专题19～20 平面向量的应用73分练 复数的概念与运算73分练-2024年高考数学小题必刷卷

专题十九 平面向量的应用 73分练 (时间:60分钟 分值:73分) 一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分 8.(2024·新疆阿克苏高三校考)在△ABC中,若 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 b. cosC 1-cos 2B ,则△ABC的形状为( _ 要求的. c·cos B1-cos 2C' 1.(2024·北京统考)在△ABC中,(a十c)(sinA一 A.等腰三角形 sinC)-b(sinA-sinB),则 C= ( - C.2 B.直角三角形 A. B. C.等腰直角三角形 2.(2024·广西模拟预测)在△ABC中,若sinC D.等腰三角形或直角三角形 3sinA,b2-2ac,则cosB= ) ( 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. D.3 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的 3.根据下列条件,判断三角形解的情况,下列结论 得0分. 中正确的是 . ) ①a-8,b-16,A-30*,有一个解; 9.(2024·江苏南京模拟预测)在△ABC中,内角 ②-18,c-20,B=60{,有两个解; A.B,C的对边分别为a,b,c,若(a^{②}+c2-b)tanB$$ 一3ac,则B的值为 ③a-5,c-2,A-90*,无解; ( # ) ④a=30,b-25,A-150{,有一解. A. B. A.①② B.②④ C.①②③ D.①②④ 10.(2024·山东聊城统考一模)在△ABC中,若 4.(2024·江西校联考模拟)设在△ABC中,角A、 A>B,则 ) B、C所对的边分别为a,b,c,若满足a-)3,b=m. A. sinAsin B B. cos A<cos B _~ C. sin 2A>sin 2B 的△ABC不唯一,则n的取值范围为 D. cos 2A<cos2B #.#6#) 11.(2024·江苏南通模拟预测)在△ABC中,内角 B.(0.③) A.B,C所对的边分别为a,b,c,则下列条件不 C.(1)# 能确定三角形有两解的是 ( D.(1,1) __ 5.(2024·贵州统考模拟预测)△ABC中,角A,B. C.a-5,b-4.A-5x C的对边分别是a,b,c,A-60{},a-3.若这个三 6 D.a-4.b-5.A-” ( 角形有两解,则的取值范围是 ~_ B.③b2 A.③<b2 三、填空题;本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、6 C.1<2③ D.1<<2 c.且2b·cosC-2a十c.若6-4,则△ABC的外 6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 接圆半径为 若C-π 13.(2024·陕西商洛模拟预测)在△ABC中,角 . 以为 ~ B+C A.2 B.4 C.6 D.8 A.B,C的对边分别为a,b,c,若csin 。 7.(2024·广西南宁模拟预测)在△ABC中,cosA 12. sinB-m,若角C有唯一解,则实数m的 12 圆的面积为 . ( 取值范围是 ) A.(1,1) 14.(2024·江西赣州模拟预测)已知△ABC的内 B.1 角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,已知 D.(0.](1) C.[11]U{153} △ABC的面积S满足(b十c)2-(43+8)S十 a2,则角A的值为 27 专题二十 复数的概念与运算 73分练 (时间:60分钟 分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 要求的. 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的 1.(2024·新课标II卷)已知;二-1-1,则~= 得0分。 ~ 9.(2024·黑龙江哈尔滨模拟预测)已知复数 C.2 A.0 B.1 D.2 a十bi(a,ER),其共辄复数为,则下列结果为 实数的是 ( ) A.2 B. 121 ) C.(z十1)(+1) ( D.(c-)·i2023 A.-1-1 B.-1+i 10.(2024·辽宁丹东统考模拟)在复平面内,0为 C.1-1 D.1十i 坐标原点,A为。一1十i对应的点,则 ) 3.(2024·山东淮坊模拟预测)设i为虚数单位,且 A.;的虚部为i B-1-i 5 C._- --1+2i,则1-ai的虚部为 ~ D.O-2 lai C.2i A.-2 B.2 D.-2i 11.(2024·全国高三专题练习)任何一个复数三 4.(2024·湖北黄冈校考模拟)已知a,bER,复数 a士bi(其中a、ER,i为虚数单位)都可以表示 -a+bi满足s(1+i)-(1-2i),则a+- 成:一r(cos0十isin0)的形式,通常称之为复 ( 数;的三角形式,法国数学家莫弗发现:。” A.-7 B.6- .-3# D.-4 [r(cos 0十isin e)]”=r”(cos n+isin nf) (nN{*).我们称这个结论为莫弗定理,根据 3用 ( 5.(2024·山东济宁统考模拟)若复数。一 以上信息,下列说法正确的是 ~ ) A.122一|22 纯虚数,则实数a一 ( B.当r-1,0-时,~3-1 C.6 D.-6 6.(2024·河北统考模拟预测)设复数:满足。(2一 i)=1十bi(6ER),若;为纯虚数.则。=( ) D.当r-1,o-吾时,若n为偶数,则复数z”为 A.-i B.i C.-5i D.5i 7.(2023·新课标II卷)在复平面内,(1十3i)(3-i) 纯虚数 ( 对应的点位于 ~ 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 A.第一象限 B.第二象限 12.(2024·山西太原校考一模)复平面内复数:满 C.第三象限 D.第四象限 足-2-1,则c-i的最小值为 8.(2024·江苏南通模拟预测)已知复数。三(1十i)· 13.(2024·山东校联考模拟预测)已知x.t:是方 (n一2i)在复平面内对应的点落在第一象限,则 程^{}+2x+3-0的两个根,则|x1-x2|的值 ( 实数n的取值范围为 为。 A.n>2 B.0<m~2 14.(2024·辽宁模拟预测)若复数:满足;三-2 C.-2<n2 D.m<-2 则:十i的最小值为 28对于D:ABC中AB(*)BC-BC(*)AB- 2.C 因为sinC-3sinA,由正弦定理可得c-3a,且b^{}-2ac, 所以-ccos B+asin B=-acos B+csin B-0. 由余弦定可得cos B-^+△+96^2 2r 6 所以(c-a)(sinB+cosB)=0,因为sinB+cosB+0 )7 所以c-a-0,即c-a,△ABC是等腰三角形,D正确. 故选:C. 故选:ABD. 12.答案: sin,解得sinB-1,所以B一,有唯一解,故①正确. 16 解析:因为E是CD的中点,所以AE-AC+CE-AC+ D-A+(AD-A)-(AD+A). 因为AB-3AD.所以AD-1AB. 20.,解得sinC-5③. 20 ,再由大边对大角可得CB,故 所以A-A+C,所以-# C可以是锐角也,可以是钝角,故三角形有2解,故②正确 _## 对于③:a-5.c=2.A-90”,则由正弦定理得5 sin 90{sinC' 2 解得sinC一,再由大边对大角,可得C为锐角,故三 角形有唯一解,故③不正确。 13.答案:-25 对于④;a-30.b-25.A-150°,由正弦定理得_3050-' 30 25 解析:由AB+BC+CA-0可得(AB+BC+CA)-0. 因为AB -3,|B|-4.C-5. 所以AB]+BC+CA+2(AB·BC+AB·AC+ BC.A)-0, 故④正确。 即9+16+25+2(AB·BC+BC.CA+CA·AB)-0 故选:D. 所以AB·BC+BC.C·AB--25. ,即_3-” 2sinA' 故答案为:一25. 14.答案:-4 解析:如图,MC交AB于点E,因为 ABC-120”,AB-BC 所以 MAE- BAC-30{,设AB-a,则AC-3a #且A#<inA<1.# 故选:A. ME--MC=MA+.MB 因为E,A,B三点共线,所以m+n-1. 可得b_sin_B_sn B_2sin B. ME--MC-mMA+MB sin/A 所以MC-4mMA+4nMB. ##### 要使八ABC有两解,即B有两解,则应有A B,且sinB 1 由题干可知xMA+yMB+-MC-0. 即MC---M-MB. -sinA<sinB<1. 所以4--,4n--, 所以③<62. 故选:B. 。2 所以y-4. 故答案为:一4. ##A<#,sinAe(,# 专题十九 平面向量的应用 73分练 因为该三角形有两个解,当sinA一1时只有一解, 1.B 因为(a十c)(sinA-sinC)-b(sinA一sinB). 所以3<a<6. 所以由正弦定理得(a十c)(a一c)一b(a一b). 即a^-?-ab-b, 则a+6--ab,故cosC-&+_1. 2ab 2ab 2 又0<C<n,所以C一. 故选:B. 故选:B. 153 7.D 在△ABC中,cosA= 解,则八ABC有唯一解 因为a→b,所以B<A-吾,故三角形△ABC有一解。 设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c. 12 12.,则A为一确定的锐角且 sinA-,所以 由cosA- 5 asinA5 因为b>a,所以B>A-,故三角形△ABC有两解。 6sin B13m' 如图以C为圆心,a为半径画园张,当圆张与边AB有1 个交点时满足条件, 因为A为钝角,所以B一定为锐角,故三角形△ABC 有一解. 8 故选:ACD. 如图所示:即圆弥与边AB相切或圆孤与边AB相交有2 个交点, 其中一个交点在线段AB的反向延长线上(或在点A 解析:根据余弦定理由2·cosC一2a十c→2· 一-2a+c→6-△++ac, 处),故a-bsinA一 2ab 5 而b?-a+c-2accosB,因此有cosB-- 因为BE(0,t),所以B-2π. 故选:D. sinB= b.cosC. sin B·cos C 1-cos 2B 2 sinB sinC· cos B1-cos 2C2sinC' 即cosC_sinB Pcos BsinC.整理为 sin Beos B-sin Ccos C. 13.答案:π 即士sin 2B=sin 2C,得2B-2C,或2B+2C=180{→ .BC-sinAsinC. 解析:由正弦定理得sinCsin B+C-90, 2 .BC_sin A.即 sin -A-sinA. 所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形. 因为sinCo,所以sin 2 2 故选:D. #得co#2o# 9. BD 根据余弦定理可知a^{}十c*-b^{}-2accosB,代入 (a+-6) tan B-3Jac,可得 2acosB sinB_3ac,即 cosB 解得一 11 故选:BD. sin B sinCbesin A' 10.ABD 在△ABC中,若A>B,由三角形中大边对大角, a*叶2- 叶一& 可得a>b,又由正弦定理,可知sinA>sinB,故A选项 .③ 由正弦定理、余弦定理,得一 2 ' 正确。 化简得a一3, 又由余弦函数在(0.r)上单调递减,可知cosA cosB,故 B选项正确. 由正弦定理可得2r--2,得r-1,因此△ABC外 sin/A 由 sin 2A-2sin Acos A,和 sin 2B-2sin Bcos B,当A 开 接园的面积为π. 故答案为:7. 时,cosA0,所以sin2A sin2B,故C选项错误. 14.答案: 由cos2A-1-2sinA,cos2B-1-2sin*B,由A选项$ 可知正确,故D选项正确. 解析:由已知得6+c-a^{}+2bc-(4v③+8)S 故选:ABD. 根据余弦定理和三角形面积公式, 154 得2bccos A+2bc=(/3+2)·2bcsinA. 7.A 因为(1+3i)(3-i)-3+8i-3i -6+8$ 化简为cosA+1-(3+2)sinA. 则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限 故选:A. 由于AE(0.),所以cosA+1=(3+2)1-cosA. 8.A x=(1+i)·(m-2i)=m+2+(m-2)i. 化简得(4+2③)cosA+cosA-(3+2/③)=0. 对应点(m十2,m一2). 即[(4+23)cosA-(3+2③)](cosA+1)=0. 由于点(m十2,m-2)在第一象限, 所以{120#解得 12. m-2>0. 故选:A. 9.BCD对于A,}-a-^}+2abi,不一定为实数 故答案为: 对于B,||-a十bR 对于C,(+1)(+1)= ·+z++1=a+6+2a+ 专题二十 复数的概念与运算 73分练 1R. 对于D(-).=2bi*-2(i)=2éR$ 1.C--1-il=-1)+(-1= ② 故选:BCD. 故选C. 10.BC 由题意。-1十i,:的虚部为1,选项A错误. -1一i,选项B正确. “-()-(2i)--8i,则||-|-8il-8 1)(1+i),即z-z-1+xi-i,即zi-1+i,所以--1+i 故 1_1-1#选C正确. -(1+i)(-)-1-i. i(一i) 由题意知A(1,1),故OA-(1,1),则OA}-2,而-2$ 故选C. O平*,选项D错误。 。1十’ 故选:BC. 11.AC 对于A选项,=r(cosθ十isinθ),则-?(cos 20十 isin 20),可得|=|?(cos 20+isin 20)|=,sl= 21-). |r(cosθ十isinθ) -,A选项正确. 1i 对于B选项,当r-1,o-时,^{}-(cos0+isin){③一 故选C. 3.B 由 cos 30+isin30-cosx+isinx=-1.B选项错误. 对于C选项,当r=1,=时,x=cos+isin=一 2a+1,则/a+2=0 →a=-2,所以1-ai-1+2i的虚 #4,##)_正确。# 1-2+1-5 部为2. 故选:B. 对于D选项,”=(cosθ+isine)"=cos n0+isinn= co”_ in 4.D (1-21)*(-3-4i)(1-i)-3+3i-4i+4i 11 2r 2 取n一4,则n为偶数,则。=cosπ十isinπ=-1不是纯 虚数,D选项错误. 故选:D. 故选:AC (3+ai)(2-)6+a+(2-3)i6+a2-3. 12.答案:/5-1 1 5.D依题意,- (2+i)(2-) 5 5 解析:设:-r十yi(x,yR). 因为复数:是纯虚数,且aR,则6a-0且2-3≠o, 因为-2 =x-2+yl 5 5 (r-2)+y-1,所以(x-2)+ 解得a--6, 所以a--6. y一1,即:在复平面内对应点的轨 迹为圆C;(x-2)+y-1,如图, 故选:D. 6.B 由s(2-i)-1+bi. 又-i|=|x+(y-1il-+(y-1), 得-+(1+i)(2+)2-6(20-+1). 所以 。-il表示圈C上的动点到定点A(0,1)的距离, 2-=(2-i)(2+i) 5 所以|-i为CA-,-/5-1 因为3为纯虚数, 13.答案:2、2 (2-b-0. 所以 解得b-2. 解析:△-2}-4×1×3--8<0,方程有两个虚根,则x= 2+10. -2+22--1+2i.--2-22-1-i,所以 所以:-i. 故选:B. .-|--1+2i+1+②|-2②=2 . 155 14.答案:②-1 设直角边x,则斜边为②x,则有2r十 解析:设z=x十yi,(x,yER). ry-2 由z=2,得(x+yi)(x-yi)=2. 则+y-2. 系得阴影部分的面积为S= 复数:的轨迹是以原点为圆心, (33#)- 7 ②为半径的圆,如图, 根据复数模的几何意义可知,z十i|的几何意义是园 上的点到(0,一1)的距离, 所以增加的面积为$-165-16(27-9)-108- 如图可知,|十il的最小值是点A(0.-/②)与(0,-1)的 72v2. 距离/2-1. 故选:C. 专题二十一 简单几何体的表 6.A 设圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为/, 面积与体积 73分练 因为圆锥的侧面积为15x,所以xrl-15x,即rl-15. 因为^}一,十4,所以联立解得,-3(负舍). 1.B 设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均为 因为圆柱的侧面积为18π,所以2xrh-18,即2xx3h- ③,且倒面积相等,所以2-×3= (③)}+^,得^*} 18r,解得h-3. 所以该毡帐的体积为寸r×4+r{h-39r. 故选B. 故选:A. 2.C 所求几何体的侧面积为3×4×6-72(cm{}),上下底 7.D 如图A-BCD是校长为6cm 面面积为(×3×#x6-)×2-(27~3-2-)(cn), 的正四面体, on 由题意,AD-BD一DC-6cm,设 挖去圆柱的侧面积为2-×4-8π(cm{}). BC的中点为M,底面△BCD的重 则所求几何体的表面积为(72+273+6π)(cm}). 心为G,O为外接球的球心, 故选:C. 则有AG1底面BCD,MD-DC-3、3. 3.B 设正六边形的边长为a,由题意正六校柱的高为2a, 因为正六校维的高与底面边长的比为2:3,所以正六校 $$G=DG-2MD-2V3. 锥的高为a,正六枝锥的母线长为 . OA-OC一R,R是外接球半径, 在Rt△AGD中,GA-AD-DG-2/ 在Rt△OGC中.OG=OC-GC=R-12,OG+OA= 正六校柱的侧面积S.-6·a·2a-12a^②}. _43 2(cm) 24· 即正方体的最短枝长为2R一3(cm). 故选:B. 故选:D. 4.C 设方亭相应的正四核台的上底面边长A.B.一a,则 8.A 如图,设圆锥侧面展开扇形的圆 AB-4a,校台的高h-3a, 心角为), 所以V-3a(a+16a{}+$16})-567,解得a-3. 则由题可得2x×4-120,则0- 2π 所以正四橡台的上底面边长为3m,下底面边长为12m 在Rt△POP中,OP-OP'-12. 台的高为9m, 则小虫爬行的最短路程为 PP'→12*+12*-2×12×12x(-)-12v3. 由于各侧面均为相等的等腰梯形: 故选:A. 所以S.A. -(a+4a)3v5a155a* 9.CD 因为园柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个 球的直径2R相等, 所以方亭的表面积S-a{+16a^{+4×155^{①} -17十 则圈柱的侧面积为2-R·2R-4xR{,A错误 4 155~450m{. 圆锥的母线长/-/R十(2R)一R,侧面积为-R/ 故选:C. 5xR^{},B错误. 5.C 如图,转动了45{后,此时魔方相对原来魔方多出了 球的表面积为4-R{},所以圆柱的例面积与球面面积相 16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三 等,C正确. 角形, 因为V.-R·2R-2xR. 156