专题25 空间向量与立体几何73分练-2024年高考数学小题必刷卷

专题二十五 空间向量与立体几何 73分练 (时间:60分钟 分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 寇 要求的. 1.(2024·全国高三对口高考)如图所示,在平行六 4.(2024·全国高三专题练习) 面体ABCD-A. B CD 中,M为AC 与B D 如图,在四面体O一ABC中, 的交点,若AB-a.AD-b,AA -c.则BM G是△ABC的重心,G是 ) 。_ OG. 上的一点,且OG-2GG. B 若OG-xOA+yOB+:OC,则(x,y,)为 C D #.()# B.(#() B1 C.(.)# ---C D.(##)# 5.(2024·全国高三专题练习)若空间中任意四点 起 O.A.B.P满足OP-mOA+nOB,其中m+n-1. 则 ( ) D.一 A.PEAB 2.(2024·高三课时练习)如图.空间四边形OABC B.PAB “我 中,OA-a,OB-b.OC-c.点M在OA上,且满 C.点P可能在直线AB上 足OM-2MA,点N为BC的中点,则MN- D.以上都不对 __ 6.(2024·黑龙江模拟预测)如 图,四楼锥P一ABCD中,底 面ABCD为正方形,△PAD 班 .-C 是正三角形,AB三2,平面 N #特 PAD 平面ABCD,则PC与BD所成角的余弦 值为 _ 3.在三校锥P一ABC中,点O为△ABC的重心 7.(2024·江西模拟预测)在空间直角坐标系中,已 点D,E,F分别为侧校PA,PB,PC的中点,若 知A(a,2a,6),B(0,0,1),C(1,1,2),D(-1,0 a-AF,b-CE.c-BD,则OP ) r 3).E(a2},0.5).则当点A到平面BCD的距离最 37 小时,直线AE与平面BCD所成角的正弦值为 11.(2024·黑龙江齐齐哈尔·期末)设Ox.Oy.0 ~ 是空间中两两夹角均为o(oe(o,])的三条 T# B.T4 -7 数轴,e,e,e分别是与x,y,:轴正方向同向 C. 的单位向量,若OP-xe+ye+xe3 (x,y,zER),则把有序数对(x,y,)。叫作向 8.(2024·江西校联考模拟)在四校锥P一ABCD 量OP在坐标系Oxyz中的坐标,则下列结论正 中,校长为2的侧梭PD垂直底面边长为2的正 确的是 ) 方形ABCD,M为楼PD的中点,过直线BM的 A. 若向量a=(-1,3,-7)。,向量b= 平面。分别与侧校PA、PC相交于点E、F,当 (3,-2,4),则a+b-(2,1,3) ( PE-PF时,截面MEBF的面积为 ~ B. 若向量a=(2,6,-3),向量b= A.2② B.2 (3,-1,0):,则a·b-0 C.33 D.3 C.若向量a=(x,y,0).向量b-(1,2,0),则 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 D.若向量OA-(1,0,0),向量OB-(0,1,0). 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的 向量OC-(o.0,1),则二面角OAB-C的 得0分. 余弦值为 9.(2024·全国高三专题练习)已知向量a三 (1,1,1),b-(-1,0,2),则下列正确的是( ) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 A.a十b-(0,1.3) B.a-③ 12.(2024·全国高三专题练习)在四面体OABC D.(a,b- C.a·b-2 中,点M,N分别为OA、BC的中点,若OG 1OA+xOB+yOC,且G、M、N三点共线,则 10.(2024·哈尔滨七十三中校考期考)如图,在平 行六面体ABCD一A.BCD.中,其中以顶点 r十y一 A为端点的三条校长均为6,且彼此夹角都是 13.(2024·全国高三专题练习)已知MN是校长 _ 60{,下列说法中不正确的是 ) 为2的正方体ABCD一A:BCD;内切球的一 D. 条直径,则AM.AN- 14.(2024·哈尔滨三中校考模拟预测)如图,平行 六面体ABCD一A.B.CD:中,AD=BD AA =1,AD |BD. A AB=45{*$ A AD 60{,则线段BD.的长为 A.AC.-66 D B.AC 1BD C.向量B.C与AA夹角是60” 12” D. 向量BD,与AC所成角的余弦值为 38因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面, $$ -A-A-^A-AM--^A-2$ 都与该直线垂直,所以B正确. 故选:ACD ##($AB+AC)#--p-(PB-^A+P-pA)= 12.答案:充分不必要条件 #-#-(PB-PA+P-PA)--PA-PB- 解析:因为mla,且alB,mB,所以m/B,反过来,m/ 时,包含m/a或是mCa或nOa一A,所以不一定垂直, 所以“n|a”是“m/B”的充分不必要条件。 故答案为:充分不必要条件. 选:D. 13.答案:10 4.D 因为E是BC中点,所以OE-(OB+O), 解析:因为AB是圆柱下底面圆O的 直径,所以BC AC, 又 BC ]AD,ACOAD-A.AC,ADC .D 平面ACD,所以BC|平面ACD. 所以AG#--##-0#) 设过A的母线与上底面的交点为E, 3 过C的母线与上底面的交点为F,连 因为OG-2GG, EF.CF.AC. 所0--#G-3(0+AG-#+4(o- 因为AE |平面ABC,BCC平面ABC,所以AE|BC. #-20A+4--0A+2(0+)--0A+ 因为AEOAC-A.AE,ACC平面ACE,所以BC1平 面ACE. #7B+#0. 所以点D在平面ACE内,又点D在圆柱的表面,所以 点D的轨迹是矩形AEFC, 故选:D. 所以矩形AEFC的面积为5X2=10. 5.A 因为m+n-1,所以n-1-n, 故点D的轨迹所围成图形的面积为10 所以OP-(1-nOA+OB,即O-OA-(OB-OA. 故答案为:10. 即AP-nAB,所以AP与AB共线. 14.答案:2 又AP,AB有公共起点A. 解析:因为PA 底面ABCD,ACC底面ABCD,所以 所以P,A,B三点在同一真线上,即PEAB. PAAC,设AB-1,则PA=1,AD=/3,AC 故选:A. PA 6.A 取AD的中点O,BC的中点E, 连接PO、OE: 故答案为:2. 因为△PAD是正三角形,所以PO1 专题二十五 空间向量与立体几何 73分练 AD,平面PAD1平面ABCD, 1.D 因为M为AC.与B.D的交点,所以BM-BA+ 平面PADO平面ABCD-AD.POC 平面PAD, #C. 所以PO平面ABCD. 如图建立空间直角坐标系,则P(0.0.,③),C(2,1,0). 故BM-B BM-A+BA+BC-- D(0.1.0),B(2,-1.0). 所以PC-(2.1.一③),DB-(2.-2.0). #1+A-△。 P.DB 所以cosPC,DB一 故选:D. $$.D# MN-N-#-#(oB+)-#-#a+# BD所成角的余弦值为-.故选:A. #.# 7.C 因为A(a,2a,6),B(0,0.1).C(1.1,2),D(-1.0,3). E(a,0,5). 故选:D. 可得DA-(a+1.2a,3),BC-(1,1,1),BD-(-1.0.2). 3.D 取BC中点为M, 设n一(x,y,)是平面BCD的法向量, a-AF-P-PA--PC-PA. n.BC-x+y+-0. 。 n.BB--+2x-0. b-C-P-PC-PB-P. 令x-2,可得y--3,z-1,所以n-(2,-3,1). 所以点A到平面BCD的距离 -BD-pD-PB-1p-PB (-#)#+## -[D.nl12a-6a+5| 三个式子相加可得a十b十c=一- 1#p+PP)#→ Inl 。14 14 p+pB+PC--2(a+b+c). 164 所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为 由数量积的定义得a·b-1×(-1)+1×0十1×2-1.C lA.n_- 错误。 AE||n10×14 显然b= (-1)+2-5,则cos a,b)= a.b 故选:C. a b 8.A 由题意,PD|乎面ABCD. ③×/5 四边形ABCD为正方形, 如图,建立空间直角坐标系D一 故选:AB. xyz.则C(0,2,0).P(0,0.2). 10.CD 因为在平行六面体 A(2,0.0),M(0.0.1),B(22.0). ABCD一A.BCD 中,其中 P-(2.0,-2). 以顶点A为端点的三条核长 M-(-2.-2,1). 均为6,且彼此夹角都是60{}, 设PE-:PA-(2t.0.-2t)0 <1,则E(2t,0.2-2). 所以AA.AB-AA.A- # PE-PF,PA-PC,所以PF-PC-(0.2t.-2). AD.AB-6X6Xcos60*-18. 对于A.(AA+AB+AD)-AA+AB+AD+ 则F(0,2t,2-2). 由题意,M、E、B、F四点共面,所以BM一-BE+yBF $AA·AB+2AB·AD+2AA·AD-36+36+36+3X (-2-(2t-2)x-2y. $$18-216,所以|AC -AA +AB+AD-216 66,A正确. 1-(2-2t)x+(2-2t)y. 对于B.AC ·DB=(AA+AB+AD).(AB-AD) 所以E(.o)F(o,,),所以B=# AA·AB-AA:AD+AB-AB:AD+AB:AD AD-0. (##- 2.)#-(- 2--,)# 所以AC1BD.即AC。1BD,B正确. #所以cos()## 对于C,连接A.D.由题意可知△AAD是等边三角形, 则AA.D-60{*, 2 因为BC-AD,且向量AD与AA的夫角是120{} 1' 所以向量BC与AA夫角是120”,C错误. 对于D,因为BD-AD+AA -AB,AC-AB+AD 所以sin EBF-1-cos EBF-62 所以BD ·AC-(AD+AA-AB)·(AB+AD) AD:AB+AD+AA·AB+AA:AD-AB AB.AD-36. ##M-(#o-)#M-(o,.-)). BD-(AD+AA-AB)=6V2.AC|= 所以cos (ME.)MM# M M (AB+AD)*-6、③. B·AC 所以cos(BD,AC)一 36 。 |BD|AC| 6v2×63 #D议# 故选:CD. 所以sin EMF-1-cos EMF122. 17~, $1.B $D 对于A,若向量a=(-1,3,-7).=-+3 -7e, 12### 向量b-(3,-2,4).-3e.-2e+4e. 17一 则a+b-2e +e-3e -(2,1,-3),故A错误; 对于B,若向量a-(2,6.-3),向量b-(3,-1,0)第·$$$ 所以截面MEBF的面积为S-Sm+S5= 4v② 士 此时在空间直角坐标系中a·b-2×3十6×(-1)- 3 #7.# 0,故B正确; 对于C,若向量a=(x,y,0)=xe +x,向量b (1.2,0).-e+2e。. 故选:A. 当x·y-1.2时,y-2x,则a-(x,y,0)-xe.+2xe 9.AB 向量a=(1,1,1),b-(-1,0,2),则a+b =x(e+xe。)=xb, (0.1,3),A正确. 此时a/b,显然o-吾不成立,故C错误; 显然a= 1+1+1}-3,B正确。 165 对于D,若向量OA-(1,0,0),向量OB-(0.1.0)· 所以AM·A=(AO+OM).(AO+O)=A+ A.(OM+O)+OMO-3+0-1=2. 向量OC-(0.0.1). 故答案为:2. 则三校锥O一ABC是校长为1的正四面体,如图所示, D 取AB中点H,连接OH,HC, B 14.答案:1 解析:由题可得,AD-BD=1,AD|BD. 所以AB-1十T-2,且/DAB=45*, 因为BD -BA+AA +AD--AB+AA+AD 所以BD=(-AB+AA+AD)-AB{+AA* 在等边△OAB,△ABC中,易知OH1AB,HC|AB. AD-2AB:AA-2AB:AD+2AA·AD ABAA +AD-2 AB AAcos45* 则 OHC即为二面角O一AB一C的平面角, 2|AB|·|ADlcos 45*+2|AA1· AD|cos 60*= 在△OHC中,由余弦定理得,cosOHC= 2+1+1-2-2+1-1. 所以BD-1. 2×}# 2OH·HC ③ 故答案为:1. 专题二十六 直线的方程及两条 所以二面角O-AB-C的余弦值为,故D正确。 直线的位置关系 73分练 故选:BD 1.A 设直线l,l.,l。的倾斜角分别为a,a,, 12.答案。 则由图知0{<a<a:<90{}<a<180*, 所以tana<o,tanatana0. 解析:若G、M、N三点共线,则存 即<0,k>k>0. 在实数x,使得OG-xOM+ 故选:A. (1-)ON,又点M,N分别为 2.B rsingy-1-0,明-in[-. OA、BC的中点,则OM-, 设直线(的倾斜角为θ(0<o<),故k=tan。 ON-OB+O,则OG- ##一##,# ##}# (1)(1)#,则{--解得= 2 当[-)#)时直线的斜角[). 2 1_ 综上所述:直线1的倾斜角[0,]U[,). 二 故选:B. 3.A 由题意. 直线x+ay-3-0与直线(a十1)x+2y-6-0平行, 13.答案:2 所以由1×2=a(a+1),得a=-2或a=1. 解析:因为正方体ABCD-A.B.CD.的校长为2,所以 当=-2时,l;-2-3-0l:-x+2-6-0.l/l 1x2=1. 其内切球的半径,一 当a=1时,l:x+y-3-0,l.:r+y-3-0,l.与l.重合. 故选:A. 又球心一定在该正方体的体对角线的中点处,且体对 角线长为 2+2+2-23. 又因为y'-2a.e{*, 所以设该正方体的内切球的球心为O.则AO一③,OM- 所以y1_。-2a-- ON-1. 易知AM-AO+OM.A-AO+O. 故选:A. 166