7.4.2 超几何分布 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2 超几何分布 问题 已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列． 我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B(4, 0.08) ． 如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布． 计算的具体结果（精确到0.00001）如表7.4-1所示． 表7.4-1 X 0 1 2 3 4 P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）． 例1 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率． 例2一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 变式训练1: 一批产品中有13件正品、2件次品,从中不放回地任取3件,求取出次品数为ξ的分布列. 变式训练2: 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机取出3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率; (2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列. 探究 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 【例3】 一个袋子中装有60个大小、质地完全相同的球,其中有20个黄球、40个白球,从中随机地摸出10个球作为样本,用X表示样本中黄球的个数. (1)有放回地摸球,求X的分布列及期望; (2)不放回地摸球,求X的分布列及期望. 二项分布和超几何分布都可以描述从N件产品中随机抽取的n件产品中次品数的分布规律(n,N∈N*),并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似. 例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率． 分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，X～B(20,0.4)；而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布． 例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率． （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到 0.00001 )， 如表7.4-2 所示． k p1k p2k k p1k p2k 0 0.000 04 0.000 01 11 0.070 99 0.063 76 1 0.000 49 0.000 15 12 0.035 50 0.026 67 2 0.003 09 0.001 35 13 0.014 56 0.008 67 3 0.012 35 0.007 14 14 0.004 85 0.002 17 4 0.034 99 0.025 51 15 0.001 29 0.000 41 5 0.074 65 0.065 30 16 0.000 27 0.000 06 6 0.124 41 0.124 22 17 0.000 04 0.000 01 7 0.165 88 0.179 72 18 0.000 00 0.000 00 8 0.179 71 0.200 78 19 0.000 00 0.000 00 9 0.159 74 0.174 83 20 0.000 00 0.000 00 10 0.117 14 0.119 24 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些． 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（图7.4-4）看，超几何分布更集中在均值附近． 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同．对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似． 答案:B 变式3（2） 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观、大小完全相同.从中随机取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率; (2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望. 1.超几何分布是概率分布的一种形式,一定要读懂题意,注意公式中字母的取值范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆. 2.在超几何分布中,只要知道M,N,n(注意这三个参数的含义),就可以利用公式求出X取不同k值时的概率P(X=k),从而求出X的分布列、数学期望、方差等. 第80页 1．一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率． 解：因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐， 2．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率． 3．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有2张A牌的概率(精确到0.000 01)． 4．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率(精确到0.001)． $$