7.4.2超几何分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.4.2　超几何分布 7.4　二项分布与超几何分布 课标要求 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.2.能用超几何分布解决简单的实际问题. 素养要求 通过本节课的学习，发展数学运算及数据分析素养. 预习教材 必备知识探究 1 1.问题　已知4枚骰子中有2枚质地不均匀，某人从中任取2枚，记取出质地不均匀的骰子的个数为X.试问： (1)取出质地不均匀的骰子的个数X的取值是多少？ 提示　X的取值可以为0，1，2. (2)取出的2枚骰子中有1枚质地不均匀的概率是多少？有2枚质地不均匀的概率是多少？ (3)取出的2枚骰子中有质地不均匀的骰子的概率是多少？ 4 2.填空　(1)一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. np 5 温馨提醒　(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”. (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 6 B 3.做一做　(1)一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) 解析　设取到的次品数为X，则X服从超几何分布. (2)从装有大小、质地相同的3个红球、2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则E(ξ)＝________. √ 4.思考辨析　正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”. (1)从4名男演员和3名女演员中随机选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　) (2)超几何分布与二项分布的期望值都为np.(　　) (3)在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”等.(　　) (4)一个箱子中有6个白球，8个红球，从中随机有放回地摸出4个球作为样本，用X表示样本中白球的个数，则X服从超几何分布.(　　) 提示　是有放回地摸取，X服从二项分布. √ √ × 研析题型 关键能力提升 2 (1)求7名学生中甲班的学生数； 题型一　超几何分布的概率计算 解　设甲班的学生人数为M， 即M2－M－6＝0， 解得M＝3或M＝－2(舍去). ∴7名学生中甲班的学生共有3人. (2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率. 解　由题意可知，ξ服从超几何分布， ∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2) 1.超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成. 2.超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆. 思维升华 训练1 生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格.采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱进行检测，若至多有1箱不合格，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率为________. 解析　设X表示取出5箱中不合格产品的箱数，则X服从超几何分布， 其中N＝50，M＝2，n＝5. 这批产品被接收的条件是X＝0或1， 例2 袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，现从袋中任取4个球. (1)求得分X的分布列； 题型二　超几何分布的分布列 解　从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共4种情况， 得分分别为5分，6分，7分，8分， 故X的可能取值为5，6，7，8. (2)求得分大于6分的概率. 解　根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为 求超几何分布的分布列的步骤 思维升华 训练2 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动. (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数X的分布列. 解　X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布， ∴X的分布列为 题型三　超几何分布的综合应用 例3 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； 解　设A＝“选出的3名同学是来自互不相同的学院”， (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望. 解　依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能值为0，1，2，3， 所以随机变量X的分布列是 1.求解超几何分布的分布列与均值： (1)验证随机变量服从超几何分布，代入公式计算随机变量取值的概率. (2)求分布列，计算随机变量的均值. 思维升华 训练3 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.某顾客甲从10张奖券中任意抽取2张. (1)求顾客甲中奖的概率； 解　顾客甲中奖即所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖， (2)设顾客甲获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列与数学期望. 解　Y的所有可能取值为0，10，20，50，60， 因此随机变量Y的分布列为 因此顾客甲获得奖品总价值的期望为16元. 课堂小结 1.明确超几何分布的三个特点，理解超几何分布的概念. 2.掌握两种方法： (1)若X服从超几何分布，代入概率公式计算概率，得分布列. (2)利用数学期望的公式求超几何分布的期望. 3.常见误区：在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布；如果采用放回抽样，则服从二项分布. 分层精练 核心素养达成 3 1.(多选)关于超几何分布，下列说法正确的是(　　　) ACD A.超几何分布的模型是不放回抽样 B.超几何分布的总体里可以有两类或三类 C.超几何分布中的参数是N，M，n D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 解析　由超几何分布的定义易知A，C，D均正确， 因为超几何分布的总体里只有差异明显的两类，故选项B错误. 2.设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为(　　) D 解析　　从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布， 故至多3个红球的概率为P(X≤3) X服从超几何分布， C 4.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)等于(　　) D 解析　法一(公式法)　由题意得随机变量X服从超几何分布n＝2，M＝4，N＝10， 法二　由题意知，X的可能取值为0，1，2， 则X的分布列为 5.(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　　) ACD A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时摸球的总次数 解析　由超几何分布的定义可知B为超几何分布，其余不是超几何分布. 6.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝__________. 7.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则P(X≥8)＝__________. 解析　设口袋中有白球x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ服从超几何分布， 3 解得x＝3. 9.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； 解　设抽到他能背诵的课文的数量为X， X的可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 所以X的分布列为 (2)他能及格的概率. 10.某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10，15，25名学生代表进行调研. (1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率； 记M＝“2名学生代表来自不同年级”， 则事件M包含的样本点个数为 (2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的期望值. 解　高一、高二年级分别有10，15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0，1，2. 所以X的分布列为 A.2 B.4 C.6 D.8 AD 12.50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________. 15 ∴n至少为15. 13.根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效. (1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及均值； 解　X的所有可能取值为0，1，2， ∴X的分布列为 (2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性. (参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件) 解　新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈， 故实验方案合理. 14.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在[90，100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50，60)中，则n＝________，现由成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是________. 50 解析　由(0.012＋0.016＋0.018＋0.024＋x)×10＝1， 解得x＝0.03. 依题意得0.016×10n＝8，则n＝50. 成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50＝6， 其中4个为女生，2个为男生. ξ的可能取值为0，1，2，则ξ服从超几何分布. 本课结束 提示　P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 提示　P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝. (2)设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝eq \f(M,N)，则p是N件产品的次品率，而eq \f(X,n)是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝n·eq \f(M,N)＝_____. A. B. C. D. 因此P(X＝1)＝＝. 解析　E(ξ)＝2×＝. 例1 现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为eq \f(1,7). 则＝＝， ＝＋＝＋＝. 所以被接收的概率P(X≤1)＝＋＝ 或P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－＝. 则P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝. 故所求分布列为 X 5 6 7 8 P P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝. 解　所选3人中恰有一名男生的概率P＝＝. X 0 1 2 3 P 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 则P(A)＝＝. 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为eq \f(49,60). P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)， ∴P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以随机变量X的期望值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2(或E(X)＝＝1.2). P(X＝3)＝＝. X 0 1 2 3 P 2.若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝eq \f(nM,N). 故所求概率P＝＝＝. P(Y＝60)＝＝＝. 且P(Y＝0)＝＝＝， P(Y＝10)＝＝＝， P(Y＝20)＝＝＝， P(Y＝50)＝＝＝， 则E(Y)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16(元). Y 0 10 20 50 60 P A. B. C.1－ D.1－ ＝1－P(X＝4)＝1－. A. B. C. D. 3.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq \f(7,9).从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)等于(　　) 解析　设袋中白球个数为x，由题意得1－＝，解得x＝5. 其中P(X＝2)＝＝. A. B. C. D. 则E(X)＝＝2×＝. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝. X 0 1 2 P E(X)＝1×＋2×＝. 解析　易知P(X＝1)＝＝. 解析　由题意知P(X≥8)＝1－P(X＝6)－P(X＝4)＝1－－＝. 8.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的均值为，则口袋中白球的个数为________. 由超几何分布的均值公式得，E(ξ)＝eq \f(2x,7)＝eq \f(6,7)， 则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. X 0 1 2 3 P 解　他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 解　共50名学生代表，抽取2名的样本点总数为C＝1 225. CC＋CC＋CC＝775. 根据古典概型的概率计算公式，得P(M)＝eq \f(775,1 225)＝eq \f(31,49). P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的期望值E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.8. X 0 1 2 P 11.(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为eq \f(16,45)，则a的值为(　　) 解析　根据题意，得＝， 解得a＝2或a＝8. 解析　用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5， 解得n≥15. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. P(X＝2)＝＝， X 0 1 2 P ∴p＝C×＋C×＝≈0.01<0.05. P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝＝， 故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. $$