第16讲 十字相乘法因式分解（二类知识点+七大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第16讲 十字相乘法（七大题型） 学习目标 1、 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解； 2、 进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解； 3、会解十字相乘法的应用． 一、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【方法规律】（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 二、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【方法规律】（1）分解思路为“看两端，凑中间” 　　（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【即学即练1】 【即学即练2】 【即学即练3】 【即学即练4】分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练5】 【即学即练6】分解因式： (1) (2) (3) (4) 题型1：因式分解— 二次项系数为1的十字相乘法 【典例1】．代数式因式分解的结果的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．下列算式计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．分解因式： (1)； (2)． 【典例4】．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 题型2：因式分解— 二次项系数不为1的十字相乘法 【典例5】．整式分解因式得 【典例6】．因式分解：． 【典例7】．因式分解：． 【典例8】．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【典例9】． 【典例10】．因式分解： 题型3：因式分解— 十字相乘法综合 【典例11】．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【典例12】．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型4：利用十字相乘法因式分解的结果求参数 【典例13】．若分解因式则的值为（    ） A． B．5 C． D．2 【典例14】．若整式可分解为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．11 【典例15】．若，则 ． 【典例16】．已知，则 ． 题型5：十字相乘法因式分解的应用 【典例17】．整式可因式分解成，其中均为整数，则值为 ． 【典例18】．两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的整式为 【典例19】．在对整式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 【典例20】．如果整式能被整除，那么的值是（    ） A． B． C．3 D．6 题型6：分类讨论十字相乘法因式分解 【典例21】．整式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【典例22】．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【典例23】．整式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型7：阅读材料题 【典例24】．阅读理解题： 由整式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到因式 分解的公式：． 示例：分解因式： 分解因式：整式的特征是二次项系数为 1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (1)尝试：分解因式： (2)应用：请用上述方法将整式进行因式分解． 【典例25】．阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式： (4)分解因式：； 【典例26】．仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，则 ； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【典例27】．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由得；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以． 解：请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：__________________； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是__________________． 【典例28】．材料1：由整式乘法，，将该式子从右到左地使用，即可对形如的整式进行因式分解：．整式的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和． 材料2：因式分解：，将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原得：原式． 上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 一、单选题 1．不能用十字相乘法分解的是（     ）. A． B． C． D． 2．如果，那么等于（     ）. A． B． C． D． 3．把整式分解因式，得，则的值是（    ） A．1 B．-1 C．5 D．-5 4．把整式因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 6．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列整式不能用十字相乘法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 8．已知不论x为何值，x2-kx-15=（x+5）（x-3），则k值为 A．2 B．-2 C．5 D．-3 9．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 11．分解因式 ． 12．分解因式：x2﹣7x+12 = ． 13．分解因式： ． 14．分解因式：（1）3a2-6a+3= ；（2）x2+7x+10 = ． 15．因式分解,甲看错了a的值,分解的结果是,乙看错了b的值,分解的结果为,那么分解因式正确的结果为 ． 16．已知整式，，则A、B的公因式是 ． 17．已知，，，则代数式的值是 ． 18．如图所示，若用2张1号正方形卡片，2张2号正方形卡片，5张3号长方形卡片拼成一个大的长方形，则这个大的长方形的长和宽可分别表示为 ， ． 三、解答题 19．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．分解因式： （1） （2） （3） 21．分解因式． （1）；            （2）； （3）；                 （4）． 22．因式分解 （1） （2） 23．已知，整式，整式． (1)若，求的值； (2)若可以分解为，请将进行因式分解． 24．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 25．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． (2)尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．若，则 ． (3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ． 26．【提出问题】某数学活动小组对整式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个整式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的整式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 27．【做一做】 计算：①_____________；②_______． 【探索归纳】 如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． ③根据甲图、乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到：关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是_________________________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． ④因式分解，其中a、b可以是__________； ⑤若，则__________． 【拓展延伸】 根据你的经验，解答下列问题 ⑥若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，请写出整数k的一个值______； ⑦若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数p的值一定是（　　　） A．3　　　　B．　　　　C．0　　　　D．0或 ⑧若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数q的值一定是（　　　） A．4　　　　B．0　　　　C．有限个　　　　D．有无数个 28．在计算如图1所示的正方形的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：因此，可得到等式：．    (1)类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式：________； (2)试在图2右边空白处画出面积为的长方形的示意图（标注好a，b），由图形可知，整式可分解因式为：________； (3)若将代数式展开后合并同类项，得到整式N，则整式N的项数一共有________项． 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【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用十字相乘法分解因式． 【即学即练5】 【答案】 【解析】试题分析：观察所给二次三项式，可得：a2x2+7ax-8=(ax)2+(8-1)x+(-8)×1，由此即可得. 试题解析：原式=(ax)2+(8-1)x+(-8)×1=（ax-1）(ax+8). 【即学即练6】分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）根据十字相乘法因式分解即可； （3）将作为一组，作为一组，利用分组分解法因式分解即可； （4）将作为一个整体先因式分解，再将所得结果因式分解即可 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查的是因式分解的提公因式法、十字相乘法以及分组分解法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． 题型1：因式分解— 二次项系数为1的十字相乘法 【典例1】．代数式因式分解的结果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【解析】． 故选：A 【典例2】．下列算式计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解．利用十字相乘法分解因式即可得到结果． 【解析】解：， 故选：C． 【典例3】．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【解析】（1）解：原式； （2）原式． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 【典例4】．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 【解析】（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 题型2：因式分解— 二次项系数不为1的十字相乘法 【典例5】．整式分解因式得 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】， 故答案为：． 【典例6】．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法分解即可． 【解析】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 【典例7】．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法可进行求解． 【解析】解：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 【典例8】．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】用十字相乘法分解因式求解即可． 【解析】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【典例9】． 【答案】 【解析】试题分析：观察可知为了凑xy的系数，x2前面的系数与y2前面的系数应该拆分成：，由此即可进行因式分解. 试题解析：5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y). 【点睛】本题主要考查abx2+（ac+bd）x+cd型二次三项式的因式分解，解决此类问题的关键是要观察所给式子的特征，正确地进行拆分. 【典例10】．因式分解： 【答案】 【分析】根据完全平方公式及十字相乘法可进行因式分解． 【解析】解：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型3：因式分解— 十字相乘法综合 【典例11】．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可； （2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）； （3）同（2）； （4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 【典例12】．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）把6分成-6与-1的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （2）把-15分成-5与3的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （3）把3分成1与的3积，把10分成-2与-5的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （4）把b看作常数，把分成-3b与2b的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （5）把y看作常数，把12分成4与3的积，把分成3y与-5y的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （6）把看作一个整体，把-10分成-5与2的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可． 【解析】解：（1） = （2） = （3） = （4） = （5） = （6） = 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个整式看作一个整体. 题型4：利用十字相乘法因式分解的结果求参数 【典例13】．若分解因式则的值为（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】D 【分析】已知等式右边利用整式乘以整式法则计算，再利用整式相等的条件求出的值即可． 【解析】解：已知等式整理得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：D． 【点睛】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【典例14】．若整式可分解为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．11 【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：，，据此可得，，问题随之得解． 【解析】解：整式可分解为， ，， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键 【典例15】．若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数是解题关键．可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：，得出即可． 【解析】解：， ． 故答案为：． 【典例16】．已知，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解，十字相乘法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用因式分解化简式子运算即可． 【解析】解：∵ ∴或 ∴或 故答案为：或 题型5：十字相乘法因式分解的应用 【典例17】．整式可因式分解成，其中均为整数，则值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先将整式进行因式分解，进而确定的值，然后代入求值即可． 【解析】解：∵， 又∵整式可因式分解成， ∴，，， ∴． 故答案为：7． 【典例18】．两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的整式为 【答案】 【分析】由于看错了一次项系数即值看错而与的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用整式的乘法法则展开求出与的值；同样，看错了常数项即值看错而与的值正确，可将运用整式的乘法法则展开求出的值，进而得出答案．本题考查的是因式分解的应用，掌握求解的方法是解题的关键． 【解析】解： ， ，； 又， ． ∵二次三项式为： 原整式为， 故答案为：． 【典例19】．在对整式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 【答案】 6 9 【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 分别根据甲乙因式分解的结果确定出与的值，即可作答． 【解析】解：依题意，由甲的结果得：， 由乙的结果得：， 可得，， 故答案为：． 【典例20】．如果整式能被整除，那么的值是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】由于，而整式能被整除，则能被整除．运用待定系数法，可设商是A，则，则和时，，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值. 【解析】解：∵， ∴能被整除， 设商是A． 则， 则和时，右边都等于0，所以左边也等于0． 当时， ① 当时， ② ，得， ∴， ∴． ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些整式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该整式等于这几个因式的乘积，根据整式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取整式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出和时，原整式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度． 题型6：分类讨论十字相乘法因式分解 【典例21】．整式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出、之积为，、之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【解析】解：时，； 时，； 时，； 时，； 的取值有4个． 故选：． 【典例22】．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【解析】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 【典例23】．整式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和． 【解析】解：时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； ∴的取值有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m、n之积为12，m、n之和为a是解题的关键． 题型7：阅读材料题 【典例24】．阅读理解题： 由整式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到因式 分解的公式：． 示例：分解因式： 分解因式：整式的特征是二次项系数为 1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (1)尝试：分解因式： (2)应用：请用上述方法将整式进行因式分解． 【答案】(1)2，4或4，2； (2) 【分析】仿照题意进行因式分解即可． 【解析】（1）解： ， 故答案为：2，4或4，2； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． 【典例25】．阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式： (4)分解因式：； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意根据，进行分解因式即可； （2）仿照题意根据，进行分解因式即可； （3）仿照题意根据，进行分解因式即可； （4）把看做一个整体，仿照题意根据，进行分解因式即可． 【解析】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 【典例26】．仔细阅读下面例愿，并解答问思：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，则 ； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)另一个因式是，的值为 【分析】（1）根据整式乘整式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据整式乘整式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据整式乘整式法则计算，由此即可得． 【解析】（1）解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． （2）解：由题意得：， 所以， 所以， 故答案为：1． （3）解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 【点睛】本题主要考查了整式乘整式、因式分解，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题关键． 【典例27】．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由得；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以． 解：请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：__________________； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是__________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，从而可得答案； （2）先把分解为两个整数之积，再根据p的值为这两个整数的和，从而可得答案． 【解析】（1）解： 故答案为： （2） 或或或 综上，的值为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键． 【典例28】．材料1：由整式乘法，，将该式子从右到左地使用，即可对形如的整式进行因式分解：．整式的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和． 材料2：因式分解：，将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原得：原式． 上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将写成即可根据材料一的方法因式分解； （2）令（x-y）=A，将（x-y）=A代入原式再用完全平方公式进行因式分解即可； （3）令，将，代入原式后化简，再用材料一的方法因式分解即可． 【解析】（1） 原式= = （2） 令（x-y）=A 原式= = 还原A得：原式=； （3） 令， 原式 = =（A-4）（A+1） 还原A得：原式==． 【点睛】此题主要以阅读理解的形式考查了因式分解得“十字相乘”和“换元法”，正确地运用十字相乘法和换元法以及仔细理解题意是解题的关键． 一、单选题 1．不能用十字相乘法分解的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据十字相乘法逐一判断可得． 【解析】A、x2+x-2=（x-1）（x+2），此选项不符合题意； B、3x2-10x2+3x不能利用十字相乘法分解，此选项符合题意； C、x2-3x+2=（x-1）（x-2），此选项不符合题意； D、x2-6xy-7y2=（x-7y）（x+y），此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】此题考查因式分解-十字相乘法，解题的关键是掌握某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 2．如果，那么等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式乘法去括号，进而得出p的值． 【解析】∵x2-px+q=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab， ∴p=-（a+b）． 故选D． 【点睛】此题考查十字相乘法分解因式以及整式乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 3．把整式分解因式，得，则的值是（   ） A．1 B．-1 C．5 D．-5 【答案】D 【分析】利用整式乘以整式法则计算，再利用整式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值． 【解析】根据题意得：x2+ax+b=(x+1)(x−3)=x2−2x−3， 可得a=−2，b=−3， 则a+b=−5， 故选D. 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是要理解两个整式相等的条件，两个整式分别经过合并同类项后,如果他们的对应项系数都相等,那么称这两个整式相等. 4．把整式因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可． 【解析】解： . 故选：D. 【点睛】本题主要考查提取公因式法以及十字相乘法分解因式，熟练并正确利用十字相乘法分解因式是解题的关键． 5．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据十字相乘法进行分解，即可作出判断． 【解析】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘的结构特征是解题的关键． 6．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐项运算即可． 【解析】A. ，故该选项不符合题意． B. ，故该选项符合题意． C. ，不可以继续分解，故该选项不符合题意． D. ．故该选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．一个整式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 7．下列整式不能用十字相乘法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“十字相乘法”分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】A. ，不能利用十字相乘法分解，本选项符合题意； B. =()( ，本选项不合题意； C. ，本选项不合题意； D. ，本选项不合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 8．已知不论x为何值，x2-kx-15=（x+5）（x-3），则k值为 A．2 B．-2 C．5 D．-3 【答案】B 【解析】∵x2-kx-15=(x+5)(x-3)=x2+2x-15， ∴k=-2. 故选B. 点睛：因式分解结果利用整式乘以整式法则计算，再利用整式相等的条件求出k的值即可． 9．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【解析】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6， ∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1， ∴整数m的值有4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键． 10．对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意得出，进而可得只要是合数，就是好数，即可求解． 【解析】解：由，可得 ， 所以，只要是合数，就是好数， 以内的好数有：、、、、 故选：C． 二、填空题 11．分解因式 ． 【答案】 【分析】把-4写成-4×1，又-4+1=-3，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】∵-4=-4×1，又-4+1=-3 ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 12．分解因式：x2﹣7x+12 = ． 【答案】(x-4)(x-3) 【分析】因为（-3）×（-4）=12，（-3）+（-4）=-7，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】解：x2-7x+12=（x-3）（x-4）． 故答案为：（x-3）（x-4）． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 13．分解因式： ． 【答案】 【分析】先提公因式，再按十字乘法分解因式即可得到答案． 【解析】解： 【点睛】本题考查的是提公因式法，十字乘法分解因式，掌握相关的知识点是解题的关键． 14．分解因式：（1）3a2-6a+3= ；（2）x2+7x+10 = ． 【答案】 3（a-1）2 (x+2)(x+5) 【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式利用十字相乘法分解即可． 【解析】解：（1）3a2-6a+3=3（a2-2a+1）=3（a-1）2 (2) x2+7x+10 =(x+2)(x+5) 故答案为：3（a-1）2；（x+2）（x+5） 【点睛】此题考查了提公因式法，公式法及十字相乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 15．因式分解,甲看错了a的值,分解的结果是,乙看错了b的值,分解的结果为,那么分解因式正确的结果为 ． 【答案】(x-6)(x+2) 【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用整式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式. 【解析】甲错了a的值，, , 乙看错了b的值，, ． 分解因式正确的结果：． 故答案为． 【点睛】本题考查了因式分解，根据两人的分解结果得到原本的整式是解题的关键. 16．已知整式，，则A、B的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】把A、B进行因式分解，即可求解． 【解析】解：， ， 所以A、B的公因式是． 故答案为： 【点睛】本题考查整式的公因式，将各整式因式分解是求解本题的关键． 17．已知，，，则代数式的值是 ． 【答案】24 【分析】用提公因式法和十字相乘法把代数式进行因式分解后，把，，，整体代入即可求值． 【解析】∵，，， ∴ ＝xy（x2－2xy－3y2） ＝xy（x－3y）（x＋y） ＝2×3×4 ＝24 故答案为：24 【点睛】此题考查了代数式的求值和因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．如图所示，若用2张1号正方形卡片，2张2号正方形卡片，5张3号长方形卡片拼成一个大的长方形，则这个大的长方形的长和宽可分别表示为 ， ． 【答案】 2a+b a+2b 【分析】先计算出拼成的长方形的面积，根据所拼成的长方形面积，因式分解可解决本题． 【解析】解：由题意知，拼成的长方形面积为：2a2+2b2+5ab ＝（2a+b）（a+2b） 所以拼成的大长方形的长和宽分别为：2a+b、a+2b． 故答案为：2a+b，a+2b． 【点睛】本题考查了整式的因式分解．理解拼成的长方形的面积与各个小长方形的面积间关系是解决本题的关键． 三、解答题 19．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可； （2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）； （3）同（2）； （4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 20．分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】通过提公因式和公式法及十字相乘法求解． 【解析】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【点睛】本题考查因式分解，解题关键是因式分解多种方法综合运用，注意分解要彻底． 21．分解因式． （1）；            （2）； （3）；                 （4）． 【答案】（1）（x-y）（x+y）；（2）3（x-y）2；（3）（a-6）（a+2）；（4）a（a-2）2 【分析】（1）用提公因式法分解因式； （2）先提3，然后利用公式法分解因式； （3）利用十字相乘法因式分解； （4）先提a，然后利用公式法分解． 【解析】解：（1）原式=x（x-y）+y（x-y）=（x-y）（x+y）； （2）原式=3（x2-2xy+y2）=3（x-y）2； （3）原式=（a-6）（a+2）； （4）原式=a（a2-4a+4）=a（a-2）2． 【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． 22．因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平方差公式分解； （2）将看作一个整体，先将括号展开化简，再利用十字相乘法逐步分解． 【解析】解：（1） = =； （2） = = = = 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式，十字相乘法，解题时要注意整体思想的运用． 23．已知，整式，整式． (1)若，求的值； (2)若可以分解为，请将进行因式分解． 【答案】(1)1 (2)= 【分析】（1）根据等式列式整理即可得到a的值； （2）先根据可以分解为，求出a=8，再代入A+B-16中，利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】（1）解：∵整式，整式， ∴， 整理得， ∴3+a=4， 解得a=1； （2）∵可以分解为， ∴， ∴， ∴3-a=-5， 解得a=8， ∴A+B-16=． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，整式的因式分解，正确掌握整式混合运算法则及整式因式分解的方法是解题的关键． 24．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 【答案】(1)(x-y)(x+6y) (2)(x-3a)(x-a-2) (3)(x+a-3b)(x-a-2b) (4)(20182x2+1)(x-1) 【分析】（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可； （2）将3a2+6a改写成，然后根据例题分解即可； （3）先化简，将改写，然后根据例题分解即可； （4）将改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可； 【解析】（1）解：原式= =(x-y)(x+6y)； （2）解：原式= =(x-3a)(x-a-2)； （3）解：原式= = = =(x+a-3b)(x-a-2b)； （4）解：原式= = = =(20182x+1)(x-1) ． 【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式可用十字相乘法方法得出是解答本题的关键． 25．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． (2)尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．若，则 ． (3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ． 【答案】(1) (2) (3)0或 【分析】（1）根据甲图形的面积等于乙图形的面积，分别计算出两个图形的面积即可得到答案； （2）根据整式乘以整式的计算法则得到，由此即可得到答案； （3）根据，即可得到或或，据此求解即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，， ∴或或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了整式乘法在几何图形中的应用，整式乘以整式与因式分解，灵活运用所学知识是解题的关键． 26．【提出问题】某数学活动小组对整式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个整式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的整式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把整式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【解析】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 27．【做一做】 计算：①_____________；②_______． 【探索归纳】 如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． ③根据甲图、乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到：关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是_________________________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． ④因式分解，其中a、b可以是__________； ⑤若，则__________． 【拓展延伸】 根据你的经验，解答下列问题 ⑥若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，请写出整数k的一个值______； ⑦若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数p的值一定是（　　　） A．3　　　　B．　　　　C．0　　　　D．0或 ⑧若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数q的值一定是（　　　） A．4　　　　B．0　　　　C．有限个　　　　D．有无数个 【答案】①；②；③(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab；④3，1或1，3；⑤-18；⑥6（答案不唯一）；⑦D；⑧D 【分析】①根据整式乘整式的法则，即可求解； ②根据整式乘整式的法则，即可求解； ③用两种方法表示矩形的面积，即可得到答案； ④由题意得a+b=4且ab=3，进而即可求解； ⑤把展开，即可求解； ⑥根据完全平方公式，写出一个符合要求的答案即可； ⑦由-4=1×(-4)=(-1)×4=2×(-2)，进而即可求解； ⑧根据“和为-4的两个整数有无数组”，进而即可求解． 【解析】①， 故答案是：； ②， 故答案是：； ③∵S甲=(x+a)(x+b)，S乙=x2+ax+bx+ab= x2+(a+b)x+ab， ∴(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab， 故答案是：(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab； ④由题意得：a+b=4且ab=3， ∴或， 故答案是：3，1或1，3； ⑤∵=x2-7x-18， ∴m=-18， 故答案是：-18； ⑥∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式， ∴k可能为6， 故答案是：6（答案不唯一）； ⑦∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式， ∴-4=1×(-4)=(-1)×4=2×(-2)， ∴p=0或±3， 故选D； ⑧∵和为-4的两个整数有无数组， ∴整数q的值有无数个， 故选D． 【点睛】本题主要考查整式乘整式的运算法则，通过题目得到结论：，是解题的关键． 28．在计算如图1所示的正方形的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：因此，可得到等式：．    (1)类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式：________； (2)试在图2右边空白处画出面积为的长方形的示意图（标注好a，b），由图形可知，整式可分解因式为：________； (3)若将代数式展开后合并同类项，得到整式N，则整式N的项数一共有________项． 【答案】(1) (2)画图见解析； (3)55 【分析】本题主要考查了整式乘整式与因式分解，解题的关键是数形结合，熟练掌握整式乘整式运算法则． （1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形，得出整式分解因式的结果即可； （3）由，共有项. 共有项， 知展开后合并同类项共项． 【解析】（1）解：图2中大正方形的边长为，则面积为， 将图2中大正方形看作有9个图形的面积之和，则大正方形面积为： ， ∴可以得出等式：． （2）解：面积为的长方形的示意图，如图所示：    ∴整式分解因式为：． （3）解：∵，共有项， 共有项， ∴按照此规律可知：展开后合并同类项后的项数为： （项）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $$