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 （4）子集的性质 ①规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合，都有. ②任何一个集合都是它本身的子集，即. ③如果，，则. ④如果，，则. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论和两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． （5）子集的个数 如果集合中含有个元素，则有 ①的子集的个数有个． ②的非空子集的个数有个． ③的真子集的个数有个． ④的非空真子集的个数有个． 4.集合的运算：并集 （1）并集的概念与表示 一般地，由属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集，记作：（读作“并”），即．用图表示如图所示： （1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合，是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． （2）并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： ①，. ②. ③. ④． ⑤，则. 5.集合的运算：交集 （1）交集的概念与表示 一般地，由同时属于集合与集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作：（读作“交”），即．用图表示如图所示： ①与相交（有公共元素） ②，则 ③与相离（） 注意：①交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素． ②定义中的“所有”是指集合和集合中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． （2）交集的性质 ①； ②； ③； ④； ⑤，则. 6.集合的运算：补集 （1）全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作，是相对于所研究问题而言的一个相对概念． 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． （2）补集的概念 对于一个集合，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．用图表示如图所示： 说明：①补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． ②若，则或，二者必居其一． （3）补集的性质 ①； ②； ②. 7.容斥原理 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 8.命题定义与表示 （1）命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）命题的表示：命题表示为“若，则”时，是命题的条件，是命题的结论． 9.充分条件、必要条件与充要条件 （1）充分条件与必要条件： 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. （2）充分条件、必要条件与充要条件的关系 命题关系 递推关系 是的充分条件 的充分条件是 是的必要条件 的必要条件是 （3）充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作. 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. 10.全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． ②符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 11.存在量词与存在量词命题 （1）全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． （2）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 ②符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 12.全称量词命题与存在量词命题的真假判断 （1）判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。 13.命题的否定 （1）命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （2）全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． （3）存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． （4）命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （5）常见正面词语的否定： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至少有一个 至多有一个 否定 不等式 不大于 不小于 不是 不都是 一个都没有 至少有两个 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 集合的定义、性质与表示 1．（25-26高一上·重庆·月考）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 2．（25-26高一上·安徽·月考）下列各组对象不能组成集合的是（   ） A．大于6的所有整数 B．安徽省的所有高个子 C．太阳系的所有行星 D．函数图象上所有的点 3．（25-26高一上·江苏镇江·月考·多选）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．方程的根 4．（25-26高一上·吉林白城·月考·多选）下列各组对象能构成集合的有（    ）． A．某一天到商场买过商品的顾客 B．小于0的实数 C．与 D．未来世界的高科技产品 题型二 元素与集合的关系 1．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·宁夏银川·月考）集合，若且，则的取值为 ． 4．（25-26高一上·上海·期中）已知，则 ． 题型三 集合与集合的关系 1．（25-26高三上·河南周口·月考）已知集合，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·月考）若，，则 ．（填“”或“”或“”） 4．（25-26高一上·山东潍坊·月考）已知，若，则的取值范围为 . 题型四 子集、真子集的相关计算 1．（25-26高一上·广东广州·月考）若集合，，则的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（25-26高三上·安徽·期中）集合的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 4．（25-26高三上·辽宁·期中）已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 题型五 集合的运算：交集、并集、补集 1．（2025·安徽合肥·一模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州·期中）已知集合，，则 ． 4．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 = 5．（25-26高一上·江苏盐城·月考）设全集，集合. (1)求； (2)已知集合，若，求的取值范围. 6．（25-26高一上·云南曲靖·月考）已知全集，集合，函数的定义域为． (1)求集合，，； (2)已知集合，若，求实数的取值范围． 题型六 充分条件与必要条件 1．（2025·安徽合肥·一模）已知命题，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（25-26高一上·江西赣州·月考）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 4．（25-26高三上·河北衡水·月考）设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 5．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·月考）设函数的定义域为集合A，集合． (1)若，求； (2)设，，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 6．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知集合，. (1)若，求和； (2)设，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型七 全称量词与存在量词 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）设命题，，则的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏扬州·月考）命题“，”否定是 ． 4．（25-26高一上·江苏苏州·月考）写出满足条件，恒成立的一个实数a的值为 ． 题型八 德摩根律与容斥原理 1．（25-26高一上·山东德州·月考）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 3．（24-25高一上·福建厦门·月考）高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是 ． 4．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有 人. 1．（25-26高一上·浙江金华·月考）已知实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·北京·月考）已知且满足，，互不相同，集合，集合，则满足的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·贵州遵义·月考·多选）已知命题，命题且，则下列说法正确的是（    ） A．命题为真命题 B．命题的否定为“” C．当时，命题为真命题 D．不存在实数，使得命题为真命题 4．（25-26高一上·江苏苏州·月考·多选）有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，则下列命题真命题是（    ） A．的充要条件是 B．的必要不充分条件是 C．的充分不必要条件是 D．的充要条件是 5．（25-26高一上·江苏南通·月考）设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是 ． 6．（25-26高一上·河南郑州·期中）如果对于任意的，总存在，使得，那么实数的取值范围是 . 7．（25-26高一上·浙江宁波·月考）设全集，集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 8．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 1．（25-26高一上·天津河北·月考）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 2．（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高一上·甘肃·月考·多选）设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（ ） A．集合是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 4．（25-26高一上·四川凉山·期中·多选）已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 5．（25-26高一上·江苏无锡·月考）设集合，若，将A中所有数的和记为A的容量（若A为空集，规定A的容量为0），若A的容量为奇（偶）数，则称A为U的奇（偶）子集． （1）若，则U的奇子集个数为 ； （2）当时，U的偶子集个数（用n表示）为 ． 6．（24-25高一上·重庆·月考）设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是 ． 7．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 8．（25-26高一上·浙江温州·期中）对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”． (1)判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由； (2)求证：集合一定不是“2-强可分集合”； (3)若集合是“1-强可分集合”． ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 集合与常用逻辑用语 1.集合的含义与表示 （1）集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个 集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素. （2）元素的三个特性 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． （3）集合的两种表示方法 ①自然语言法：使用自然语言（即日常使用的语言，如中文、英文）来表示集合是一种非常常见且直观的方法。它通常用于描述集合中元素的共同属性或明确规则. ②列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． ③描述法：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． ④韦恩图法：用一种封闭的平面图形（通常是圆形或椭圆形）来直观地表示集合与集合之间的关系. 2.元素与集合关系的判断及应用 （1）属于与不属于概念： ①属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． ②不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． （2）常用数集及表示符号 数集 记法 数集的内涵 自然数集 自然数的核心是“表示物体个数的数”，即非负整数， 正整数集 或 整数集 涵盖了正整数、零和负整数， 有理数集 所有可以表示为形式的数，其中是整数，是正整数，且与互质. 实数集 有理数与无理数的并集. 3.子集 （1）子集的定义：对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”)． （2）真子集：如果集合是集合的子集，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集。记作或() （3）集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 （4）子集的性质 ①规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合，都有. ②任何一个集合都是它本身的子集，即. ③如果，，则. ④如果，，则. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论和两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． （5）子集的个数 如果集合中含有个元素，则有 ①的子集的个数有个． ②的非空子集的个数有个． ③的真子集的个数有个． ④的非空真子集的个数有个． 4.集合的运算：并集 （1）并集的概念与表示 一般地，由属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集，记作：（读作“并”），即．用图表示如图所示： （1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合，是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． （2）并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： ①，. ②. ③. ④． ⑤，则. 5.集合的运算：交集 （1）交集的概念与表示 一般地，由同时属于集合与集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作：（读作“交”），即．用图表示如图所示： ①与相交（有公共元素） ②，则 ③与相离（） 注意：①交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素． ②定义中的“所有”是指集合和集合中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． （2）交集的性质 ①； ②； ③； ④； ⑤，则. 6.集合的运算：补集 （1）全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作，是相对于所研究问题而言的一个相对概念． 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． （2）补集的概念 对于一个集合，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．用图表示如图所示： 说明：①补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． ②若，则或，二者必居其一． （3）补集的性质 ①； ②； ②. 7.容斥原理 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 8.命题定义与表示 （1）命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）命题的表示：命题表示为“若，则”时，是命题的条件，是命题的结论． 9.充分条件、必要条件与充要条件 （1）充分条件与必要条件： 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. （2）充分条件、必要条件与充要条件的关系 命题关系 递推关系 是的充分条件 的充分条件是 是的必要条件 的必要条件是 （3）充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作. 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. 10.全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． ②符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 11.存在量词与存在量词命题 （1）全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． （2）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 ②符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 12.全称量词命题与存在量词命题的真假判断 （1）判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。 13.命题的否定 （1）命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （2）全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． （3）存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． （4）命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （5）常见正面词语的否定： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至少有一个 至多有一个 否定 不等式 不大于 不小于 不是 不都是 一个都没有 至少有两个 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 集合的定义、性质与表示 1．（25-26高一上·重庆·月考）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 2．（25-26高一上·安徽·月考）下列各组对象不能组成集合的是（   ） A．大于6的所有整数 B．安徽省的所有高个子 C．太阳系的所有行星 D．函数图象上所有的点 【答案】B 【详解】对于A，大于6的所有整数，满足确定性，故A能组成集合； 对于B，高个子的标准不确定，不满足确定性，所以B不能构成集合； 对于C，太阳系的所有行星，满足确定性，故C能组成集合； 对于D，函数图象上所有的点，满足确定性，故D能组成集合； 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏镇江·月考·多选）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．方程的根 【答案】BCD 【详解】对于A，美丽乡村不具有确定性，错误， 对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点，是确定的，正确， 对于C，不小于3的自然数，是确定的，正确， 对于D，解方程， 平方可得：， 移项平方可得：，即，元素确定，正确， 故选：BCD 4．（25-26高一上·吉林白城·月考·多选）下列各组对象能构成集合的有（    ）． A．某一天到商场买过商品的顾客 B．小于0的实数 C．与 D．未来世界的高科技产品 【答案】ABC 【详解】A中“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定，能构成集合； B中小于0是一个明确的标准，能构成集合； C中与是两个不同的点，是确定的，能构成集合； D中未来世界的高科技产品，该对象不具备确定性，不能构成一个集合． 故选：ABC 题型二 元素与集合的关系 1．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 2．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解方程得，所以，根据元素与集合的关系故A正确； 空集是任何集合的子集，所以，故B正确； 表示无理数组成的集合，均为无理数，所以，故C正确； 表示的是集合，所以，故D错误. 故选：D. 3．（25-26高一上·宁夏银川·月考）集合，若且，则的取值为 ． 【答案】 【详解】由集合， 因为，则或，解得或或， 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，满足. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【详解】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 题型三 集合与集合的关系 1．（25-26高三上·河南周口·月考）已知集合，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由不等式，可得，解得，所以， 又由集合， 因为，所以，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 2．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 3．（25-26高一上·上海·月考）若，，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【详解】对于， 当时，， 当时，， 化简得， 令，则， 与集合形式相同，故. 故答案为： 4．（25-26高一上·山东潍坊·月考）已知，若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，可得，则，解得， 综上，的取值范围为 故答案为： 题型四 子集、真子集的相关计算 1．（25-26高一上·广东广州·月考）若集合，，则的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的子集个数为：2． 故选：B． 2．（25-26高三上·安徽·期中）集合的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】因为，若，则， ∴，，又∵，∴， 所以该集合的子集的个数为. 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 4．（25-26高三上·辽宁·期中）已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】D 【详解】当时，，成立， 当时，， 因为，故或，此时或1， 综上，，故真子集个数为. 故选：D. 题型五 集合的运算：交集、并集、补集 1．（2025·安徽合肥·一模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，由，得， 所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·湖南·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】或. 则；，则. 又注意到，则. 故选：B 3．（25-26高二上·贵州·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】，， 则． 故答案为： 4．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 = 【答案】 【详解】由题意， 知全集， 又， 画出Venn图如下图所示， 即得. 故答案为：.    5．（25-26高一上·江苏盐城·月考）设全集，集合. (1)求； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，解得，所以， 由，得，解得或，所以， 所以. （2）由（1）知，所以， 因为， 则 当时，，解得， 当时，，或， 解得或. 综上，实数的取值范围为. 6．（25-26高一上·云南曲靖·月考）已知全集，集合，函数的定义域为． (1)求集合，，； (2)已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)． 【详解】（1）解不等式，即，解得，得， 对于函数，由，解得，则， ，则； （2）因为，所以， 当时，，得到，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 题型六 充分条件与必要条件 1．（2025·安徽合肥·一模）已知命题，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以，其中， 函数在上单调递减， 故当时，， 所以，又集合是集合的真子集， 所以是的一个必要不充分条件， 故选：B. 2．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，充分性成立； 若，当时，满足，而不成立，必要性不成立. 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（25-26高一上·江西赣州·月考）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26高三上·河北衡水·月考）设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由可得， 由可得， 当时，解得，符合题意； 当时，解得， 若是的充分条件，可知， 所以，即，成立， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·月考）设函数的定义域为集合A，集合． (1)若，求； (2)设，，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由题意可得，，解得，. 当时，， 或，. （2），∵是的必要不充分条件， ∴是的真子集. ∵，， ∴集合对应区间长度为4，集合对应区间长度为2，则. ， ，故的范围为． 6．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知集合，. (1)若，求和； (2)设，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解不等式得，所以， 当时，，解不等式得，所以， 所以， 因为或，所以. （2）不等式可化为，解得， 所以，所以或， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或，所以或， 所以实数的取值范围为. 题型七 全称量词与存在量词 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）设命题，，则的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】特称命题的否定是全称命题，所以命题，的否定是： ，， 故选：C． 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为命题“，使得”为假命题， 所以命题“，使得”为真命题， 当时，在上恒成立，符合题意； 当对称轴时，即时，要使不等式成立，则， 化简得，解得，因为，所以； 当对称轴时，即时，要使不等式成立，则，解得， 而，所以此时无解； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏扬州·月考）命题“，”否定是 ． 【答案】， 【详解】命题“，”否定是：“，” 故答案为：， 4．（25-26高一上·江苏苏州·月考）写出满足条件，恒成立的一个实数a的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】对于恒成立，即在上恒成立， 设，可得函数在为单调递减函数， 所以，所以，即实数的取值范围为，可取. 故答案为：（答案不唯一）. 题型八 德摩根律与容斥原理 1．（25-26高一上·山东德州·月考）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 3．（24-25高一上·福建厦门·月考）高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是 ． 【答案】. 【详解】设两项都合格的人数为，则由题意得 ，解得， 即这两项成绩都合格的人数是． 故答案为：. 4．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有 人. 【答案】4 【详解】如图所示： 因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人； 同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人； 则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人， 可得至少去过一个地方的有人， 所以三个地方都没去过的同学有人. 故答案为：4. 1．（25-26高一上·浙江金华·月考）已知实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为在定义域内单调递减， 可知函数在定义域内单调递减， 若，即，可得， 所以等价于； 又因为在定义域内单调递增， 若，即，可得， 所以等价于； 综上所述：等价于， 所以“”是“”成立的充要条件. 故选：B. 2．（25-26高一上·北京·月考）已知且满足，，互不相同，集合，集合，则满足的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 由，可知且， 所以，或 当时，或 ， 由和的图象可知，它们在有且仅有一个交点， 即有唯一，使得成立， 此时集合的个数为1， 当时，即， 若，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理和函数单调性可知，在 上存在唯一零点， 即有唯一，使得成立， 此时集合的个数为1， 综上可知：集合的个数为2， 故选：B 3．（24-25高一上·贵州遵义·月考·多选）已知命题，命题且，则下列说法正确的是（    ） A．命题为真命题 B．命题的否定为“” C．当时，命题为真命题 D．不存在实数，使得命题为真命题 【答案】ABD 【详解】对于A，，要使，只需，即或， 例如可取，因此命题p是真命题，故A正确； 对于B，特称命题的否定是全称命题，且将结论否掉即可， 所以命题p的否定为“”，故B正确； 对于C，当时，命题q为假命题例如当时，，故C错误； 对于D，当时，由基本不等式， 当且仅当时取等号，此时要恒成立则； 当时，令，则， 当且仅当时取等号，且无最小值， 因此不存在实数m，使恒成立，故D正确． 故选：ABD． 4．（25-26高一上·江苏苏州·月考·多选）有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，则下列命题真命题是（    ） A．的充要条件是 B．的必要不充分条件是 C．的充分不必要条件是 D．的充要条件是 【答案】AB 【详解】对于A：因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故A正确； 对于B：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 说明集合中的元素都是集合中的元素， 则， 即的必要不充分条件是，故B正确； 对于C：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 如，则，满足， 但是集合、没有任何关系，故推不出， 即充分性不成立，故C错误； 对于D：集合中的元素与集合中的元素完全相同，则， 但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同， 如，则， 显然集合没有包含关系，故D错误. 故选：AB 5．（25-26高一上·江苏南通·月考）设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：因为非空，故； 当时，，， 当时，有，即，但，矛盾； 当时，，， 当时，有，即，即，故； 当时，，， 当时，有，即，即，解得， 综上，m的取值范围为. 故答案为： 6．（25-26高一上·河南郑州·期中）如果对于任意的，总存在，使得，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，且，可得， 构造，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，，， 因为，可知在内的值域为， 又因为在内单调递增， 且，，可知在内的值域为， 原题意等价于对于任意的，总存在，使得， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（25-26高一上·浙江宁波·月考）设全集，集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）等价于，解得或，故集合， 当时，集合的不等式为，解得，故集合. 因此. （2）由可知，因为，所以. 集合的不等式因式分解为， 判别式. 当时，，不等式为，解集，满足； 当时，，故集合， 需满足且，解得； 当时，，故， 需满足且，但与无交集，无解. 综上所述，实数的取值范围为或. 8．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，，，； （2）证明：集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分不必要条件是“”； （3）证明：集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为， ． 1．（25-26高一上·天津河北·月考）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 【答案】A 【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：， 集合的元素之和为， 所以集合的全部非空子集的厚度之和为：. 故选：A 2．（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意可知，，故， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上，a的可能的取值为 故选：D. 3．（25-26高一上·甘肃·月考·多选）设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（ ） A．集合是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】BCD 【详解】对于A，对于，因，故集合不是“闭集合”，A错误； 对于B，对任意的、，必有成立，故正整数集是“闭集合”，B正确； 对于C，若取，因、、均在集合中，即为“闭集合”，C正确； 对于D，对任意的、，则、且、， 因为集合、都是“闭集合”，所以且，故， 因此一定是“闭集合”，D正确. 故选：BCD. 4．（25-26高一上·四川凉山·期中·多选）已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项：假设，则，又因为，则无意义，与题意矛盾，故A错误； 对于B选项：假设，则，则，则， 若中有3个元素，则，此时中所有元素之积，故B正确； 对于C选项：假设，则，则，则，则， 若中有4个元素，则，此时中所有元素之积，故C正确； 对于D选项：若由四个元素组成，则，所有元素之和为3，即，化简得，两边同时除以得： 所以或， 当时，， 当时，, 所以 所以，满足题意，故D正确. 故选：BCD. 5．（25-26高一上·江苏无锡·月考）设集合，若，将A中所有数的和记为A的容量（若A为空集，规定A的容量为0），若A的容量为奇（偶）数，则称A为U的奇（偶）子集． （1）若，则U的奇子集个数为 ； （2）当时，U的偶子集个数（用n表示）为 ． 【答案】 4 【详解】若，， 所以的奇子集有，，，，共4个； 对于给定的中元素1，将的所有偶子集划分为含1和不含1两类，所有含1的偶子集去掉1，则变为不含1的奇子集， 所有不含1的偶子集加入1，则变为含1的奇子集，对所有的奇子集作同样的分析，可得偶子集和奇子集一一对应，故其数量相等， 因为个元素的集合其子集数量为，故偶子集的个数为其一半，即. 故答案为：4； 6．（24-25高一上·重庆·月考）设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】对于①，若是“完美集”，且， 假设也是“完美集”，设，在中任取一个， 此时可证得，否则若，由于也是“完美集”， 则，与矛盾，故， 由于是“完美集”， 也是“完美集”，所以， 而，这与矛盾， 故当且是“完美集”时，则不是“完美集”， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故①错误； 对于②，取，则， 又是“完美集”，， ， 所以是“完美集”，故②正确； 对于③，当集合时，显然它是“完美集”，即可以是有限集，故③正确； 对于④，取“完美集”， 则，但，即此时不是“完美集，故④错误． 故答案为：②③． 7．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】(1)或或 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，，且是“等差集”，所以至少含有三个元素， 因为，， 根据“等差集”的定义可知或或. （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. （3）假设是“等差集”，显然， 则存在、、，使得成立，整理得， 易知，所以，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 8．（25-26高一上·浙江温州·期中）对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”． (1)判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由； (2)求证：集合一定不是“2-强可分集合”； (3)若集合是“1-强可分集合”． ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值． 【答案】(1)不是“2-强可分集合”，理由见解析； (2)证明见解析； (3)①证明见解析；②7. 【详解】（1）因为，若去掉2和10， 则剩余元素之和为，故划分成的两个集合的元素之和应均为， 但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数， 所以不是“2-强可分集合” （2）不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，或者； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“2-强可分集合” （3）①设集合所有元素之和为． 由题可知，均为偶数， 因此均为奇数或偶数． 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数． 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“1-强可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数． 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②当时，显然任意集合不是“1-强可分集合”． 当时，设，不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④． 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“1-强可分集合”；. 当时，集合， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为24， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为23， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为22， 当移除7时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为21， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为20， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为19， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为18， 则集合是“-强可分集合”． 所以集合A中元素个数的最小值是7． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $