精品解析：2023年江苏省南京实验学校一中分校九年级下学期中考数学模拟试题

23一中实验 初三数学模拟卷1 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 型口罩能过滤空气中95%的粒径约为 m的非油性颗粒．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 2. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根的情况，下列结论中正确的是( ) A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 4. 如图，四个实数在数轴上的对应点分别为点M，P，N，Q．若点M，N表示的实数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在中，，，是边上的一个动点，则的度数可能是（ ） A. 55° B. 62° C. 120° D. 130° 6. 如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知，若点使得，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 写出一个有理数，使这个数绝对值等于它的倒数：____． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 9. 计算的结果是____． 10. 如图，在正方形中，E，F分别是中点．若，则的长是____． 11. 如图，是的直径，为弦，过圆心作交于点，连接．若，则______． 12. 下表是某少年足球俱乐部学员年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员______人． 年龄 13 14 15 16 频数 28 22 23 13. 已知x、y满足方程组，则值为____． 14. 已知都在的图像上，若，则的值为____． 15. 小淇利用绘图软件画出函数的图像，下列关于该函数性质的四种说法：①图像与x轴有两个交点；②图像关于原点中心对称；③最大值是3，最小值是；④当时，y随x的增大而减小．其中，所有正确说法的序号是____． 16. 如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为____．（用含a，b的代数式表示）． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 解方程： 19. 根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则． 20. 如图，在中，，垂足为H，且，E为延长线上一点，过点E作，分别交于F，M． （1）求证； （2）若，求的长． 21. 疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题． （1）此次被调查的学生总人数为 ； （2）求扇形统计图中代表类型C扇形的圆心角，并补全折线图； （3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人． 22. 贴春联是中华民族的传统文化．不识字的李奶奶不小心将两幅对联弄混了，已知这四张联纸上的文字分别是：①天涯若比邻；②修业勤为贵；③行文意必高；④海内存知己．若他任意取出两张联纸，求这两张联纸恰好组成一副对联的概率． 23. 小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了角，即，使光影落在C点正上方的D点，测得cm．求平面镜放置点与墙面的距离．（参考数据：） 24. 尺规作图：如图，已知正方形，在边CD上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 25. 如图，为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，于E，于F． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求的长度． 26. 设二次函数 y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b 是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过 A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． （3）若 a+b＜0，点 P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 27. 点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”． （1）在点，，中，是“垂距点”的点为 ； （2）求函数的图象上的“垂距点”的坐标； （3）的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23一中实验 初三数学模拟卷1 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 型口罩能过滤空气中95%的粒径约为 m的非油性颗粒．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 2. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则，幂的乘方的运算法则为，同底数幂相乘的运算法则为，灵活运用这两个法则是解答本题的关键． 3. 方程的根的情况，下列结论中正确的是( ) A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断解的情况，并利用根与系数关系判断即可． 【详解】解：∵， 整理，得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，设为，， ∵，， ∴方程有一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根的绝对值． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 4. 如图，四个实数在数轴上的对应点分别为点M，P，N，Q．若点M，N表示的实数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据“点M，N表示的实数互为相反数”，可得原点在的中点处，从点在数轴上的位置即可判断． 【详解】∵点M，N表示的实数互为相反数， ∴原点在的中点处， 从数轴上可以看出点M点在原点的左侧，为负数，P、N、Q点在原点的右侧，为正数， 故选：C 【点睛】考查数轴、相反数的意义，掌握相反数则是位于原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，并确定原点的位置是关键． 5. 如图，在中，，，是边上的一个动点，则的度数可能是（ ） A. 55° B. 62° C. 120° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案． 【详解】如图，连接． ∵，， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴度数可能是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质等，确定角的取值范围是求度数的前提． 6. 如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知，若点使得，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，数形结合思想是解题的关键．采用数形结合思想，利用平移求解． 【详解】解：当四边形为平行四边形， 根据平行四边形的对角相等有， ∴， 点B向上平移3个单位，再向右平移6个单位到点C， ∴将点A向上平移3个单位，再向右平移6个单位到点D， ∴D点的坐标可能为， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 写出一个有理数，使这个数的绝对值等于它的倒数：____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，倒数的意义计算判断． 【详解】因为这个数的绝对值等于它的倒数， 所以这个数一定正数，且为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性和倒数即乘积为1的两个数，熟练掌握绝对值的意义和倒数的定义是解题的关键． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件计算即可． 【详解】因为式子在实数范围内有意义， 所以， 解得． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零是解题的关键． 9. 计算的结果是____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 详解】解： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． 10. 如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是____． 【答案】1 【解析】 【分析】连接，则，根据三角形中位线定理，得． 【详解】连接，因为正方形，， 所以， 因为E，F分别是的中点， 所以． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 11. 如图，是的直径，为弦，过圆心作交于点，连接．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．由圆周角定理可知，，由为直径可知， ，又，可知，利用平行线的性质可求． 【详解】解：与为所对的圆心角和圆周角，， ， 是的直径， ， 又， ， ， 故答案为：． 12. 下表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员______人． 年龄 13 14 15 16 频数 28 22 23 【答案】146 【解析】 【分析】根据中位数的概念计算即可． 【详解】解：由中位数为13.5岁，可知中间的两个数为13，14， ∴这个俱乐部共有学员（28+22+23）×2=146（人）． 故答案为：146． 【点睛】本题主要考查了中位数的概念，读懂列表，从中得到必要的信息是解答本题的关键． 13. 已知x、y满足方程组，则的值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】将两个方程相加可得，，即可求出的值． 【详解】解：将两个方程相加得，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了整体思想解题，正确的计算是解决本题的关键． 14. 已知都在图像上，若，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】将点A和点B的坐标代入得，，则，即可进行求解． 【详解】解：∵都在的图像上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像上点的坐标特征． 15. 小淇利用绘图软件画出函数的图像，下列关于该函数性质的四种说法：①图像与x轴有两个交点；②图像关于原点中心对称；③最大值是3，最小值是；④当时，y随x的增大而减小．其中，所有正确说法的序号是____． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据函数的图象进行判断即可． 【详解】解：①图像与x轴有三个交点，故①错误； ②图像关于原点中心对称，故②正确； ③当时，，时，， ∴函数得最大值是3，最小值是，故③正确； ④当时，y随x的增大而减小，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了函数图象，理解函数图象的意义是解决本题的关键． 16. 如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为____．（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，，得到，，根据平行四边形的性质得到，推出四边形与四边形都是平行四边形，推出，，根据角平分线的定义得到，，推出，得到，推出，根据，推出，推出，得到，根据勾股定理得到． 【详解】过点E作，， 则，， ∵中， ， ∴四边形与四边形都是平行四边形， ∴，， ∵BE平分，CF平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形，角平分线，等腰三角形，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握平行四边形性质和判定，角平分线定义，等角对等边，勾股定理解直角三角形． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】1≤x＜3 【解析】 【分析】先分别求解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得x＜3． 解不等式②，得x≥1． 所以，不等式组的解集是1≤x＜3． 它的解集在数轴上表示出来为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组合在数轴上表示解集，正确求得不等式组的解集是解答本题的关键． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】原方程两边同乘以（x-1）得整式方程，解整式方程，最后进行检验即可． 【详解】两边都乘以，得： 经检验，是原方程的解 ∴原方程的解为： 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分工方程一定要注意验根． 19. 根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先求出，根据，得出，从而得出，即，从而证明结论． 【详解】证明： ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． 20. 如图，在中，，垂足为H，且，E为延长线上一点，过点E作，分别交于F，M． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明直线是的垂直平分线即可． （2）先证明，再判定，证明即可． 【小问1详解】 ∵，垂足为H，且， ∴ 是的垂直平分线． ∴ ． ∴． 【小问2详解】 ∵ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题． （1）此次被调查的学生总人数为 ； （2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图； （3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人． 【答案】（1）100 （2），见解析 （3）100 【解析】 【分析】（1）用类型B的人数除以类型B所占的百分比，即可求解； （2）先求出类型A所占百分比，可得类型C所占的百分比，继而得到类型C的扇形的圆心角，类型C的七（2）班的人数，即可求解； （3）用1000乘以类型C所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：此次被调查的学生总人数为人； 故答案为：100 【小问2详解】 解：根据题意得：类型A所占的百分比为， ∴类型C所占的百分比为， ∴类型C的扇形的圆心角为， ∴类型C的七（2）班的人数为人， 补全折线图，如下： 小问3详解】 解：根据题意得：该校七年级学生中类型C学生人数约有： 人． 【点睛】本题主要考查了折线统计图：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了样本估计总体和扇形统计图． 22. 贴春联是中华民族的传统文化．不识字的李奶奶不小心将两幅对联弄混了，已知这四张联纸上的文字分别是：①天涯若比邻；②修业勤为贵；③行文意必高；④海内存知己．若他任意取出两张联纸，求这两张联纸恰好组成一副对联的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两张联纸恰好组成一副对联的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能结果，其中这两张联纸恰好组成一副对联的有4种结果， 所以这两张联纸恰好组成一副对联的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了角，即，使光影落在C点正上方的D点，测得cm．求平面镜放置点与墙面的距离．（参考数据：） 【答案】cm 【解析】 【分析】先求出的度数，设，分别解，用表示出，再利用，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， ． 设cm，则cm． 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴． 解得：． 因此，平面镜放置点与墙面的距离是cm． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数，以及平面镜与两条光线形成的夹角相等，是解题的关键． 24. 尺规作图：如图，已知正方形，在边CD上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，以B为圆心，为半径作弧交于点G，作平分交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 25. 如图，为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，于E，于F． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）连接，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，得出，最后根据，即可得出结论； （2）过点O作，垂足为H，可得，再由平行线的性质得出，再证明，利用全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵于E， ∴． ∴． ∴． 又∵是半径， ∴是⊙O的切线． 【小问2详解】 过点O作，垂足为H． ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 26. 设二次函数 y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b 是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过 A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． （3）若 a+b＜0，点 P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 【答案】（1）二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个（2）y=3x2﹣2x﹣1（3）a＞0 【解析】 【分析】（1）先判断，根据二次函数与轴交点个数与的关系得到交点的个数为个或2个. （2）由于当时，所以C点不在该二次函数图象上;然后将A，B两点坐标分别代入二次函数解析式，得到方程组，然后求得和的值，即可求出二次函数解析式． （3）将代入该二次函数解析式，得到 用减去消掉，再由，即可求得 【详解】（1）设y=0 ∴0=ax2+bx﹣（a+b） ∵△=b2﹣4•a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0 ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根． ∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个 （2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0 ∴抛物线不经过点C 把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得 解得 ∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1 （3）当x=2时 m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0① ∵a+b＜0 ∴﹣a﹣b＞0② ①②相加得： 2a＞0 ∴a＞0 【点睛】考查本题主要考查二次函数的图象与性质，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 27. 点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”． （1）在点，，中，是“垂距点”的点为 ； （2）求函数的图象上的“垂距点”的坐标； （3）的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点，，进行分析判断； （2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标； （3）设“垂距点”的坐标为，则，画出函数图像，分情况讨论即可解得． 【小问1详解】 解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4． ，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设函数的图像上的“垂距点”的坐标． 由题意得 ． ①当时，． ∴． ②当时，． ∴（不合题意，舍）． ③当时，． ∴． ∴ 综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是，． 【小问3详解】 解：设“垂距点”的坐标为，则 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当与相切时，过点作直线于点，则为等腰直角三角形， ∴ 当过点时，上不存在“垂距点”， 此时 ∴若存在“垂距点”，则的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系相关，结合题干定义以及书本所学点到轴的距离即为横纵坐标的绝对值进行分析计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $