新疆石河子第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

2023-2024学年第二学期高一3月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C.2 D. 2.已知向量，则（ ） A.30 B.45 C.60 D.120 3.已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （     ） A． B． C．或 D． 4. 在平行四边形中，，设，，则向量（ ） A. B. C. D. 5.在中，，则的面积是（ ） A. B. C.或 D.或 6.所在平面内一点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8.在中，分别为的对边，为的外心，且有， ，若，则（ ） A.-2 B.2 C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知､､均为非零向量，下列命题错误的是（ ） A.， B.可能成立 C.若，则 D.若，则或 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为直角三角形 12. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若，为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，，，则 . 14．在中，，则 .. 15. △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 16.如图，在和中，是的中点，，，若，则与的夹角的余弦值等于______. 四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）在中，角的对边分别为． (1)求的值； (2)求边上的高． 18.（本小题12分）已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值. 19.（本小题12分）如图，在中，是的中点，点满足与交于点. （1）设，求实数的值； （2）设是上一点，且，求的值. 20．（本小题12分） 在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 21.（本小题12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，满足. （1）求的值； （2）已知，，，若函数的最大值为3，求实数的值. 22.（本小题12分）如图，在等腰梯形中，，，，是的中点. （1）记，且，求，值； （2）记，是线段上一动点，且，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2023-2024学年第二学期高一3月月考 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 缺考标记 注意事项 1．答题前请将姓名、班 级、考场、准考证号填写清 楚。 2．客观题答题，必须使用 2B铅笔填涂，修改时用橡皮 擦干净。 3．必须在题号对应的答题 区域内作答，超出答题区域 书写无效。 考  号             [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 一、选择题。1--8为单项选择题，每小题5分，共40分。9--12为多项选择 题，每小题5分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分， 共20分。 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤. 17. （本小题10分） 18. （本小题12分） 19. （本小题12分） 20. （本小题12分） 21. （本小题12分） 22. （本小题12分） 2023-2024 学年第二学期高一 3 月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 1a  ， 6 A  ， 1sin 4 B  ，则b （ ） A. 3 6 B. 12 C.2 D.2 3 2.已知向量 1 3( , ) 2 2 BA  uuv ， 3 1( , ), 2 2 BC  uuuv 则 ABC （ ） A.30 o B.45 o C.60 o D.120 o 3.已知向量  2,2AB   ，则与 AB  共线且反向的单位向量为 （ ） A． 2 2, 2 2        B． 2 2, 2 2         C． 2 2, 2 2        或 2 2, 2 2         D．  2, 2 4. 在平行四边形 ABCD中， 1 4 AE AC   ，设 AB a   ， BC b   ，则向量DE  uuur （ ） A. 1 3 4 4 a b   B. 3 1 4 4 a b   C. 2 1 3 3 a b   D. 1 2 3 3 a b   5.在 ABC 中， 30 , 2 3, 2B AB AC   ，则 ABC 的面积是（ ） A. 3 B. 2 3 C. 3 或 2 3 D.2 3 或 4 3 6. ABC 所在平面内一点 P满足 2 2sin cosCP CA CB        ，若 2PA BP   ，则 cos 2 （ ） A. 2 3 B. 2 3  C. 1 3 D. 1 3  7. 窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线 或空气进入室内.如图 1，这是一个外框为正八边形，中间是一个 正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上 ､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是 4.如图 2， ,A B是中 间正方形的两个相邻的顶点， P是外框正八边形上的一点，则 AB AP   的最大值是（ ） A. 16 8 2 B. 16 2 8 C. 8 2 8 D. 16 2 16 8.在 ABC 中， , ,a b c分别为 , ,A B C的对边，O为 ABC 的外心，且有 2 3 3 c a b  ，  sin cos 3 cos sin 0C A C A   ，若 , ,AO xAB yAC x y R     ，则 x y （ ） A.-2 B.2 C. 3 D. 3 二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。 9.已知 a  ､b  ､ c  均为非零向量，下列命题错误的是（ ） A. R  ，  a b a b       B.    a b c a b c    r r r r r r 可能成立 C.若 a b b c   r r r r ，则 a c   D.若 1a b    ，则 1a   或 1b   10. 已知向量 (1, 3)a  ， (cos ,sin )b    ，则下列结论正确的是（ ） A. 若 / /a b  ，则 tan 3  B. 若a b  ，则 3tan 3    C. 若a与b  的夹角为 π 3 ，则 | | 3a b   D. 若 a与b  方向相反，则b  在 a上的投影向量的坐标是 1 3( , ) 2 2   11．在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A．若 A B ，则 sin sinA B B．若 sin 2 sin 2A B ，则 A B C．若 2 2 2a b c  ，则 ABC 为锐角三角形 D．若 cos cos sin b C c B a A  ，则 ABC 为直角三角形 12. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的 结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具 体内容是：已知M 是 ABC 内一点， , ,BMC AMC AMB△ △ △ 的面积分别为 , ,A B CS S S ，且 0A B CS MA S MB S MC          .以下命题正确的有（ ） A. 若 : : 1:1:1A B CS S S  ，则M 为 AMC 的重心 B. 若M 为 ABC 的内心，则 0BC MA AC MB AB MC          C. 若 45 , 60BAC ABC      ，M 为 ABC 的外心，则 : : 3 : 2 :1A B CS S S  D. 若M 为 ABC 的垂心，3 4 5 0MA MB MC       ，则 6cos 6 AMB   三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知  1,2A ，  2,3B ，  2,5C  ，则 AB AC    . 14．在 ABC 中， sin : sin : sin 3 : 4 : 31A B C  ，则 A B C   .. 15.△ ABC的内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ，已知 sin sin 4 sin sinb C c B a B C  ， 2 2 2 8b c a   ，则△ ABC的面积为________． 16.如图，在 ABC 和 AEF 中， B是 EF 的中点， 2AB EF  ， 3CA CB  ，若 7AB AE AC AF        ，则 EF  与 BC  的夹角的余弦值等于______. 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题 10 分）在△ ���中，角�, �, �的对边分别为�, �, �, � = 7, � = 5,cos� = 1 7 ． (1)求�的值； (2)求��边上的高． 18.（本小题 12 分）已知 4a  ， 2b   ，且 a与b  夹角为120，求： （1） 2a b  ； （2）a与a b  的夹角； （3）若向量 2a b  与 3a b   平行，求实数的值. 19.（本小题 12 分）如图，在 ABC 中， 90 , 2, 3,BAC AB AC D    是 BC的中点，点E满足 2 ,AE EC BE   与 AD交于点G . （1）设 AG AD   ，求实数的值； （2）设H是BE上一点，且HA HB HC HA       ，求GH BC   的值. 20．（本小题 12 分） 在 ABC 中，角A ， B，C的对边分别为 a，b，c， 3 sin 3 cosc b A a B  ． （1）求A ； （2）若点D是 BC上的点， AD平分 BAC ，且 2AD  ，求 ABC 面积的最小值． 21.（本小题 12 分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A ， B，C满足 1 2 3 3 OC OA OB     . （1）求 AC CB   的值； （2）已知 (1,cos )A x ， (1 cos ,cos )B x x ， [ ,0] 3 x   ，若函数 2( ) (2 ) 3 f x OA OC m AB       的最大 值为 3，求实数m的值. 22.（本小题 12 分）如图，在等腰梯形 ABCD中， AD BC∥ ， 2AD  ， 60ABC  ， E是 AD的中 点. （1）记 BD m  ， BA n  且 2 2 8m n  ，求m，n值； （2）记  1 2BC AD      ，F 是线段CD上一动点，且CD CF   ，求 22BE BF     的取值范围. 2023-2024学年第二学期高一3月月考数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C.2 D. 【详解】根据正弦定理可得， 即，解得， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用正弦定理解三角形，属于基础题目. 2.已知向量，则（ ） A.30 B.45 C.60 D.120 2.A 【解析】 【详解】试题分析：由题意，得，所以，故选A. 【考点】向量的夹角公式. 【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度､角度､垂直等有关的问题. 3.已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】可设与共线且反向的单位向量，由，即可求解. 【详解】因为，所以可设与共线且反向的单位向量， 又 解得，或（舍去）， 故. 故选：B 4. 在平行四边形中，，设，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加、减法法则计算即可. 【详解】解：. 故选：A. 5.在中，，则的面积是（ ） A. B. C.或 D.或 5.C 解析：由及正弦定理，得.由角为三角形的内角可知或.因此或.在中，由或，得面积或. 6.所在平面内一点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【详解】所在平面内一点， 所以 因为 所以 由余弦二倍角公式可得 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，用基底表示向量形式，余弦二倍角公式的简单应用，属于基础题. 7. 窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义，结合线段长即可得解. 【详解】记正八边形右下角的两个顶点分别为，连接， 由题意易得是等腰直角三角形，，则， 不妨设，由于题目要求的最大值，故只考虑的情况， 过作，垂足为，则，又， 所以， 显然，当点与点重合时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：A. 8.在中，分别为的对边，为的外心，且有， ，若，则（ ） A.-2 B.2 C. D. 8.【答案】A 因为，所以，又因为， 所以，所以，所以， 即，所以，所以，所以，如图所示： 由正弦定理得：，因为，则， 所以，即，则，所以，即.故选：A. 法二：等和线 二､多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.已知､､均为非零向量，下列命题错误的是（ ） A.， B.可能成立 C.若，则 D.若，则或 9.ACD 【解析】 【分析】利用平面向量积的定义可判断A选项；利用特例法可判断BCD选项. 【详解】仍是向量，不是向量，A错； 不妨取，，，则， ，此时，B对； 若，，，则，但，C错； 若，，则，但，，D错. 故选：ACD. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】向量，， 对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，与的夹角为，，， 因此，C错误； 对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】AD 【分析】选项A：大角对大边，然后根据正弦定理把边之间的关系转化为角的正弦之间的关系； 选项B：在内，角的正弦相等，这两个角可能相等，也可能互补，由此可以得到角之间的关系； 选项C：由余弦定理能得到为锐角，但一个角为锐角不一定是锐角三角形； 选项D：利用正弦定理进行边化角，结合三角形内的隐含条件即可得到命题正确. 【解析】选项A：因为，所以，由正弦定理，得，即.所以选项A正确； 选项B：在中，因为，所以或， 即或，所以选项B错误； 选项C：因为，所以，所以为锐角，但不一定是锐角三角形，所以选项C错误； 选项D：因为，所以， 即，又因为 ，所以， 所以，即，所以为直角三角形，所以选项正确. 故选：AD. 12. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若，为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，取的中点D，连接，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A； 对B，设内切圆半径为，从而可用表示出，再结合奔驰定理即可判断B； 对C，设的外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，从而可用表示出，进而即可判断C； 对D，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，则，代入即可求解，进而即可判断D． 【详解】对于A，取的中点D，连接， 由，则， 所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确； 对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有， 所以， 即，故B正确； 对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为， 又， 则有， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，则， 所以，即， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E），根据题意，结合奔驰定理得到，，再设，得到，进而即可求解． 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知，，，则 . 【答案】0 【解析】首先求出､的坐标，而后可求. 【解析】解：，， . 故答案为：0. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 14．在中，，则 . 【答案】 【解析】因为，由正弦定理得， 不妨设，则，， 由余弦定理得：， 因，所以， . 15. △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 【答案】. 【解析】 【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出. 【详解】［方法一］：【最优解】边化角 因为，由正弦定理得， 因为，所以．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. ［方法二］：角化边 因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. 【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解； 方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积． 16.如图，在和中，是的中点，，，若，则与的夹角的余弦值等于______. 【解析】 【分析】由题设得，由求，又，即可得，进而求与的夹角的余弦值. 【详解】由图知：，， ∴， 又，且，， ∴， ∴，而，即， 又， ∴. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何图形，结合向量加减法的几何应用及数量积的运算律，得到，进而求向量夹角余弦值. 四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）在中，角的对边分别为． (1)求的值； (2)求边上的高． 解：（1）在中，由余弦定理， 得， 因为，所以． （2）由，得， 所以的面积为， 设边上的高为，则， 故． 18.（12分）已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值. 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）因为， 所以，又， 所以， 所以与的夹角为. （3）因为向量与平行， 所以， 因为向量与不共线， 所以，解得. 19.如图，在中，是的中点，点满足与交于点. （1）设，求实数的值； （2）设是上一点，且，求的值. 19.（1）设，故，整理得，① 又，即，所以.② 联立①②，据平面向量其本定理，得解得，所以实数的值为. （2）因为，所以，即， 所以 . 20．（12分） 在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意知中，， 故，即, 即, 所以，而， 故，即， 又，故； （2）由于点是上的点，平分，且， 则， 由，得， 即，则，当且仅当时取等号， 故，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最小值为. 21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，满足. （1）求的值； （2）已知，，，若函数的最大值为3，求实数的值. 【解析】 【分析】（1）化简得，即得的值；（2）先求出，再换元利用二次函数的图像和性质求实数的值. 【详解】（1）由题意知，，即， 所以，即. （2）易知，，， 则，， 所以， 令， 则，，其对称轴方程是. 当时，的最大值为，解得； 当时，的最大值为，解得（舍去）. 综上可知，实数的值为. 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和平面向量的数量积，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22.如图，在等腰梯形中，，，，是的中点. （1）记，且，求，值； （2）记，是线段上一动点，且，求的取值范围. 22（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，将两边平方，结合数量积的运算律及定义得到方程，解得即可； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出数量积，再根据对勾函数的性质计算可得. 【小问1详解】 依题意， 所以， 即， 即，又，解得，（负值舍去）； 【小问2详解】 过点作，如图建立平面直角坐标系，因为，， 所以，，，，， 所以，，， 因为，所以 所以， 所以 ， 令，， 设且，则， 当时，，则，又， 所以； 当时，，则，又， 所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，且， 所以， 所以，即的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$