专题17～18 平面向量的概念与运算73分练 平面向量基本定理及坐标表示73练-2024年高考数学小题必刷卷

专题十七 平面向量的概念与运算 73分练 (时间:60分钟分值:73分) 一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分. 8.已知a为单位向量,则“a十b一|b=1”是“存 在>0,使得b-a”的 斑 ( 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 ) 要求的. A.充分而不必要条件 1.如图正六边形ABCDEF中 B.必要而不充分条件 B+CD+EF- C.充分必要条件 B.BE A.0 D.既不充分也不必要条件 D.CF C.AD 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每 小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对 2.(2024·北京大兴校考模拟)设a:b是非零向量 b”是“a-b”的 的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. ) ( 9.在平行四边形ABCD中,下列结论正确的是( ab __ A.AB-DC B.AD+AB-AC A.充分而不必要条件 C.AB-AD-BD D.AD+CB-0 B.必要而不充分条件 10.(2024·安徽蚌埠统考模拟)关于平面向量a; C.充分必要条件 b.c,下列说法不正确的是 ( ) D.既不充分也不必要条件 A.若a·c-b·c,则a-b 3.(2024·新课标II卷)已知向量a,b满足a=1 B.(a+b)·c-a·c+b·c ~ la+2b|-2,且(b-2a)Ib,则lb|= ( C.若a2-b?,则a·c-b·c D.(a·b)·c-(b·c)·a A. D.1 11.(2024·河南驻马店·期中)已知两个非零的平 4.(2024·江苏盐城统考模拟)已知ABCD是平面 面向量a与b,定义新运算ab-a.b. 四边形,设:AB-2DC,q:ABCD是梯形,则 ^,则下列说法正确的是 a.b 是?的条件 ( ~ A.充分不必要 B.必要不充分 A.ab-ba C.充要 D.既不充分也不必要 B.对于任意与b不共线的非零向量c,都有a 5.设向量a,b不平行,向量xa十2b与a十3b平行. (b十c)-ab十ac 则实数x一 C.对于任意的非零实数乙,都有a⑧(tb) ) (a)⑧b D.若ab-m 2023.a⑧b-2024n(m,neN),则 6.(2024·山西临分统考一模)已知a.b为不共线 班 alb 的非零向量,AB-a+5b,BC--2a+8b,CD- 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 3a-3b,则 ( _ 12.(2024·河南统考模拟)已知e1,e。不共线,向 A.A,B.C三点共线 B.A.B,D三点共线 量a=-3e -2e ,b-ke +6e,且 a/b,则b= C.B.C.D三点共线 D.A.C.D三点共线 7.给出下列四个命题:①若a- b,则a=b,a 13.e,e:是两个不共线的向量,已知AB-2e十 一b;②若AB-DC,则A,B,C,D是一个平行四 be,CB-e+3e,CD-2e-e且A,B,D三 边形的四个顶点;③若a=b,b=c,则a三c;④若 点共线,则实数一 a/b,b/c,则a/c; 14.(2024·全国高三专题练习)设a,b是两个不共 ( 其中正确的命题的个数为 线的非零向量,若向量ba+2b与8a十tb的方 A.4 B.3 C.2 D.1 向相反,则一 25 专题十八 平面向量基本定理及坐标表示 73分练 (时间:60分钟分值:73分) 一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分,在每 升了空间利用率,体现了动物的智慧,得到世人的 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 认可,已知蜂巢结构的平面图形如图所示,则AB- 1.(2024·湖北武汉模拟预测) ) #A.-3Cf+DE# 如图,在△ABC中,点D在 B.-7CE+)DE## BC的延长线上,BD= #.-7冠+D 3|DC,如果AD-rAB+ yAC,那么 7 ) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每 小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对 的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 2, 9.已知平面向量a=(1,1),b-(一3,4),则下列说 法正确的是 , 2.(2024·河南联考模拟)已知向量a三(2,1),b ) (x.2),若(a+3b)/(a一b),则实数x=( _ A.5 C.3 B.4 D.2 B.若向量a十与向量a一共线,则x-0 3.(2024·新课标I卷)已知向量a-(0,1),b-(2. x),若b(b-4a),则x= ( ) C.1 A.一2 B.-1 D.2 D.b在a方向上的投影向量为立a 10.(2024·山西校联考模拟预测)设向量a= AB-a.AC-b.则BE- ( (3,-1),b-(0,2),则 A.al-bl ## C.(2a十b)与b共线 D.(2a十b) Ib 11.(2024·湖北武汉·期中)对非零向量a,b,定 5.已知ABCD是平行四边形,AE-2EB,若EC 义运算“(*)”:a(×)b-alcos0十blsinθ,其 aAB+AD,则&+= 中9为a与的夹角,则 ( ) ( ) D} C. A.若a/b,则a(*)b-|al B.1 B.若a-(-1,2),b-(-3,1),则(a-b)(*)a=/5 6.(2024·全国高三专题练习)已知O为坐标原点. PP--2PP若P(1,2)、P(2.-1),则与 OP共线的单位向量为 ( ) AB()AC25 A.(3,-4) 3 D.若△ABC中,AB(¥)BC-BC(*)AB-0. B.(3,-4)或(-3,4) C.(3}-)或(一-3)# 则ABC是等腰三角形 三、填空题;本题共3小题,每小题5分,共15分. D.(-) 12.在△ABC中,AB一3AD,点E是CD的中点. 若存在实数入,使得AE-AB+AC,则x+ 7.(2024·哈尔滨三中校考模拟预测)在平面直角 _一 (请用数字作答). 坐标系中,向量PA-(1,4),PB-(2,3),PC- 13.已知平面上三点A、B、C满足AB-3. ~。 (x,1),若A,B.C三点共线,则x的值为( BC -4.CA|-5.则AB·BC+BC·CA+ D.5 A.2 C.4 B.3 CA·AB的值等于 8.古希腊数学家帕波斯在其著 14.如图,在△ABC中,乙ABC三. 作《数学汇编》的第五卷序言 120{*,AB=BC,△ABD是正三 中,提到了蜂巢,称蜜蜂将它 角形,点M是△ABD的中心: 们的蜂巢结构设计为相同并 若xMA+yMB+-MC-0,则 且拼接在一起的正六校杜结 十y_ 构,从而储存更多的蜂密,提 26因为函数f(x)在区间(a-4,a)上存在最小值,则 -3<a-4<0.解得1<a<4. 图象关于点(0),1-^{)对称,则/(ti)的图象关于点 a0. (1-)对称,故存在a-2,使得点(1./(1)为曲 所以整数a的取值集合为(1,2,3). 故答案为:1(答案不唯一,2、3均可). 线y一f(x)的对称中心,D正确,故选AD 14.答案:[-1n2,0) 解法二(二级结论):任意三次画数f(x)一ar十br+$ 解析:由f(x)=r}+me -1→f(x)=2x+me-0有 (一(一)成中# 两个不同实根x,x。. cr十d(a子0)的图象均关于点( 且x:>2x,所以m--2x. 心对称,D正确. e{ 设(x)-2x,n'()2(x-1). 故选AD. 12.答案:(一o,0) 。 当x>1时,h'(r)>0,当x<1时,h'(x) 0. 解析:f(x)=(2x-a)e+(r-ax+a)e-2x= 所以h(x)在(-o,1)单调递减,在(1,+oo)单调递 x[(+2-a)e'-2],考查f(x)的单调性,令f(x)>0. 即x[(x+2-a)e-20. 增,所以h(x)-h(1)一- (0. (x<0. 所以 或 显然当x0时,h(x)<0,当x<0时,h(x)>0. ((x+2-a)e-2>0.” 1(x+2-a)e-2<0. h(x)图象如右: (<0. (r0. 所以有-2<n<0, 即 或 (*) e , 因为g(x)=x十2-2单调递增: e e e 当x。一2x:时,即所以x= ln2,h(ln2)一-ln2. 所以x>2x.时,-ln2<m<0. ①若x。0,则不等式组(×)的解集为(一o,0)和(x。· 故答案为:[-ln2,0). 十). 此时f(x)在(一,0)和(x,十)上单调递增,在(0. 专题十七 平面向量的概念与运算 工。)上单调递减,与/(1)在x一0处取极小值矛盾. 73分练 ②若x。一0,则不等式组(*)的解集为(一o,0)和(0. 1.D 连接AD,BE,CF交于O. 十),此时f(x)在B上单调递增,与f(x)在x一0处 由正六边形性质知: 取极小值矛盾。 CD--0. ③若x0,则不等式组(*)的解集为(一,工。)和(0 所以BA+C+-B++O 十). 此时f(x)在(一o,x)和(0,十oo)上单调递增,在(x,0) $BA,而BA-0-1CF. 上单调递减,满足f(x)在x一0处取极小值; 所以B+CD+E-CF 由g(z)单调性,a-x。+2-2 <g(0)-0. 故选:D. 综上所述:a0. b 则a的取值范围为(一,0). 故答案为:(-,0). 能确定它们模是否相等,即不能推出a一b, 13.答案:1(答案不唯一,23均可 则/(x)-r+2x=x(x+2). 故选:B. 由/(x)<0可得-2<x<0. 3. B 由(b-2a) |b,得(b-2a)·b-b-2a·b-0,所以 由/()0可得r<-2或 ^{}-2a·b.将la+2bl -2的两边同时平方,得a^{}+4a· x>0. $+4b$-4,即1+2^}+4b^{}=1+6|b|}-4,解得|$b|^$}= 所以函数f()的单调递减区间 为(一2,0),单调递增区间为(-,-2)、(0,+). 所以画数/(x)的极大值为/(-2)--8+4-2--- 故选B. 4.A 在四边形ABCD中,若AB-2DC. 极小值为f(0)一-2. 令(m)-/(2)--2,共中m-0,则”+m-2- 则AB/DC,且AB-2DC. 即四边形ABCD为梯形,充分性成立. -2,解得n--3, 若当AD,BC为上底和下底时, 150 满足四边形ABCD为梯形, 但AB一2DC不一定成立,即必要性不成立 故力是的充分不必要条件. 所以ab-b{a,故A正确; 故选:A. 对于选项B:因为a(b+e)-a.(b+e)a b la2 5.B 因为向量xa十2b与a十3b平行; /a/{ 所以 á+2b-b(a+3b)-ba+3k $b; 所以-h,3-2,所以-k 对于选C:因为a⑧(tb)-a.(th)-a·b #0-#(tá)⑧ 故选:B. b-(a).ba·b 6.B a.b为不共线的非零向量,AB-a+5b,BC=-2a+8b |b{= /#/。 CD-3a-3b. 当且仅当(一士1时,a()一(n)b,故C错误 则BD-BC+CD-a+5b,AC-AB+BC--a+13b 对于选项 D:若ab-2023 a{b=2 024n(m,nN), .7 A不正确. 2023* 因AB-BD,即AB与BD共线,且有公共点B.则A.B.D 三点共线,B正确. 且n,nN,可知nn-0. 结合题意可知m-n-0,a·b-0,所以a|b,故D正确; C不正确。 故选:ABD. 12.答案:-9 解析:因为a/b,所以习入R,使得b一a成立,即 D不正确. he +6e-3xe -2xe. 故选:B. -3. 因为e,e:不共线,所以 .解得/ =-3. 16--2,” 7.D ①若a=bl,只能说明a,b模相等,它们方向不一 --9. 定相同或相反,错。 故答案为,一9 ②若AB-DC,若AB/DC且AB=DC,即A,B.C,D是 13.答案:-8 一个平行四边形的四个顶点,若A,B,C,D四点共线,不 解析:依题意得,BC-一e-3e.,于是BD-BC+C 能构成平行四边形,错。 --3e+2e-e.-e-4e, ③若a-b,b-c,即a.b、a.c分别为相等向量,故a-c,对. 由A,B,D三点共线可知,存在A,使得AB-&BD,即 ④若a/b,b/c,当b为零向量时a/c不一定成立,错 2e.+e-(e.-4e). 故选:D. (2-, 8.B 若b-0,则a+bl-b=al=1,但此时不存在 >0 由于e,e。是两个不共线的向量,则 1--4, 使得b-a: 解得--8. 故不存在x0,使得b一xa,故前者无法推出后者 故答案为,一8. 若存在x0,使得b-a,则a,b共线且同方向; 14.答案:-4 此时a+bl-b=a|+b-b=a-1,故后者 解析:因为向量十2b与8a十khb的方向相反, 可以推出前者, 所以存在x(<0),使得ha+2b-x(8a+hb); 故“la十bl一b-1”是“存在x0,使得b-a的必要不 又a,是两个不共线的非零向量, -8解得 充分条件”。 (=-4.(-4, 故选:B. 所以 12-h,* 9.ABD 如图,易知A正确.根据 平行四边形法则,B正确,AB一 故答案为:一4. AD-DB.C错误.AD+CB= 专题十八 平面向量基本定理及 A+DA-0.D正确. 坐标表示 73分练 故选:ABD. 10.ACD 对于A,若c一0,则不一定有a一b,A错误. 1.B 因为AD-AB+BD.BD-3BC. 对于B,根据分配律即可得到,B正确。 对于C,若a}-b,则可能a--b.那么a·cb·c.C错误 所以AD-AB+3BC-AB+3(AC-AB)-AB+ 对于D,若alb,则有a·b一0,那么就不一定有 #. (a·b)·c-(b)·a.D错误. 故选:ACD. 故选:B. 151 2.B a+3b=(2+3r,7),a-b-(2-x,-1). 设AB-CE+yDE, 因为(a+3b)/(a-b),所以(2+3x)x(-1)-7x 期{ (6-9x+9y. (2一r),解得x-4. 143--33x+3y. 故选:B. 3.D 解法一(向量法十坐标法):因为b)(b一4a),所以b 解得 # ·(b-4a)=0,即b}=4a·b.因为a-(0,1),b=(2,), 所以b-4+r,a·b-x,得4+r-4r,所以(x-2)^}- 0.解得x-2,故选D. 所以AB--C+)DE.# 解法二(坐标法):因为a-(0,1),b-(2,x),所以b-4a -(2,x)-4(0,1)-(2,x)-(0,4)=(2,t-4).因为b 故选:B. (b-4a),所以b·(b-4a)-0,所以2×2十x(x-4)-0. 9. ABD cos(a,b)-.b 1×(-3)+1×4 所以(x-2)-0,解得x-2. 1+1..(-3)+4f 故选D. 4.B 由题设B -(BA+BD)= 若向量a十b与向量a一xb共线; ##(B+B-B+ 则存在实数使得a+b=n(a-xb)=-b. 所以/=1, #3(0### =-. 解得入一0,故B正确。 ##p-### (一,)或(3,一),故C错误. 故选:B. 5.C 因为AE-2EB,所以EB-AB __ T·1 所以EC-EB+BC-AB+AD,EC-AB+AD 2a,故D正确. 故选:ABD. 10.AD 因为a=(③,-1),b=(0,2),所以 al= ③+1-2,b-2,故A正确。 因为a=(3,-1),b=(0,2),所以cos(a,b)= 故选;C. a.b 6.C 由PD--2PP 得PP+2PB-0.即PB+PP0. 。 ##.P-D. 因为两向量夫角的范围为[0,x],所以a与b的夹角为 ##P-oP0p-0P. 2,故B错误。 -2OP -0P -2(2,-1)-(1,2)=(3.-4. 因为a-(3.-1),b-(0,2),所以2a+b-2(3,-1)+ |-、③十(-4){-5. (0.2)-(23,0). #3,-),反向的单 与OP同向的单位向量为 又b=(0,2),所以(2a+b)·b-0,所以(2a十b)b. 所以(2a十b)与b不共线,故C错误,D正确. 位向量为(-3).# 故选:AD. 11.ABD 对于A:因为a/b,所以(a,b)-0或. 故选:C. 所以la(*)bl= |alcos(a,b)+b| sin a,b)|= 7.C 因为A,B.C三点共线, a,A正确: 则PC-PA+PB.(+=1). 对于B:因为a(-1,2),b(-3,1) 即(x,1)-(1,4)+n(2,3)=(a+2,4+3). 所以a-b=(2,1),a-bl-5,a -/5,cosa-b,a (-十2. (-3. -(a-b)_o. 则1-4+3,解得1--2, a-ba =4. 十-1, 所以(a-b.a)-吾. 故选:C. 8.B 以D为坐标原点,建立如 (a-b)(*)a=5x0+/5x1-5,B正确; 图所示的平面直角坐标系。 对于C:若Rt△ABC中,C-.AC-2,BC-1.所以 不妨设AD-2.则A(-1③), B_.cos -2 in A-. B(5.5③),D(0.0).E(9.③). C(0.4③): 故AB-(6.4v3),CE-(9. +2#-22.(错误; -3③),DE-(9./③). 152 对于D:ABC中AB(*)BC-BC(*)AB- 2.C 因为sinC-3sinA,由正弦定理可得c-3a,且b^{}-2ac, 所以-ccos B+asin B=-acos B+csin B-0. 由余弦定可得cos B-^+△+96^2 2r 6 所以(c-a)(sinB+cosB)=0,因为sinB+cosB+0 )7 所以c-a-0,即c-a,△ABC是等腰三角形,D正确. 故选:C. 故选:ABD. 12.答案: sin,解得sinB-1,所以B一,有唯一解,故①正确. 16 解析:因为E是CD的中点,所以AE-AC+CE-AC+ D-A+(AD-A)-(AD+A). 因为AB-3AD.所以AD-1AB. 20.,解得sinC-5③. 20 ,再由大边对大角可得CB,故 所以A-A+C,所以-# C可以是锐角也,可以是钝角,故三角形有2解,故②正确 _## 对于③:a-5.c=2.A-90”,则由正弦定理得5 sin 90{sinC' 2 解得sinC一,再由大边对大角,可得C为锐角,故三 角形有唯一解,故③不正确。 13.答案:-25 对于④;a-30.b-25.A-150°,由正弦定理得_3050-' 30 25 解析:由AB+BC+CA-0可得(AB+BC+CA)-0. 因为AB -3,|B|-4.C-5. 所以AB]+BC+CA+2(AB·BC+AB·AC+ BC.A)-0, 故④正确。 即9+16+25+2(AB·BC+BC.CA+CA·AB)-0 故选:D. 所以AB·BC+BC.C·AB--25. ,即_3-” 2sinA' 故答案为:一25. 14.答案:-4 解析:如图,MC交AB于点E,因为 ABC-120”,AB-BC 所以 MAE- BAC-30{,设AB-a,则AC-3a #且A#<inA<1.# 故选:A. ME--MC=MA+.MB 因为E,A,B三点共线,所以m+n-1. 可得b_sin_B_sn B_2sin B. ME--MC-mMA+MB sin/A 所以MC-4mMA+4nMB. ##### 要使八ABC有两解,即B有两解,则应有A B,且sinB 1 由题干可知xMA+yMB+-MC-0. 即MC---M-MB. -sinA<sinB<1. 所以4--,4n--, 所以③<62. 故选:B. 。2 所以y-4. 故答案为:一4. ##A<#,sinAe(,# 专题十九 平面向量的应用 73分练 因为该三角形有两个解,当sinA一1时只有一解, 1.B 因为(a十c)(sinA-sinC)-b(sinA一sinB). 所以3<a<6. 所以由正弦定理得(a十c)(a一c)一b(a一b). 即a^-?-ab-b, 则a+6--ab,故cosC-&+_1. 2ab 2ab 2 又0<C<n,所以C一. 故选:B. 故选:B. 153