专题11 立体几何（Ⅰ）（讲义+练习）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题11 立体几何（Ⅰ）（讲义） Ⅰ、空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 Ⅱ 、简单几何体 ㈠ 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡ 几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ( 图1-1 棱柱 ) ⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 ( 图1-2 长方体 ) 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 ( 图1-3 圆柱 ) 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全 = 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 S正棱锥侧 = c h’ (c为底面周长，h’为侧面斜高) S正棱锥全 = c h’ + S底面 V棱锥 = 1/3 S底面·h (h为棱锥的高) ( 图1-4 棱锥 ) 4 圆锥的结构特征 4-1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 4-2 圆锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 轴截面是等腰三角形； ⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和： l2 = r2 + h2 ( 图1-5 圆锥 ) 4-3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。 4-4 圆锥的面积和体积的公式 S圆锥侧 = π r·l (r为底面半径，l为母线长) S圆锥全 = πr·(r + l) V圆锥 = 1/3 πr2·h (h为圆锥高) 5 棱台的结构特征 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 正棱台的结构特征 ⑴ 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； ⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； ⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形； ⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。 5-3 正棱台的面积和体积公式 ( 图1-6 棱台 ) S棱台侧= n/2 (a + b)·h’ (a为上底边长，b为下底边长，h’为棱台的斜高，n为边数) S棱台全 = S上底 + S下底 + S侧 V棱台 = 6 圆台的结构特征 6-1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 6-2 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； ⑵ 圆台的截面是等腰梯形； ⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。 6-3 圆台的面积和体积公式 ( 图1-7 圆台 ) S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径) S圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l V圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高) 7 球的结构特征 7-1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。 7-2 球的结构特征 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面； ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 – d2 ( 图1-8 球 ) ★7-3 球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是： ⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形； ⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图； ⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题； ⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长。 7-4 球的面积和体积公式 S球面 = 4 π R2 (R为球半径) V球 = 4/3 π R3 Ⅲ、空间几何体的视图 1 三视图：观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 注意：⑴ 俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等。(正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽) ⑵ 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。 2 直观图 2-1 直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 2-2 斜二测法做空间几何体的直观图 ⑴ 在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy = 90°； ⑵ 画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它们确定的平面表示水平平面； ⑶ 在坐标系x’o’y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。 结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的 2-3 解决关于直观图问题的注意事项 ⑴ 由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”； ⑵ 由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 Ⅳ、方法归纳： 一、基本立体图形 命题点1　结构特征 例1 下列说法中正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．棱锥的侧面只能是三角形 C．通过圆台侧面一点，有无数条母线 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体为圆锥 答案 B 分析 逐项判断即可． 对于A， 直四棱柱底面不一定是长方形； 对于B，根据棱锥定义，侧面一定是三角形； 对于C，通过圆台侧面一点只有一条母线； 对于D，以直角三角形的一条斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体不是圆锥. 解析 直四棱柱不是长方体，底面不一定是长方形，故A错误； 根据棱锥定义，侧面一定是三角形，故B正确； 通过圆台侧面一点，只有一条母线，故C错误； 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体为圆锥，斜边不行，故D错误； 故选：B. 方法归纳：　空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． 命题点2　直观图 例2　如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（ ） A． B． C． D． 答案 C 分析 结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形还原成平面图形,结合勾股定理算出各边长度即可求解. 解析 由题意,,由可得, 由, 可得,所以, 而， 所以， 结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形还原成平面图形， 如图所示： 由勾股定理可得， 所以满足题意的平面图形的周长是. 故选:C. 方法归纳：　(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝ S原图形． 命题点3　展开图 例3　甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，圆锥的高分别为和，侧面积分别为和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 答案 D 分析 设出母线长、圆心角及底面半径后计算即可得. 解析 设甲、乙两个圆锥的母线长都为，底面半径分别为、， 侧面展开图的圆心角分别为、，则， 则，故， 即有，， ，即， 同理，即， 故. 故选：D. 方法归纳：　多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 二、表面积与体积 命题点1　表面积 例4　(1)在母线长为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为（     ） A． B． C． D． 答案 C 分析 该几何体的表面包括原圆柱侧面，原圆柱一个底面及圆锥侧面，分别计算出各面面积即可得. 解析 体积最大的圆锥的母线为， 则. 故选：C. (2已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 答案 C 分析 取点D在母线SA上且，可证明三棱锥与三棱锥外接球相同，再由正弦定理求出三角形的外接圆半径即为外接球半径得解. 解析 如图， 设点D在母线SA上且， 因为是直角三角形，所以三棱锥外接球的球心E在SO上， 由 ≌，可得， 即三棱锥外接球的球心E也是三棱锥外接球的球心，且两个外接球的表面积相等． 由，得的外心即为三棱锥外接球的球心E． 在中，， 所以的外接圆的直径， 所以三棱锥外接球的表面积是， 故选：C． 方法归纳：　(1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和． (3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理． 命题点2　体积 例5　已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 答案 D 分析 求出球的半径以及圆柱的底面半径，在轴截面中，找到二者与圆柱的高之间的关系，即可求出圆柱的高，从而求得圆柱的体积. 解析 球的表面积为，可得其半径， 圆柱的底面直径为，半径为， 在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为. 故选：D.    方法归纳：　求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 三、切接问题 1、定义法 例1　(1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为(　　) A．π B.π C．2π D. 答案　D 解析　如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC， 又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB， 所以BC⊥PB， 在Rt△PBC中，OB＝PC， 同理OA＝PC， 所以OA＝OB＝OC＝PC， 因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上， 在Rt△ABC中，AC＝＝. 在Rt△PAC中，PC＝＝， 球O的半径R＝PC＝， 所以球的体积为π3＝. 方法归纳：　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 二、补形法 例2　(1)在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A．2π B．4π C．6π D．8π 答案　C 解析　由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为外接球的半径)，得2R2＝3，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝6π. 方法归纳：　(1)补形法的解题策略 ①侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解． (2)正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (3)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 3、截面法 例3　已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 答案 D 分析 作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中心，再求出三棱锥的高,利用勾股定理即可求解外接球半径. 解析 因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为 ， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点， 如图，过球心作的垂线交于， 则， 又因为，所以， 又与相似，所以， 所以， 因为外接圆的半径为， 正三棱锥外接球的球心在上，设半径为， 所以，即， 解得. 故选：. 方法归纳：　(1)与球截面有关的解题策略 ①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； ②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的． (2)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)． ( 第 1 页 共 10 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 立体几何（Ⅰ）（练习） 一、填空题 1．已知圆锥的底面直径为8，高是3，则该圆锥的侧面积为 ． 2．若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为 . 3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ． 4．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则这个三棱锥的体积为 . 5．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是 . 6．用斜二测画法画一个水平放置的边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的面积为 . 7．在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕旋转一周，则所得几何体的体积为 . 8．如图是梯形按照斜二测画出的直观图，其中，，，则原梯形的面积为 .    9．已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 10．若正四棱锥的底面边长是2，高为，棱锥被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱台的上、下底面边长之比为，则该棱台的体积是 ． 11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 . 12．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为 ． 13．已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 14．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是 ． 二、单选题 15．已知圆锥SO的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO的体积为（　　） A． B． C． D． 16．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（    ） A．的值等于1 B． C．的值等于2 D． 17．如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（    ） A． B． C． D． 18．如图，正方体中，、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 19．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积不是定值 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，有且仅有一个点P，使得平面 20．为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（    ） A．CD与BE是异面直线 B．异面直线AB与CD所成角的大小为45° C．由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为 D．球面上的点到底座底面DEF的最大距离为 三、解答题 21．如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，    (1)求该圆柱的体积和表面积 (2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积 22．如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．    (1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长； (2)求六棱锥的表面积和体积． 23．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，. (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积. 24．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 25．如图，在长方体中，. (1)求二面角的正切值； (2)设三棱锥的体积为，是否存在体积为（为正整数），且十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内角的大小；若不存在，请说明理由. 26．已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形． (1)若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值； (2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积； (3)若该三棱锥的底面边长为1，四个顶点在同一个球面上，、分别是，的中点，且，求此球的体积． 27．为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法.构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有. (1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，，，求此四面体的体积； (2)对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形； (3)有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？ ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 立体几何（Ⅰ）（练习） 一、填空题 1．已知圆锥的底面直径为8，高是3，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】求出圆锥的母线，利用圆锥的侧面积公式求出答案 【解析】圆锥的底面半径为，又高为3，故圆锥的母线， 故该圆锥的侧面积. 故答案为： 2．若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据熔化前后体积不变可求出熔化后所得球的半径长，再利用球体的表面积公式可得结果. 【解析】设熔化后铸成球的半径为，则，可得． 所以，球的表面积为. 故答案为：. 3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ． 【答案】 【分析】利用圆柱的全面积公式求解. 【解析】由圆柱的全面积公式得：， 故答案为： 4．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则这个三棱锥的体积为 . 【答案】9 【分析】根据正三棱锥的结构特征结合体积公式运算求解. 【解析】由题意可知：三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为. 故答案为：9. 5．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是 . 【答案】 【分析】 易知为等腰直角三角形，由此可求得；根据直观图面积与原图面积的比值关系可求得结果. 【解析】由斜二测画法原理可知：， 是以为直角顶点的等腰直角三角形，又， ，， . 故答案为：. 6．用斜二测画法画一个水平放置的边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的面积为 . 【答案】 【分析】斜二测画法画平面图形的直观图的面积是原图面积的倍. 【解析】边长为12的正三角形的面积为， 斜二测画法画的直观图面积. 故答案为：. 7．在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕旋转一周，则所得几何体的体积为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球，然后结合圆柱以及球的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【解析】图中阴影部分绕旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球， 其中圆柱的底面半径为1，高为1， 则所得几何体的体积为圆柱的体积减去半球的体积， 即. 故答案为： 8．如图是梯形按照斜二测画出的直观图，其中，，，则原梯形的面积为 .    【答案】6 【分析】根据斜二测画法的规则，还原几何图形，即可求原梯形的面积. 【解析】如图，还原梯形，，，，梯形为直角梯形，    所以原梯形的面积. 故答案为：6 9．已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 【答案】 【分析】先分析出旋转体为圆锥，然后根据表面积等于侧面积加上底面积求解出结果. 【解析】因为，所以， 所以旋转体是底面半径为，高为，母线长为的圆锥， 所以表面积为， 故答案为：. 10．若正四棱锥的底面边长是2，高为，棱锥被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱台的上、下底面边长之比为，则该棱台的体积是 ． 【答案】/ 【分析】利用相似比得到被截去的小棱锥的边长与高，再利用割补法，结合棱锥的体积公式即可得解. 【解析】如图， 因为棱台的上、下底面的边长之比为，正四棱锥的底面边长是，高为， 所以正四棱锥的底面边长为，高为， 所以该棱台的体积为. 故答案为：. 11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 . 【答案】 【分析】借助球体体积公式及圆柱表面积公式计算即可得. 【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，母线长为， 则球的体积为，所以， 所以圆柱表面积为. 故答案为：. 12．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为 ． 【答案】 【分析】利用圆柱的表面积求出球的表面积，然后求出球的半径，最后求出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和球的体积差，求出水的体积即可. 【解析】设球的半径为，由题意得球的表面积为， 所以，所以圆柱的底面半径为2，高为4， 所以最多可以注入的水的体积为． 故答案为： 13．已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 【答案】 【分析】计算球的半径和截面圆的半径，确定圆锥的轴与平面的夹角为，截面为等腰三角形，计算边长得到面积. 【解析】设球的半径为，则，解得， 设球的截面半径为，则，故， 故球心到平面的距离， 球心在圆锥的轴上，圆锥的轴与平面的夹角为. 圆锥的高为，故球心到圆锥底面圆的距离为， 圆锥的底面半径为， 如图所示：截面为等腰三角形，，，， ，故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了球与圆锥的截面问题，意在考查学生的转化能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，确定圆锥的轴与平面的夹角为，再确定截面形状得到面积是解题的关键. 14．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】由不同的拼接方式，分别计算棱柱全面积，根据全面积最小值的情况列不等式求的取值范围. 【解析】①拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况， 将上下底面对接，其全面积为． 边可以合在一起时，其全面积为． 边合在一起时，其全面积为． ②拼成一个四棱柱，有四种情况，其中全面积有三种情况， 就是分别让边长为，，所在的侧面重合， 其上下底面积之和都是， 但侧面积分别为， 显然，三个四棱柱中全面积最小的值为． 由题意得，解得， 所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题除了考查棱柱全面积的计算外，重点在三棱柱和四棱柱的拼接方式，要考虑全面，不能有遗漏. 二、单选题 15．已知圆锥SO的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，利用圆锥的体积公式计算即可． 【解析】 解：如图所示， 圆锥SO中，底面圆半径为， 高为； 所以圆锥SO的体积为： . 故选：D． 16．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（    ） A．的值等于1 B． C．的值等于2 D． 【答案】D 【分析】设圆锥形容器的底面积为S，由相似的性质可得未倒置前液面的面积为，根据圆锥的体积公式求出水的体积；再次利用相似的性质表示出倒置后液面面积，由水的体积建立关于的方程，解之即可求解. 【解析】设圆锥形容器的底面积为S，未倒置前液面的面积为， 则，所以， 则水的体积为； 设倒置后液面面积为，则， 则水的体积为，解得. 故选：D. 17．如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设半球的半径为R，连接AC,BD交于点O，连接SO，利用四棱锥的体积公式求出半径R，再代入半球的表面积公式即可求解. 【解析】 依题意，设半球的半径为R，连接AC,BD交于点O，连接SO，如图所示： 则有,易得, , , 半球的表面积. 故选：B. 18．如图，正方体中，、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点，，的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可. 【解析】如图所示： 设正方体的棱长为， 则过点，，的截面下方体积为：， ∴另一部分体积为， ∴. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了几何的割补问题，还考查了空间想象的能力，属于中档题. 19．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积不是定值 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，有且仅有一个点P，使得平面 【答案】D 【分析】判断当时，点在线段上，分别计算点为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当时，点在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当时，利用线面垂直的判定定理即可判断选项C；当时，取的中点，的中点，则点在线的上，证明当点在点处时，平面，利用过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D. 【解析】不影响题意，将题目所给正三棱柱的点和交换位置并旋转图形如下图所示： 对于A，当时，，即，所以， 故点在线段上，此时的周长为， 当点为的中点时，的周长为， 当点在点处时，的周长为， 故周长不为定值，故选项A错误； 对于B，当时，，即，所以， 故点在线段上， 又，面，面，则面， 所以直线上的点到平面的距离相等， 又的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故选项B错误； C：当时，取线段，的中点分别为，，连结， 由，即，所以，则在线段上， 当在处时，，，又，则平面， 又平面，所以，即， 同理，当在处，，故C错误； 对于D，当时，取的中点，的中点， 因为，即，所以， 则点在线的上， 当点在点处时，取的中点，连结，， 因为平面，又平面，所以， 在正方形中，， 又，，平面， 故平面，又平面，所以， 在正方体形中，， 又，，平面，所以平面， 因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点，使得平面，故选项D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题B选项的解决关键是，利用等体积法，结合线面平行的判定定理即可得解. 20．为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（    ） A．CD与BE是异面直线 B．异面直线AB与CD所成角的大小为45° C．由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为 D．球面上的点到底座底面DEF的最大距离为 【答案】C 【分析】取中点N，M，利用给定条件证明，推理判断A，B；求出外接圆半径，结合球面截面圆性质计算判断C，D作答. 【解析】取中点N，M，连接，如图， 因为正三角形，则，而平面平面，平面平面，平面， 于是得平面，同理平面，即，， 因此，四边形是平行四边形，有，则直线CD与BE在同一平面内，A不正确； 由选项A，同理可得，则异面直线AB与CD所成角等于直线DF与CD所成角，B不正确； 由选项A知，，同理可得，正外接圆半径， 由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是的外接圆，此截面面积为，C正确； 体积为的球半径，由得，由选项C知，球心到平面的距离， 由选项A，同理可得点A到平面的距离为，即平面与平面的距离为， 所以球面上的点到底座底面DEF的最大距离为，D不正确. 故选：C 【点睛】易错点睛：异面直线所成的角的取值范围是，当求出角的余弦值为负时，要取其相反数作为异面直线夹角余弦． 三、解答题 21．如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，    (1)求该圆柱的体积和表面积 (2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积 【答案】(1)体积为，表面积为； (2) 【分析】（1）由圆柱体积公式可得体积，由侧面积公式先求侧面积，表面积为侧面积加上两个底面积可得； （2）先求圆锥母线长，再由侧面积公式可得. 【解析】（1）圆柱的底面半径，母线长，即高， 体积， 表面积. （2）由题意，圆锥母线， 所得圆锥的侧面积为. 22．如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．    (1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长； (2)求六棱锥的表面积和体积． 【答案】(1)高为6，斜高为，侧棱长为 (2)表面积为，体积为 【分析】（1）依据图象，根据底边是正六边及边长可求出，进而在中，可求出,即正六棱锥的高及斜高，继而在等腰中可求得侧棱长； （2）求出底面积，利用棱锥体积计算公式求解即可. 【解析】（1）如图：    在正六棱锥中，， H为中点，所以． 因为是正六边形的中心， 所以为正六棱锥的高． ， 在中，， 所以． 在中，． 在中，，， 所以． 故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为． （2）的面积为， 的面积为， 所以正六棱锥的表面积为， 体积为 23．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，. (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积. 【答案】(1)证明见解析，4 (2) 【分析】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积； （2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解. 【解析】（1）因为长方体中，平面，且是矩形， 所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面， 所以四棱锥是一个“阳马”， 体积； （2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 24．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 【答案】(1) (2)138.7元 【分析】（1）先通过底面周长求出底面圆的半径，然后根据圆锥母线及底面圆半径求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积加上圆柱的体积即可求解； （2）求出圆锥的侧面积，圆柱侧面积及一个底面积，即可得到“笼具”的表面积，然后求出总的造价即可. 【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为，圆柱高为， 则由题意有，得，圆锥高， 所以“笼具”的体积. （2）圆柱的侧面积，圆柱的底面积， 圆锥的侧面积， 所以“笼具”的侧面积. 故造50个“笼具”的最低总造价为元. 答：这种“笼具”的体积约为；生产50个笼具需要138.7元. 25．如图，在长方体中，. (1)求二面角的正切值； (2)设三棱锥的体积为，是否存在体积为（为正整数），且十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内角的大小；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，答案见解析 【分析】（1）过作，根据题意，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解； （2）求得三棱锥的体积为，结合题意，得到每条棱的长度为2，设底面菱形的一个角为，得到直四棱柱的体积为，进而求得，从而得解. 【解析】（1）过作交于，连接， 因为为长方体，可得平面， 又因为在底面的投影为且，所以， 所以即为二面角的平面角， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以二面角的正切值为. （2）三棱锥的体积为， 因为十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，则每条棱的长度为2， 设直四棱柱的底面菱形的一个角为，则底面积为， 则直四棱柱的体积为，可得， 当时，，可得； 当时，，可得； 当时，，可得； 当时，此时，无解， 综上可得，当时， ；当时， ；当时，；当时，不存在. 26．已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形． (1)若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值； (2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积； (3)若该三棱锥的底面边长为1，四个顶点在同一个球面上，、分别是，的中点，且，求此球的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值，确定，根据余弦定理计算得到答案. （2）计算内切圆的半径为，外接圆半径为，得到，计算体积即可. （3）顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于，证明三条侧棱两两互相垂直，正方体外接球即为三棱锥的外接球，得到，计算体积得到答案. 【解析】（1）如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值， 由题意得，所以，， 由余弦定理得， ， 所以质点移动路程的最小值为； （2）设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为， 则，解得，， 所以， 圆锥的体积为． （3）如图，三棱锥为正三棱锥， 则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于， 则，平面，平面，故，， 平面，得平面，平面，则， 因为、分别是、的中点，所以， 又，即，所以，，平面， 故平面，所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直， ， 把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径，， 则球的体积为． 27．为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法.构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有. (1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，，，求此四面体的体积； (2)对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形； (3)有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？ 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)时，构成的三棱锥体积最大，最大值为 【分析】（1）类比已知条件中的解法，构造一个长方体，求出长方体的棱长，在由长方体的体积减去四个三棱锥体积即可得到答案； （2）在四面体ABCD中，由已知可得四面体ABCD的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，证明△ABC为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形； （3）当2条长为m的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积的表达式，利用基本不等式求最值. 【解析】（1）设四面体所在长方体的棱长分别为， 则，解得， 所以四面体的体积. （2）在四面体中， 因为，，， 所以四面体的四个面为全等三角形， 即只需证明一个面为锐角三角形即可. 设长方体的长、宽、高分别为、、， 则，，， 所以，，， 所以为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形； （3）当2条长为的线段不在同一个三角形中， 如图，不妨设，，取的中点， 连接、， 则，，而，所以平面， 则三棱锥的体积， 在中，，， ， 所以 因为，所以. 当且仅当，即时取等号， 故时，构成的三棱锥体积最大，最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$