专题01 三角形的初步认识（重点+难点）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

专题01 三角形的初步认识（重点+难点） 一、单选题 1．有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是(    ) A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．在下列图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（      ） A． B． C． D． 3．用一副直角三角板拼出如图所示的图形，则图中的度数为（     ）    A． B． C． D． 4．下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 6．直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明的依据是（    ）    A． B． C． D． 7．三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的(　　) A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线交点 C．三条高线的交点 D．不能确定 8．如图，已知，再添加一个条件，仍然无法使的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，是中的平分线，，交于点E，，交于点F，若，则的面积是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个三角形的两边长分别为2和14，第三边长为偶数，则第三边长为 ． 12．将命题“两直线平行、同旁内角互补”，改写成“如果…，那么…”的形式为 13．如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝ °． 14．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝20°，则∠BAC的度数为 ． 15．如图，已知AD是的中线，BE是的中线，若的面积为18，则的面积为 ． 16．如图，已知，的延长线过点E且交点F，，，，则 . 三、解答题 17．如图，在中，，，、分别是的角平分线和高线，求、的度数． 18．如图，已知． (1)尺规作出角平分线； (2)尺规作中线； (3)作边的高线． 19．如图，点B、E、C、F在同一直线上，且， (1)； (2)； (3). 20．如图，在中，于点D，点E为边上一点． (1)若平分，，，求的度数． (2)在（1）条件下，直接写出______． 21．已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 22．如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 23．已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 24．学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知，连结，交于点E，若E为中点，则有．请利用以上方法解决下列问题． 问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线，并在直线上依次取C点和D点，使得，，补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，请加以证明． 问题2：【深入思考】如图3，在中，D是的中点，，，，试判断线段与的数量关系并证明． 问题3：如图4，在中，，D为中点，连结，作交于点E．已知，，则的长______． 一、单选题 1．△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）      A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 3．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 4．如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 5．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．如图，在等腰直角中，，点是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ． 7．如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝ ．    8．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则 ． 三、解答题 9．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      10．如图，等腰中，，，，点为射线上一动点，连接，作且．    (1)如图，过点作交于点，求证：； (2)如图，在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则________． 11．已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的初步认识（重点+难点） 一、单选题 1．有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是(   ) A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析． 【解析】解：A、3+6＜10，不能组成三角形； B、4+6=10，不能组成三角形； C、1+1＜3，不能组成三角形； D、4+6＞9，9-6＜4，能组成三角形； 故选D. 【点睛】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 2．在下列图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义逐项作出判断即可． 【解析】A、画出的是△ABC的边AB上的高，故不合题意； B、画出的不是△ABC任一边上的高，故不合题意； C、画出的△ABC的边BC上的高，故符合题意； D、画出的是△ABC的边AC上的高，故不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了画三角形的边上的高，理解三角形的高的含义是正确画出高的前提． 3．用一副直角三角板拼出如图所示的图形，则图中的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，由题意知，，，，则，根据，计算求解即可． 【解析】解：如图，    由题意知，，，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 4．下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查说明一个命题是假命题．比较简单，只需要条件符合，结论不符即可． 说明是假命题只要举出两个锐角的和不是钝角即可． 【解析】解：A．，则，能说明； B．，则，不能说明； C． ，不是锐角，不可以说明； D．，不是锐角，不能说明； 故选：A． 5．如图，，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用全等三角形的性质可得，再解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 6．直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用可证得，那么． 【解析】解：由作图知， ∴， ∴，所以利用的条件为， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 7．三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的(　　) A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线交点 C．三条高线的交点 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【解析】解：∵三角形内的点到三角形各边的距离都相等 ∴该点在各内角的角平分线上 ∴三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的三个内角的角平分线交点 故选B． 【点睛】此题考查的是角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解决此题的关键． 8．如图，已知，再添加一个条件，仍然无法使的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全等三角形的判定方法，即可得出答案． 【解析】解：∵，， ∴若添加条件，无法判定； 若添加，则； 若添加，则； 若添加，则； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；判定三角形全等的一般方法有：，，，，，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 9．如图，是中的平分线，，交于点E，，交于点F，若，则的面积是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【解析】解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 10．如图，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，需满足的条件是，由与不一定相等，可推导出与不一定相等，则与不一定全等，可判断错误；作交的延长线于点，则，可证明，则，再证明，得，可判断正确；由，可知需满足的条件是，与已知条件不符，可判断错误；由，得，则，可判断错误． 【解析】解：连接、， ，， 需满足的条件是， 与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定全等， 与不一定相等，故A错误； 作交的延长线于点，则， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故B正确； ， 需满足的条件是， 显然与已知条件不符， 不一定等于，故C错误； ，且，， ， ，故D错误， 故选：B． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、同角的补角相等、三角形的三边关系等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题 11．一个三角形的两边长分别为2和14，第三边长为偶数，则第三边长为 ． 【答案】14 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；又知道第三边长为偶数，就可以知道第三边的长度． 【解析】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系，得 ， 即． 又∵第三边长是偶数，则， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．同时注意第三边长为偶数这一条件． 12．将命题“两直线平行、同旁内角互补”，改写成“如果…，那么…”的形式为 【答案】如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 【分析】本题考查了一个命题写成“如果…那么…”的形式，根据命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设和结论进行分析解答即可． 【解析】把命题“两直线平行，同旁内角互补”改写成“如果那么”的形式为：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补． 故答案为：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补． 13．如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝ °． 【答案】75 【分析】利用全等三角形的性质可得∠C=∠B=22°，再利用三角形内角与外角的关系可得答案． 【解析】解：∵△ABD≌△ACE， ∴∠C=∠B=22°， ∵∠A=53°， ∴∠BEC=∠A+∠C=22°+53°=75°， 故答案为：75． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 14．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝20°，则∠BAC的度数为 ． 【答案】80°或120° 【分析】分两种情况作出图形，然后根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解析】解：由题意得，直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴BD=CD， ∴∠BCD=∠B=40°， 如图1， ∵∠ACD=20°， ∴∠ACB=40°+20°=60°， ∴∠BAC=180°-60°-40°=80°； 如图2， ∵∠ACD=20°， ∴∠ACB=40°-20°=20°， ∴∠BAC=180°-20°-40°=120°， 综上所述，∠BAC的度数为80°或120°， 故答案为：80°或120°． 【点睛】此题主要考查了作图-基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠ACB的度数是解题的关键． 15．如图，已知AD是的中线，BE是的中线，若的面积为18，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据三角形中线的性质可得的面积=的面积，的面积=的面积，据此即可求解. 【解析】解：∵AD是的中线，BE是的中线，若的面积为18， ∴的面积=的面积=9， 的面积=的面积=， 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，属于常考题型，熟知三角形的一条中线把三角形的面积分为相等的两部分是关键. 16．如图，已知，的延长线过点E且交点F，，，，则 . 【答案】35°. 【分析】由△ABC≌△ADE可得∠B=∠D=50°，再在△ACF和△DEF中应用三角形的内角和定理求解即可. 【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=50°， ∵∠ACB=105°，∴∠ACE=75°， 在△ACF和△DEF中，∵∠ACE+∠CAF+∠AFC=∠D+∠DEF+∠DFE，∠AFC=∠DFE， ∴75°+10°=50°+∠DEF， ∴∠DEF=35°. 故答案为35°. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，难度不大，属于基础题型，掌握相关性质和定理是关键. 三、解答题 17．如图，在中，，，、分别是的角平分线和高线，求、的度数． 【答案】，． 【分析】根据、分别是的角平分线和高线，推出，的度数，进而求出的度数；利用三角形外角性质，求出的度数． 【解析】∵、分别是的角平分线和高线 ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义、对顶角相等的知识，解题的关键是熟知三角形内角和是180°． 18．如图，已知． (1)尺规作出角平分线； (2)尺规作中线； (3)作边的高线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可． （2）作线段的垂直平分线可得的中点D，连接即可． （3）根据高线的作图步骤作图即可． 【解析】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查尺规作图-复杂作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握角平分线、中线和高线的作图步骤是解答本题的关键． 19．如图，点B、E、C、F在同一直线上，且， (1)； (2)； (3). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用线段的和差定义证明即可； （2）根据三边对应相等两三角形全等即可判定； （3）根据全等三角形的性质得到，即可证明． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 即； （2）证明：在和中，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，在中，于点D，点E为边上一点． (1)若平分，，，求的度数． (2)在（1）条件下，直接写出______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）先求出的度数，即可求出的度数，于是得出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数； （2）在中根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【解析】（1）解：∵， ∴在中，， 又， ， 又平分， ， ∴在中，， （2）解：由（1）知， ， 故答案为：． 21．已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 22．如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质； （1）由，得到，而，即可得到的长； （2）由，得到，由三角形外角的性质得到，进而即可求解． 【解析】（1）解：解： ， ∴. （2）解： ， . 23．已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）①根据已知条件得到，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形性质得到即可得到结论； （2）根据角的和差得到，根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论． 【解析】（1）解：①证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）猜想：， 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ 24．学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知，连结，交于点E，若E为中点，则有．请利用以上方法解决下列问题． 问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线，并在直线上依次取C点和D点，使得，，补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，请加以证明． 问题2：【深入思考】如图3，在中，D是的中点，，，，试判断线段与的数量关系并证明． 问题3：如图4，在中，，D为中点，连结，作交于点E．已知，，则的长______． 【答案】问题1：①图见详解，，见解析；问题2：，见解析；问题3： 【分析】问题1：根据题意补充图形即可，过点作交延长线于，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 问题2：延长到，使得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； 问题3：如图4，延长到使，根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解析】解：问题1①如下图补充： ②； ③证明：过点作交延长线于， ，， ， ， 又，， ， ； 问题2：，理由如下： 延长到，使得， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 问题3：如图4，延长到使， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 一、单选题 1．△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【解析】∵平分∠ABC，平分∠ACD， ∴＝∠ABC，＝∠ACD， ∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A， 同理可得＝＝∠A， ∴＝∠A， ∵， ∴＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 2．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）      A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据可得出 , 利用判定,从而得出.则,即； 再利用判定 , 得出又因为所以 连接.因为是等腰直角三角形, 即.又因为,那么垂直平分.即.在中, 是斜边, 是直角边, 所以.即. 【解析】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，故①正确； 在和中， ∵,, 且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 在和中 ∵平分， ∴， 又∵,， ∴， ， 又由,知， ∴，故③正确； 连接，    ∵是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴垂直平分， ∴， 在中， ∵是斜边，是直角边， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③． 故选：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有:.在复杂的图形中有的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点. 3．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 4．如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据已知条件无法判定与相等，进而可对结论进行判断； 先根据角平分线的定义得，进而得，，，据此可对结论进行判断； 先证和全等得，然后根据平角的定义得，据此可对结论进行判断； 根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断． 此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式． 【解析】根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ， 结论正确； 由结论正确得：， 平分， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 结论正确； 为的高， ，， 根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故选：B． 5．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解． 【解析】解：①， ，即， 在和中， ， ， ，故①选项符合题意； ，故④选项符合题意； ②， ， ， ， 平分， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， 故②选项符合题意； 根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理．证明是解题的关键． 二、填空题 6．如图，在等腰直角中，，点是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ． 【答案】1 【解析】连接CO，如图所示： ∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点， ∴CO=AO，∠A=∠OCB=45°，且∠AOC=90°， ∵∠DOE=90°， ∴∠AOD+∠DOC=∠DOC+∠COE=90°， ∴∠AOD=∠COE， 在△ADO和△COE中 ∴△ADO≌△COE（ASA）， ∴AD=CE， ∴CD+CE=CD+AD=AC=1， 故答案是：1． 7．如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝ ．    【答案】2.5 【分析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，先分别证明，，由此可得，，再结合可得，由此可得，进而即可求得答案． 【解析】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，    ∵EF⊥AB，AH⊥BC， ∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°， ∵AEBC， ∴∠EAF＝∠B， 在与中， ∴， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵BH＝1， ∴CH＝1.5， ∴BC＝BH＋CH＝2.5， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 8．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则 ． 【答案】52° 【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A． 【解析】解：、分别平分、， ，， ，， 即，， ， 、分别平分、， ，， ， ， ∴， ∴， 、分别平分、， ，， ∴， ， 故答案为：52°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题 9．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【解析】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 10．如图，等腰中，，，，点为射线上一动点，连接，作且．    (1)如图，过点作交于点，求证：； (2)如图，在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则________． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，即可根据证明； （2）证明，得出，根据，得出，根据，，即可证明结论； （3）作，交的延长线于一点，由（1）（2）可知，，，根据全等三角形的性质计算即可． 【解析】（1）证明：， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ． （2）证明：， ∴ 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴ 点为的中点； （3）解：如图，作，交的延长线于一点，    由（1）知， ，设，， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线的定义，余角的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 11．已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求解； （2）过点A作于H，过点C作交的延长线于T，通过得到AF=CD，再通过即可求解； （3）过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，利用全等三角形的性质证明，即可解决． 【解析】（1）解：∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点A作于H，过点C作交的延长线于T， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得， 连接． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$