专题21 简单几何体的表面积与体积73练-2024年高考数学小题必刷卷

专题二十一 简单几何体的表面积与体积 1 73分练 (时间:60分钟分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.(2024·新课标I卷)已知园柱和圆锥的底面半 径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥 ) 的体积为 A.380m{} ( B.400m2 B.33π C.450m2 A.23 D. 480m{} C.6③π D.9③n 5.(2024·北京校考模拟预测)在2023年3月12 2.(2024·河南郑州模拟预测)在 日马来西亚吉降坡举行的YongJunKLSpeed 一个正六校柱中挖去一个圆柱 cubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才 后,剩余部分几何体如图所示 王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平 已知正六校柱的底面正六边形 均用时最短”吉尼斯世界纪录称号,如图,一个三 边长为3cm,高为4cm,内孔半径为1cm,则此 阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间 cm2. 一层转动了45{之后,表面积增加了 ) 几何体的表面积是 ) B.72+273+8 C.72+273+6 短 D.60+27/3+6 3.为了给热爱朗读的师生提供一 个安静独立的环境,某学校修建 了若于“朗读亭”,如图所示,该 A.54 B.54-36② 朗读亭的外形是一个正六校柱 C.108-722 D.81-722 和正六校锥的组合体,正六校柱 “我 6.在马致远的《汉宫秋》契 两条相对侧梭所在的轴截面为 子中写道:“毡帐秋风迷 正方形,若正六校锥的高与底面 宿草,弯庐夜月听悲筋,” 边长的比为2:3,则正六校锥与正六校柱的侧 毡帐是古代北方游牧民 面积的比值为 C ) 族以为居室、毡制帷。 如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合 体,圆锥的高为4,侧面积为15x,圆柱的侧面积 班 为18x,则该毡帐的体积为 ( ## ) A.39元 B.18r 4.(2024·河北模拟预测)《九章算术》是我国古代 C.38t D.45t 的数学名著,其“商功”中记载:“正四面形梭台 7.(2024·内蒙古呼和浩特统考一模)盲盒是一种 (即正四校台)建筑物为方亭.”现有如图所示的 深受大众喜爱的玩具,某盲盒生产厂商要为梭长 烽火台,其主体部分为一方亭,将它的主体部分 6cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装 抽象成ABCD一A.B.C.D. 的正四梭台(如图所 盒,需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动, 示),其中上底面与下底面的面积之比为1;16; 1 则包装盒的校长最短为 ) 方亭的高为梭台上底面边长的3倍,已知方亭的 #3## cm B3# ) 体积为567m},则该方亭的表面积约为(\5~2.2. cm ) ( C.26cm ③~1.7.2~14) D.3v6cm 29 8.(2024·云南曲蜻统考模拟)如图 A.沙漏的侧面积是9v5xcm②} 在水平地面上的圆锥形物体的母 n B.沙漏中的细沙体积为 线长为12,底面圆的半径等干4, 只小虫从圆锥的底面圆上的点P C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约 出发,绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处,则小 为2.4cm 虫爬行的最短路程为 ) ( D.该沙漏的一个沙时大约是837秒(x~3.14) A.12/③ B.16 11.(2024·全国·模拟预测)《九章算术》中,将底 D.24③ C.24 面为长方形且有一条侧校与底面垂直的四校锥 称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体 二、选择题;本题共3小题,每小题6分,共18分. 称为鳖,如图,在阳马P一ABCD中,侧楼PD 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 1底面ABCD,PA-2.PB-6,PC=5,则 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的 ( 下列结论正确的有 得0分: ) 9.(2024·湖北黄冈校考模拟)如图,一个圆柱和一 个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直 C 径2R相等,下列结论正确的是 ) A.四面体P一ACD是鳖 C.阳马P一ABCD的外接球表面积为3 A.圆柱的侧面积为2xR B.圆锥的侧面积为2-R D.D到平面PAC的距离为 C.圆柱的侧面积与球面面积相等 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2 12.若正△ABC用斜二测画法画出的水平放置图 10.(2024·河北保定统考一模)沙漏,据《隋志》记 形的直观图为△ABC',当△ABC的面积为 载:“漏刻之制,盖始于黄帝”,它是古代的一种 ③时,△ABC的面积为 计时装置,由两个形状完全相同的容器和一个 13.(2024·河北统考模拟预测)已知正四校台ABCD 狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部 一A B C D 中.AB=3A B =3,AA =6.则 容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器 其体积为 所需要的时间称为该沙漏的一个沙时,如图,某 14.(2024·宁夏银川模拟预测)如图(1)为陀蝶实 沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和 物体,图(2)为陀蝶的直观图,已知O,0。分别 高均为6cm,细沙全部在上部时,其高度为圆 为圆柱两个底面圆心,设一个陀蝶的外接球(圆 柱上、下底面圆周与圆锥顶点均在球面上)的半 每秒钟漏下0.02cm{}的沙,且细沙全部漏入下 径为2,球心为0,点S为圆锥顶点,若圆锥与圆柱 部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙 的体积比为1:6,则圆杜的体积为 ( 堆,以下结论正确的是 ) 2{ 图(1) 图(2) 3014.答案：w2-1 设直角边x,则斜边为√/2x,则有2x十 解析：设之=x十yi,(x,y∈R), 2+w2-2 由x=2,得(x十yi)(x-yi)=2 V2=3,得到x=3 3由儿行关 则x2+y=2, 系得阴影部分的面积为S= 复数g的轨证是以原点为圆心， 2为半径的圆，如图， 21 根据复数模的几何意义可知，：十川的几何意义是圆 上的点到(0，一1)的距离， 所以增加的面积为S=16S,=16(2平-9）=108 如图可知，+i的最小值是点A(0,一√2)与(0，一1)的 722. 距离2-1. 故选：C 专题二十一简单几何体的表 6.A设圆柱的底面半径为r,高为h,回锥的母线长为1， 面积与体积73分练 因为圆锥的侧面积为15π，所以rl=15r,即rl=15. 因为=r2十4，所以联立解得r=3(负舍). 1,B设圆柱和圆维的底面半径均为r,因为它们的高均为 因为圆柱的侧面积为18π，所以2πrh=18π，即2x×3h= 3,且侧面积相等，所以2r×￥3=πr(5)2+r,得r2 18π，解得h=3, =9.所以圆维的体款V=子×v3=3v5元 所以孩愁帐的体款为了矿X4十矿M=39 故选B 故选：八 2.C所求几何体的侧面积为3×4X6=72(©m2),上下底 7.D如图A一BCD是棱长为6cm 面西软为（号×3×号×6-）×2=(275-2)(m)· 的正四面体， 由题意，AD=BD=DC=6cm,设 挖去圆柱的侧面积为2xX4=8π(cm), BC的中，点为M,底面△BCD的重 G 则所求几何体的表面积为(72+27√+6π)(cm). 心为G,O为外接球的球心， 故选：C. 3.B设正六边形的边长为a,由题意正六棱柱的高为2a, 则有AG1底面BCD.MD-号DC=-3,3. 因为正六棱锥的高与底面边长的比为2：3，所以正六棱 cG=DG=号MD=23, 单的高为号，正六棱锥的#线长为。 30, OA=OC=R,R是外接球半径， 正六提维的侧面软5=6x侣。-0=。 在R1△AGD中，GA=√AD-DG=26. 在Rt△OGC中，OG=√C-GC=/R-12,OG+OA= 正六棱柱的侧面积S2=6·a·2a=12a2, GA,所以、R-12+R=25,解得R=3y 2 2(cm), 24· 即正方体的最短棱长为2R=3,6(cm). 故选：B. 故选：D. 4.C设方亭相应的正四棱台的上底面边长A,B=a,则 8.A如图，设圆锥侧面展开扇形的圆 AB=4a,棱台的高h=3a, 心角为0， 所以V=号×3a(a+1d2+后X1)=67,解得a=3. 则由题可得2π×4=120，剥0=2= 所以正四棱台的上底面边长为3m,下底面边长为12m, 在R1△POP中，OP=OP'=12, 棱台的高为9m, 则小虫爬行的最短路程为 所以方亭的斜高为 (2a-号）+(3a)-3 2 PpV12+12-2x12×12×(-2)-12a. 由于各侧面均为相等的等腰稀形， 故选：A 所以Su,4= a+4a2×35a-l55a 9.CD因为圆柱和圆维的底面直径和它们的高都与一个 2 2 球的直径2R相等， 所以方亭的表面积s=4+16a+4×155a-=17a+ 则圆柱的侧面积为2πR·2R=4πR,A错误. 155a'≈450m2. 圆维的母线长1=√R十(2R)=√5R,侧面积为xR1= 故选：C V5πR,B错误. 5.C如图，转动了45°后，此时魔方相对原来魔方多出了 球的表面积为4πR,所以圆柱的侧面积与球面面积相 16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三 等，C正确. 角形， 因为V=πR·2R=2xR, 156 V=成·2R=号R=R 对于D,设D到平面PAC的距离为h, 由AC=5,PA=√2，PC=5 所以VaVg1V=2R:号水：音R=312, 可得△PAC的面积为2×v2×(5)'-( D正确. 故选：CD 10.BDA选项，设下面圆锥的母线长为1，则1=/3十6= 由等体积法Vrn=V。r, 3√5cm, 可得号××1×21=号×号× 故下面圆锥的侧面积为S=rl=3×3/5x=9、5xcm,故 沙福的侧面积为2S=18√5πcm°，故A错误. 解得A=号，此D正痛： B选项，因为细沙全部在上部时，高度为圈雏高度的了 2 故选：BD, 12.答案：2、6 所以每沙衫成的司维底面丰径为号×3=26m, 解析：△A'B'C‘是正△ABC的斜二测画法的水平放置 高为6X号=4m 图彩的直观图，如图所示， y 故底面积为x·2=,所以沙满中的细沙体积为了× A 4xX4=16cm,B正确。 3 C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此维形沙堆 的体积为Qm,其中克维体的底面教为·了=如，故 设B'C'=a, 3X 16x 剩△ABC'的面积为号·a0A'·sin45=3, 高度为 义3_16≈1.8cm,C错误. 9 所以0A'-26 D选项，1g÷0,02%15≈87秒，故该沙满的- 所以△ABC的面积为S= 2a·0A=1 4·2·0A'= 个沙时大约是837秒，D正确. 故选：BD a.2yE=26. 11.BD DA=x,DC=y,DP=s, 故答案为：2、6 由侧棱PD⊥底面ABCD,PA=√2，PB=6,PC=√5， x2+x2=2 x=1 18答案号 可得y十2=5 ,解得y=2 解析：如图正四棱台ABCD一A,B,C,D,中AB= x2+y2+x2=6 x=1 3AB,=3, 即DA=1,DC=2,DP=1. 则AC=/3+3=3/2,AC=√/T+下=2，过点 对于A,由AC=5,PA=2,PC=v5可得△PAC不是 A,作AE⊥AC交AC于点E, 直角三角形，故A错误： 过点C,作C,F⊥AC交AC于点F, 对于B.Vm-号X1X2X1-号，故B正确： 则AE=CF= AC-A C=. 2 对于C,将阳马P-ABCD补形为长为2，宽为1，高为1 又AA,=6,所以AE=AA-AE=2, 的长方体， 即正四棱台ABCD-AB,C,D,的高h=2, 可知其外接球直径为PB, D 故阳马P-ABCD的外接球半径r=, 2 表面积S=4πr2=6r,故C错误： D R 所以棱台的体积V=号(S+S+V图)h=号1+子+ --B VX3)x2-9 故答案为：3 26 157 14.答案：6π 所以MP∥QN, 解析：如图，过S,O1,O2作几 所以∠MPx=∠NQx, 何体的藏面，戴面为五边形 0 又a∥B,l⊥a,所以1⊥3，所以∠xMP=∠xNQ=90°. ABCSD. 因为x为PQ的中点，所以，xP=xQ,所以△MP2△xNQ, 其中四边形ABCD为矩形， 所以xM一xN,即x在到平面a3的距离相等的平面上. △SCD为等腰三角形， 故选：D. SC=SD. 5.B固为CG=2GD,AH=2HD,且 设圆柱底面半径为r,国锥与圈柱的高分别为h1,h ∠ADC=∠HDG. 由题意知球心O为矩形ABCD的中心，即为线段O,O 所以△ADC∽△HDG, 的中点， 因为圃锥与国柱的体积比为1：6， 所以HG/AC且HG=号AC 所以（号w×h):(xr2Xh:)=1:6 因为E,F分别为AB,BC的中点， 整理得hz=2h1 所以EF∥AC且EF=号AC. 因为陀螺的外接球的丰径为2，所以：十h,=S90=2, 所以HG∥EF且HG≠EF,故四边形EFGH为梯形，且 EH,FG是梯形的两腰， 整理得h,=1, 所以EH,FG交于一点，设交点为P,则P∈EH,P∈FG, 所以A:=2.00=24:=1 又因为EHC平面ABD,且P∈平面BCD, 所以P∈平面ABD,且P∈平面BCD 在Rt△O,OD中，r-O,D=√/2-1严-3， 又平面ABD∩平面BCD=BD, 所以圆柱的体积为πr2h2=6π. 所以P∈BD, 故答聚为：6元. 所以点P是直线EH,BD,FG的公共点， 专题二十二空间点、直线、平面的 故直线EH、FG、BD相交于一点. 故选：B. 位置关系73分练 6.C取AD中点H,连接EH,A,D. 刀 1,C1与11,2可以都相交，可能和其中一条平行，和其中 因为AD中点为H,E是侧棱AA,A 一条相交，如图 的中点， 所以EH∥A,D,EH=A,D, 又在直角三角形AAD中A,D= 1A,A+AD=16+16=42, 所以EH=AD=2v2. 所以1至少与11，l2中的一条相交. 因为正方体ABCD-AB,CD,中，AB,∥DC,AB=DC, 故选：C, 所以四边形ABCD为平行四边形， 2.D若b∥a,cCa,则b∥c或b与c异面，故A错误. 若bCa,b∥c,则cCa或c∥a,故B错误. 所以A,D∥B,C,A,D=B,C=42. 若c∥aa⊥3，则c二B或c∥B或c与B相交，相交也不一 所以EH∥B,C, 定垂直，故C错误。 所以E,H,C,B,四点共面，即为正方体的藏面， 若c∥a,过c的平面与a相交，设交线为a,则c∥a,又 在直角三角形EA,B,中EB,=√EA+AB=A4+16= c⊥B,则a⊥3，而aCa,则a⊥3，故D正确. 25. 故选：D. 同理HC-2√5，则戴面周长为EB,+B,C十HC+EH= 3.B如图，因为EFC平面ABC,HG□ 45+62. 平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平 故选：C 面ABC,P∈平面ACD. 7.BP在边AC上运动，则BPC平面ABC1, 又平面ABC∩平面ACD=AC, 当P运动到A,C的中点P1时，BP与DD,相交，A选 所以P∈AC. 项错误. 故选：B. 4.D过点x作直线La,记l∩a AC∥AC1,A,C,C,A四点共面， M,l∩B=N,l与PQ所确定的 BP∩平面ACC,A,=P,P任AC,所以BP与AC是异面 直线，B选项正确 平面为y 因为a∥B,a∩Y=MP, 当P运动到，点C1时，BP∥AD,BP与B,C相交，所以 CD选项错误， 3∩y=QN, 故选：B 158