第15讲 公式法因式分解（三类知识点+七大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第15讲 公式法 （七大题型） 学习目标 1、 能用公式法把整式进行因式分解； 2、会综合用提公因式法和公式法把整式分解因式； 3、掌握公式法因式分解的应用。 一、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 【方法规律】（1）逆用乘法公式将特殊的整式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或整式. 二、因式分解步骤 （1）如果整式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是整式； （2）最终把整式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【方法规律】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或整式. 【即学即练1】分解因式： (1)； (2)． 【即学即练2】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【即学即练3】用简便方法计算： (1)； (2)． 【即学即练4】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【即学即练5】已知，则的值为 ． 题型1：运用公式法分解因式 【典例1】．因式分解： ． 【典例2】．分解因式： ． 【典例3】．因式分解： ． 【典例4】．因式分解： 【典例5】．因式分解： (1) (2) 【典例6】．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 【典例7】．因式分解： (1) (2) (3) (4) 题型2：判断能否运用平方差公式分解因式 【典例8】．下列整式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【典例9】．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【典例10】．下列整式中，可以运用平方差公式进行因式分解的是( ) A． B． C． D． 题型3：判断能否运用完全平方公式分解因式、及求参数 【典例11】．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（       ） A． B． C． D． 【典例12】．若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【典例13】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型4：判断是否能用公式法分解因式 【典例14】．下列整式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【典例15】．下列整式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【典例16】．运用公式法将下列各式因式分解，错误的是（    ） A． B． C． D． 题型5：综合运用公式法和提公因式法分解因式 【典例17】．把下列各式分解因式： （1）                      （2） （3）                      （4） 【典例18】．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例19】．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【典例20】．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【典例21】．因式分解： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型6：运用公式法或提公因式法分解因式求值 【典例22】．若，则的值是 ． 【典例23】．若，则代数式的值为 ． 【典例24】．若，，则代数式的值是 ． 【典例25】．计算： ． 题型7：运用公式法或提公因式法分解因式的其他应用 【典例26】．如果能分解为，那么 ． 【典例27】．在对二次三项式 进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此整式进行正确的因式分 【典例28】．有一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ． 题型8：材料题、图形应用 【典例29】．下面是某同学对整式进行因式分解的过程． 回答下列问题： 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步) (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 【典例30】．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释． (1)如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． (2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ； ②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． (3)将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 一、单选题 1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1 2．因式分解（    ） A． B． C． D． 3．已知多项式的一个因式为，另一个因式是（    ） A． B． C． D． 4．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 5．在多项式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 7．已知，则的个位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（　　）米． A．a+b B．b+c C．a+c D．a+b+c 9．9（x-y）2+12（x2-y2）+4（x+y）2因式分解为（　　） A． B． C． D． 10．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．因式分解： ． 12．分解因式： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ； （7） ；（8） ； （9） ． 13．因式分解： ． 14．= ． 15．已知，，则 ． 16．已知，且满足两个等式，．则的值为 ． 17．设，，，则a，b，c的大小关系为 ．（用“<”号连接） 18．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）． 三、解答题 19．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）． 21．因式分解： (1)； (2) (3)； (4)． 22．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）； （9）；（10）． 23．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 24．先分解因式，再求值：，其中，． 25．当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解． 26．小明、小花和老师一起探究一个问题：将因式分解． 小花根据大家的提示，整理出解答过程： 请你依照上述做法，将下列各式因式分解： （1）； （2） 27．观察下列分解因式的过程：． 解：原式= 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． （1）请你运用上述配方法分解因式：； （2）代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由． 28．阅读下列材料，并解决问题． 材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数． 例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有． 又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除． 问题： (1)多项式除以多项式，所得的商为　　． (2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为　　． (3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 公式法 （七大题型） 学习目标 1、 能用公式法把整式进行因式分解； 2、会综合用提公因式法和公式法把整式分解因式； 3、掌握公式法因式分解的应用。 一、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 【方法规律】（1）逆用乘法公式将特殊的整式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或整式. 二、因式分解步骤 （1）如果整式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是整式； （2）最终把整式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【方法规律】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或整式. 【即学即练1】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式： （1）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【解析】（1）解：； （2）解： 【即学即练2】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）平方差法因式分解； （2）平方差法因式分解； （3）平方差法因式分解； （4）平方差法因式分解； （5）先提公因式，再用平方差法因式分解． 【解析】（1）解：； （2）； （3） （4） ； （5）． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分级的方法，是解题的关键． 【即学即练3】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)90000 (2)1000 【分析】本题主要考查了完全平方公式： （1）运用完全平方公式计算，即可求解； （2）运用完全平方公式计算，即可求解． 【解析】（1）解： ； （2）解： 【即学即练4】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． （6）原式 ． （7）原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【即学即练5】已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，关键是运用平方差公式．先运用平方差公式分解因式，再整体代入，整理后再整体代入即可求解． 【解析】解：， ． 故答案为：4． 题型1：运用公式法分解因式 【典例1】．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用平方差公式因式分解即可． 【解析】 ． 故答案为：． 【典例2】．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【典例3】．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案． 【解析】解： ． 故答案为：． 【典例4】．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【典例5】．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解析】（1） ； （2） ． 【典例6】．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握利用公式法分解因式是解本题的关键. （）用完全平方公式进行因式分解即可； （）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （）先将常数项去括号，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【典例7】．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解： （1）提公因式结合平方差公式进行因式分解即可； （2）提公因式结合平方差公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型2：判断能否运用平方差公式分解因式 【典例8】．下列整式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，准确判断是解题的关键． 【解析】解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； C、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意； D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意， 故选：C． 【典例9】．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据平方差公式分析判断即可． 【解析】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 【典例10】．下列整式中，可以运用平方差公式进行因式分解的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．根据平方差公式判断即可． 【解析】解：与无法利用平方差公式因式分解，则A不符合题意； 无法利用平方差公式因式分解，则B不符合题意； ，则C符合题意； 无法利用平方差公式因式分解，则D不符合题意； 故选：C． 题型3：判断能否运用完全平方公式分解因式、及求参数 【典例11】．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式.是解题的关键 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【解析】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解； B、，不能用完全平方公式进行因式分解； C、，不能用完全平方公式进行因式分解； D、，能用完全平方公式进行因式分解； 故选：D． 【典例12】．若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，能运用完全平方公式分解因式的整式必须是三项式，先根据两平方确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解析】解：∵整式能用完全平方公式分解因式， 又∵， ∴ ， 解得 ． 故选：C． 【典例13】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】略 题型4：判断是否能用公式法分解因式 【典例14】．下列整式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可． 【解析】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 【典例15】．下列整式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解． 【解析】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 【典例16】．运用公式法将下列各式因式分解，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 题型5：综合运用公式法和提公因式法分解因式 【典例17】．把下列各式分解因式： （1）                      （2） （3）                      （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，即可求解； （2）先分组，再利用平方差公式法因式分解，即可求解； （3）先利用完全平方公式法因式分解，再利用平方差公式法，即可求解； （4）先将原式化简，再利用完全平方公式法因式分解，即可求解． 【解析】解：（1）                                             ； （2）                   ； （3）                                          ； （4）                        ． 【点睛】本题主要考查了整式的因式分解，熟练掌握整式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法进行因式分解是解题的关键． 【典例18】．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）直接利用完全平方公式进行分解即可； （3）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可； （4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查公式法分解因式，积的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【典例19】．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （3）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解． 【解析】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 【典例20】．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解； （2）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解； （3）先提公因式，再根据平方差公式因式分解； （4）直接根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式因式分解即可求解． 【解析】（1）解：原式= =； （2）解：原式＝ =； （3）解：原式= =； （4）解：原式＝ =   =． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【典例21】．因式分解： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可； （3）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可； （4）根据提公因式法与平方差公式因式分解即可． 【解析】（1） = = （2） = = = （3） = = = （4） = = = = 【点睛】本题考查了提公因式法、平方差公式和完全平方公式，解决此题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法． 题型6：运用公式法或提公因式法分解因式求值 【典例22】．若，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查分解因式的应用，先得到，然后代入合并，然后再提取公因式即可解题． 【解析】解：因为， 所以， 故答案为：4． 【典例23】．若，则代数式的值为 ． 【答案】81 【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．先计算的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 【典例24】．若，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的综合运用及整体代入思想，正确进行因式分解是解决问题的关键．将代数式因式分解然后整体代入求解即可． 【解析】∵ ∴ ． 故答案为：． 【典例25】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【解析】解： ． 故答案为：． 题型7：运用公式法或提公因式法分解因式的其他应用 【典例26】．如果能分解为，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，完全平方公式，由完全平方公式计算，由因式分解定义得到k的值，正确理解因式分解定义是解题的关键 【解析】解： ∵能分解为， ∴ ∴ 故答案为： 【典例27】．在对二次三项式 进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此整式进行正确的因式分 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握整式乘整式法则、提取公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．分别将和展开，然后取展开后的常数项，取展开后的一次项，最后因式分解即可． 【解析】解：， ， ∴，， 由题意可知：原二次三项式为， ∴． 故答案为：． 【典例28】．有一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ． 【答案】爱我中华（答案不唯一） 【分析】本题主要考查多项式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．先对进行因式分解，再根据题意，即可得到答案． 【解析】解：∵ =， ∴信息中的汉字有：华、我、爱、中． ∴结果呈现的密码信息可能为：爱我中华． 故答案为：爱我中华． 题型8：材料题、图形应用 【典例29】．下面是某同学对整式进行因式分解的过程． 回答下列问题： 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步) (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 【答案】(1)两数和的完全平方公式 (2)不彻底， (3) 【分析】本题主要考查了因式分解及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的前提， （1）根据完全平方公式作答即可； （2）根据因式分解的定义及完全平方公式作答即可； （3）根据换元法及完全平方公式因式分解即可； 【解析】（1）解：第二步到第三步使用的是公式， 即两数和的完全平方公式， 故答案为：两数和的完全平方公式； （2）解：∵， ∴该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是， 故答案为：不彻底，； （3）解：设， ． 【典例30】．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释． (1)如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． (2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ； ②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． (3)将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①，②1 (3)3.5 【分析】本题考查的是因式分解和图形的结合，读懂图形信息、掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据面积公式，大正方形的面积可以表示为：，两个小正方形和两个长方形的面积可以表示为：，则； （2）①大长方形的面积，大长方形的面积=，则； ②由题意得：，则，结合即可求得； （3）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积． 【解析】（1）解：根据面积公式，大正方形的面积可以表示为：，两个小正方形和两个长方形的面积可以表示为：，则， 故答案为：； （2）解：①∵大长方形的面积， 大长方形的面积=， ∴， 故答案为：； ②由题意得：， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， （3）解：阴影部分的面积 ． 一、单选题 1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1 【答案】C 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【解析】解：多项x2+x+1，x2+2x-1，x2-2x+1都不能用平方差公式进行因式分解， 能用平方差公式进行因式分解的是x2-1， 故选：C． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 2．因式分解（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可． 【解析】． 故选C． 【点睛】本题考查运用公式法进行因式分解，解题关键在于对公式的熟练掌握与应用，题目比较简单． 3．已知多项式的一个因式为，另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式． 【解析】原式=（2x+y-z）（2x-y+z）， ∴另一个因式是2x+y-z， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，用了平方差的形式，所以要熟记平方差公式分解因式． 4．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【分析】用M与N作差，然后进行判断即可． 【解析】解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1， ∵M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1) =3x2-x+3-2x2-3x+1 =x2-4x+4 =(x-2)2≥0， ∴M≥N． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答题的关键． 5．在多项式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直接利用完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【解析】解：（1）无法运用完全平方公式分解因式； （2）无法运用完全平方公式分解因式； （3），能运用完全平方公式分解因式； （4），能运用完全平方公式分解因式； 故选B． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 6．已知，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】先对进行变形，可以解出a，b的关系，然后在对进行因式分解即可． 【解析】∵， ∴， ， ， ∴，， ∴ 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键． 7．已知，则的个位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】把3变成22-1，依次运用平方差公式进行计算，再合并即可． 【解析】 ∵由2的乘法性质可得个位按照2,4,8,6四次一循环,则16次方时个位为6. ∴216-1个位为5,  216+1个位为7,  5×7=35 ∴原式个位为5. 故选C 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，注意：平方差公式为：（a+b）（a-b）=a2-b2． 8．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（　　）米． A．a+b B．b+c C．a+c D．a+b+c 【答案】C 【分析】首先计算原来4块地的总面积，再进一步因式分解，出现a＋b的因式． 【解析】解：原来四块地的总面积是a2＋bc＋ac＋ab＝a（a＋c）＋b（a＋c）＝（a＋c）（a＋b）， 则交换之后的土地长是（a＋c）米． 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决此题的关键是能够熟练运用分组分解法进行因式分解． 9．9（x-y）2+12（x2-y2）+4（x+y）2因式分解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把（x－y）与（x＋y）看做一个整体，运用完全平方公式求解即可． 【解析】解：9（x－y）2＋12（x2－y2）＋4（x＋y）2， ＝[3（x－y）]2＋12（x＋y）（x－y）＋[2（x＋y）]2， ＝[3（x＋y）＋2（x－y）]2， ＝（5x+y）2． 故选B． 【点睛】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，要把（x－y）与（x＋y）看作一个整体，整理成公式形式是解题的关键． 10．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可． 【解析】原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc） =[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）] =[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2] =×（1+4+1） =3， 故选D. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键． 二、填空题 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可． 【解析】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法，是解题的关键． 12．分解因式： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ； （7） ；（8） ； （9） ． 【答案】 【分析】（1）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （2）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （3）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （4）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （5）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （6）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （7）先提公因式 再利用十字乘法分解因式即可得到答案； （8）先利用十字乘法分解因式，再利用平方差公式分解即可； （9）先把原式化为：，再利用完全平方公式与平方差公式分解即可. 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） 【点睛】本题考查的是十字乘法分解因式，分组分解法，利用完全平方公式分解因式，掌握以上因式分解的方法是解题的关键. 13．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案． 【解析】解： ． 故答案为：． 14．= ． 【答案】 【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案． 【解析】解： = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键． 15．已知，，则 ． 【答案】． 【分析】现将原式进行因式分解，然后代入求值即可 【解析】解： 当，， ∴原式= 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题关键． 16．已知，且满足两个等式，．则的值为 ． 【答案】4 【分析】由已知条件得到，化简为，然后整体代入即可求值． 【解析】，， ， ， ， （不符合题意，排除）或， 又， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入是解题关键． 17．设，，，则a，b，c的大小关系为 ．（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，用平方差公式分解因式得到，，再由即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴， 故答案为：． 18．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）． 【答案】104020 【分析】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x+y）（3x-y），当x=10，y=10时，密码可以是10、40、20的任意组合即可． 【解析】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x+y）（3x-y）， 当x=10，y=10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一． 【点睛】本题考查的是因式分解，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可． 三、解答题 19．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先利用完全平方公式展开，合并同类项，再用完全平方公式分解因式； （2）先用整式乘法法则去括号，再合并同类项，然后利用平方差公式分解因式； （3）先提公因式，再用完全平方公式分解因式； （4）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【解析】解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝； （4）原式＝． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式、完全平方公式、平方差公式是关键． 20．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）． 【答案】（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【分析】（1）直接利用平方差公式进行分解即可； （2）首先提公因式，再利用完全平方公式进行分解即可； （3）直接利用平方差公式进行分解即可； （4）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行分解即可； （5）直接利用完全平方公式进行分解即可 （6）直接利用完全平方公式进行分解即可； （7）利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行分解即可； （8）直接利用完全平方公式进行分解即可． 【解析】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式 ； （8）原式 ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解，注意分解因式要彻底． 21．因式分解： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． （1）直接提取公因式即可； （2）直接利用平方差公式因式分解即可； （3）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （4）利用利用平方差公式因式分解即可． 【解析】（1）解： （2） （3） （4） ． 22．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）； （9）；（10）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）． 【分析】（1）直接提取公因式7，进而利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可； （3）直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可； （4）直接利用平方差公式分解因式即可； （5）直接提取公因式分解因式即可； （6）直接提取公因式分解因式即可； （7）直接利用平方差公式分解因式即可； （8）直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可； （9）直接利用平方差公式分解因式即可； （10）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【解析】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 23．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） 【分析】（1）先提取公因式y，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式2x，然后利用完全平方公式分解因式即可； （3）先去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （5）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可； （6）先把原式变为，再利用平方差公式分解因式即可； （7）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （8）利用十字相乘的方程分解因式即可； （9）利用十字相乘的方程分解因式即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24．先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】先利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，再将a、b的值代入求值即可得． 【解析】原式， ， ， 当，时，原式， ， ． 【点睛】本题考查了利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键． 25．当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解． 【答案】，． 【分析】先将x的值代入，解关于k的一元一次方程求出k的值，再综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解即可得． 【解析】当时，多项式的值为0， 即， 解得； 则原多项式为， 因式分解得：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解，解一元一次方程，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键． 26．小明、小花和老师一起探究一个问题：将因式分解． 小花根据大家的提示，整理出解答过程： 请你依照上述做法，将下列各式因式分解： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据题干所给方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可． 【解析】解：（1） ； （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键． 27．观察下列分解因式的过程：． 解：原式= 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． （1）请你运用上述配方法分解因式：； （2）代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）（a-b）（a+5b）；（2）存在最小值，当a=-1，b=3时，最小值为2． 【分析】(1)理解题意，按题意所给方法分解因式即可； (2)根据题中所给方法，对原式进行变形求解即可． 【解析】解：(1) ， ， ， ， ； （2）代数式， =a2+2a+1+b2-6b+9-1-9+12， =， ， ∴当，b-3=0即，b=3时原式有最小值，最小值是2． 【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，掌握因式分解的方法，正确理解问题情境是解题关键． 28．阅读下列材料，并解决问题． 材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数． 例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有． 又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除． 问题： (1)多项式除以多项式，所得的商为　　． (2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为　　． (3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为　　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把已知多项式分解因式即可求解； （2）首先把已知多项式减去余式再分解因式即可求解； （3）设，其中A为一次多项式，然后把和时，代入等式可以得到关于a、b的方程组，解方程组求出a，b，最后分解因式即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴多项式除以多项式，所得的商为． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为． 故答案为：； （3）解：∵多项式分别能被和整除， ∴设，其中A为一次多项式， 当时，， 当时，， 联立解得：， 解得， ∴ ， ∴多项式除以的商为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确读懂题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 36 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $$