10.1.1有限样本空间与随机事件课件-2023-2024学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册

概率论起源 1651年，法国一位贵族、职业赌徒梅累和赌友掷硬币，各押赌注32个金币，双方约定先胜三局者为胜，取得全部的64个金币。赌博进行了一段时间，梅累已经赢了两局，赌友已经赢了一局。这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了。 【问题】两个人应该怎么分这64个金币才算合理呢？于是向法国数学家、物理学家帕斯卡寻求帮助. 1494年 梅累赌金分配问题 1654年 帕斯卡与费马通信探讨,概率论奠基人 1657年 惠更斯出版《论骰子游戏中的推理》 20世纪初 科尔莫戈罗夫建立严谨的概率论理论体系 01 概率论起源与发展 1713年 伯努利《猜度术》大数理论 1812年 拉普拉斯 《分析概率论》 03 05 02 04 06 概率论 通过随机抽样收集数据，当样本量较小时，每次得到的结果往往不同；但如果有足够多的数据，就可以从中发现一些规律. 【引例】从装有5个白球和10个红球的袋子中随机摸出一个，事先能确定它的颜色吗？但如果有放回地重复摸很多很多次，每次记录摸到的球的颜色，你认为会有规律吗？ 任何一次随机取一个球，事先都不能确定它的颜色. 但如果有放回地重复取很多很多次，就会发现取到球的颜色会呈现一定的规律，例如白色大约占1/3，红色大约占2/3. 就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫做随机现象，它是概率论的研究对象。 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，与统计学联系非常紧密. 10.1.1有限样本空间与随机事件 5 【思考1】观察下列试验，各有多少个可能结果，事先能否预知出现哪个结果？ 1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上； 2.体育彩票摇奖时，将分别标号0，1，2，...，9的球摇出一个，观察这个球的号码； 3.射击运动员射击一次，观察其命中的环数； 4.在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命； 5.记录某地区七月份的降水量； 【定义】对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 　　我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验∶ （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不确定出现哪个结果． 可重复性 可预测性 随机性 7 【定义】我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间． Ω——样本空间，ω——样本点．（本书仅讨论Ω为有限集的情况） （有限样本空间） 【练】体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1, 2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ 8 【思考2】抛掷一枚均匀的硬币，观察其落地时哪面朝上，有哪些结果？这些结果怎样表示？ 样本空间的表达形式不唯一 方法1： 方法2： Ω={正面朝上,反面朝上} 方法3：如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间Ω={h,t}. 方法4：如果用1表示“正面朝上”，0表示“反面朝上”则样本空间Ω={1,0}. 【变式】抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况. 方法一:掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x,y)表示. Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}. 正面朝上→1 反面朝上→0 Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}. 方法二： 变式 抛掷两枚硬币，观察它们落地时正面朝上的硬币数量情况，写出试验的样本空间. Ω={0,1,2}. 对于相同背景，试验观察角度不同，得到的样本空间也不同. 拓展探究1 抛掷一黄、一蓝两枚两枚均匀的正四面体骰子，分别观察底面的数子. (1)用表格表示试验的所有可能结果； (2)列举下列事件所含的样本点： A=两个数字相同，B=两个数字之各等于5，C=蓝色骰子的数字为2. 解：(1) 1 2 3 4 1 2 3 4 (2)事件A所含的样本点为： 事件B所含的样本点为： 事件C所含的样本点为： 0 1 元件A 0 1 0 1 元件B 0 1 0 1 0 1 0 1 元件C 000 001 010 011 100 101 110 可能结果 111 拓展探究2　如右图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”. 用1表示状态 “正常” 用0表示状态“失效” (1) 分别用x1, x2 和x3 表示元件A, B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1, x2 ,x3 )表示. 假设用1表示元件状态的“正常”，用0表示状态“失效”， Ω= {(0,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，(0,1,1), (1,0,0)，(1, 0,1)，(1,1,0)，(1,1,1)}. 拓展探究2　如右图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”. 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法 (1)列举法：适用于样本点个数不多 (2)列表法：适用于试验中包含两个元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法. (3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举. 【练习】写出下列试验的样本空间： 随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； 设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4，Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}. 15 【思考3】在体育彩票摇号试验中（ 0，1，2，...，9 ）： （1）摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？ （2）摇出“球的号码为3的倍数”是否是随机事件？ （3）如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？ 一般地，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。 随机事件一般用大写字母A，B，C，...表示。在每次试验中，当且仅当A中的某个样本点出现时，称事件A发生。 【思考】样本空间的所有子集都是随机事件吗？ Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件． 必然事件与不可能事件不具有随机性． 为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形． 这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集． 而空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件． 一次梅累和赌友掷硬币，各押赌注32个金币，双方约定先胜三局者为胜，取得全部的64个金币。赌博进行了一段时间，梅累已经赢了两局，赌友已经赢了一局。这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了。 【问题】两个人应该怎么分这64个金币才算合理呢？ $$