专题16 导数在研究函数中的应用73分练-2024年高考数学小题必刷卷

专题十六导数在研究函数中的应用 73分练 (时间：60分钟分值：73分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 3.函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 [0,2π]的最小值、最大值分别为 要求的。 A-受号 B-受受 1.如果函数y=f(x)的图象 =x) 如右图，那么导函数y= C.-受+2 D-受，受+2 f'(x)的图象可能是 4.当x=1时，函数f八x)=ahx+取得最大值 一2，则了(2)= A.-1 C. D.1 5.已知可导函数f(x)的导函数为f(x),若对任意 的x∈R,都有f(x)>f(x)+1,且f(x)-2024 2.(2024·黑龙江齐齐哈尔统考模拟) 为奇函数，则不等式f(x)一2023e<1的解集 已知函数y=xf(x)的图象如图 为 3 所示（其中了(x)是函数f(.x)的 A.(-o∞，0) B.(-o∞，e) 导函数)，下面四个图象中可能是y=f(x)图象 C.(e,+o∞) D.(0,+o∞) 的是 6.已知a,b,c∈(-1,0)，且满足a=1na十1+2. 3 6=In (b+1) c=e+lh2-1-1,则 -2-1012 A.c<K<a B.K<a<c C.a<c<b D.a<b<c 7.英国数学家布鲁克·泰勒(Brook Taylor,1685.8 4-1012￥ -2-1012； ~1731.11)以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名 D 于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数f(x) 23 在包含x0的某个开区间(a,b)上具有(n十1)阶 A.Hx∈R,f(x)≤f(xo) 导数，那么对于Vx∈(a,b),有fx)=f八） B.一xo是f(-x)的极大值点 0! C.xo是一f(x)的极小值点 f(xo) 1 (红-0)+fo)红-)2+…十 2！ D.一xa是一f(一x)的极大值点 f(m)(x0) n！ (x一0)"十…，若取0=0，则f(x)= 10.(2024·全国统考)若函数f(x)=alnx++ 9+0+++0+ 01 n! 2(a≠0)既有极大值也有极小值，则( 此时称该式为函数f(x)在x=0处的n阶泰勒 A.be>0 B.ab0 公式.计算器正是利用这一公式将sinx,cosx, C.b2+8ac>0 D.ac<0 e,lnx,vx等函数转化为多项式函数，通过计算 11.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2.x3一3ax2 多项式函数值近似求出原函数的值，如sinx= +1,则 3!57+…,cosx=1 2 21+4-61 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 …,则运用上面的想法求2co +2)sin2的 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对 近似值为 称轴 A.0.50 B.-0.46 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f(x)的 C.-0.54 D.0.56 对称中心 十tan4' 8.设a=2(et-1),b=e-1,c=sin4 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 则 12.(2024·广东校联考模拟预测)已知函数f(x)= A.bac B.b>e>a (.x2-a.x十a)e'-x2,a∈R,若函数f(x)在x=0 C.a>b>c D.a>c>b 处取得极小值，则α的取值范围为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 13.(2024·山东省实验中学校考一模)若函数f(.x) 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 号+2-2在区间（a-4,a)上存在最小值， 得0分. 则整数a的取值可以是 9.(2024·河北石家庄统考模拟)设函数f(x)的定 14.(2024·辽宁鞍山模拟预测)已知函数f(x)= 义域为R,xo(xo≠0)是f(x)的极大值点，以下 x2十meF一1有两个极值点x1,x2,且x2≥2x1, 结论一定正确的是 则实数m的取值范围是 24所以g(x)在（一∞，1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 又g(0)=0,g(1)=2-e<0,g(2)=2,所以存在x:∈ 为y=2r+1,令g(x)=n(x十1)+a,则g(x)=1 +1 (1,2)使得g(x2)=0, 设直线y=2x十1与曲线y=g(x)相切于点(x。yw),则 所以方程x1e1一2e1十2=0有且仅有两个实数根， 有-2，得=-合，则%=2。+1=0，所以0= 1 所以过点(1,4)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有 2条，故D正确. n(-2+1)+a,所以a=n2. 故选：BCD. 10.AB设切点为P(x。ya),因为直线x十ay一a=0恒 14.答案：y=2x-e 过定点(0,1)y'=t·cost-sinx 解析：因为f(x)=x·lnx,则f(e)=e·lne=e, 又了(x)=lnx十1，则了(e)=lne十1=2， sin zo-1 所以函数f(r)=x·lnx在x=e处的切线方程为y 所以 rocos ro一sin zo e=2(x-e), 即y=2x-e 所以sin ro一xo=rocos r一sin co, 故答案为：y=2x一e 所以2sinx。=x。(1十cos ro), 国为x。≠0，所以可取x=(2k一1)π(k∈Z), 专题十六导数在研究函数中的应用 sin o-1 73分练 由导数的几何意义知，。 _sinx二=- To a 1.Ay=f(x)的单调变化情况为先增后减、再增再减，因 则im「(2k-1)π]-(2k-1)x=-1， 此y=∫(x)的特号变化情况为大于零、小于零、大于零、 [(2k-1)π] d 小于零，四个选项只有A特合. 则二（2k-1)x 1 =-(2k-1)m=一a 故选：A [(2k-1)x] 2.C由y=xf(x)的图象知，当x∈(-oo,-1)时， 所以a=(2k-1)r,k∈Z, xf(x)<0,故广(x)>0,f(x)单调递增， 所以当k=1时，a=r:当k=2,a=3m,故A,B正确，C, 当x∈(-1,0)时，xf(x)>0,故了(x)<0,当x∈[0,1)， D不正确. xf(.x)≤0，故f(x)≤0， 故速：AB. 等号仅有可能在x=0处取得， 11.BD设f(x)-x2-3,∫(x)的零点就是x”=3的解. 所以x∈（一1,1）时，f(x)单调递减. 了(x)=2x,当x。=1时，f(x。)=-2,切线为y十2= 2(x一1)，令y=0,则x=2,所以切线与x轴交点横坐 当x∈(1，+o∞)时，xf(r)>0,故f(x)>0,f(x)单调 标为x1=2,A错误.f(x)在(xm,f(x.))处的切线为 递增，结合选项只有C符合 y一∫(xn)=了(x。)(x一x),所以切线与x轴交点横 故逃：C f( 3.Df(x)=-sinx十sinx十(x+1)cosx=(x+1)cosx, 坐标为x+1=x.一了(x) 所以在区间(0，受)和（经，2a)上了x)>0,即 所以I=工一 G)=4x= f(ro) f(x) f(x:) f(x)' 单调递增。 f(r) (x)' 在区间（受，）上广(x)<0,即)单调道减， 所以x1=无 f(xa)f(r)f(x:) f(x:) f(xo)f(x)f(r:)f()' 又f0)=f(2x)=2.f(受）=+2， B正确 (受)=-（受+）+1=-受 若=1x=2,由B得=2-2- f(2)7 <x,C错误. x-31 所以x)在区间[0,2]上的最小值为一受，最大值为 f(x.) 3 xw+i=xm一 7(5=-2x -,D正确. 故选：BD 受+2. 12.答案：0 故选：D. 解析：由题知f(x)=x十cosx, 4.B因为函数f(x)定义城为(0，十∞)，所以依题可知， 所以f(x)=1-sinx,所以了（变）=0， 1)=-8/)=0.西f)=号-2所以6-2. 故f(x)在点（受，（受）处的切线斜率为0. 。一6-0，学8=-26-2：所以了u0-是+是，国 故答案为：0 此函数f(x)在(0,1)上递增，在(1，十∞)上递减，x=1 13.答案：ln2 解析：由题，令f(x)=e+x,则f(x)=e十1，所以 时取藏大位，满足题意，脚有了(2)=-1十号=一 f(0)=2,所以曲线y=e十x在点(0，I)处的切线方程 故选：B 148 5.D设g(x)=f)-⊥，由题设条件，得g(r) e 所以2sinr 2sin 6 8 <2 fx)e-[fx)-1e=(x)-fx)+l<0, cos'x 3/3 (e) e 故函数g(.x)在R上单调递减. 故g(x)>0,故gr)在(0，)上是增函数， 由f(x)一2024为奇函数，得f(0)一2024=0，得f(0)= 又因为g(0)=0, 2024, 所以g(0)-f(0)-1-2023, 所以当xe(o,吾)时了()=gx)>0, 不等式fx)-2023e<1等价于f）-1<2023, e 故f)在(0，晋)上是增画数， 即g(x)<g(0), 又函数g(x)在R上单调递减，所以x>0, 故f()>f0)=0,即a>c 故不等式f(x)-2023e<1的解集是(0，+∞). 故b>a>c. 故选：D 故选：A. 6.B由a=lna十+2a=lna+1)-n3+2,得a-na+ 9.BCx。是f(x)的极大值点.则存在区间(a,b),.x∈(a, 3 b),对任意x∈(a,b)有f(x)≤f(xa),f(x)不一定是最 1)=2-ln3, 大值，A错误. 由b=lnc6+D=b=3+1nb+1)-n4,得6-1n6十 f(一x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，因此一xE 4 (-b,-a),对任意x∈（-b,-a)有f(x)≤f(-x),-x 1)=3-ln4, 是f(-x)的极大值点，B正确. 由c=e+h-1-1=ln(c十1)=c+ln2-1,得c-ln(e+ ∫(x)的图象与一f(x)的图象关于x轴对称，因此对任意 1)=1-ln2, x∈(a,b)有-f(x)≥-f(.x。).C正确. 令函数f(x)=x-ln(x十1)，显然f(a)=f(2),f(b)= 由BC的推理可知一x。是一f代一x)的极小值点D错误。 30)=0,表号得f)=1-十z克 故选：BC 当x∈（一1,0）时，f(x)<0,f(x)单调造减，当x∈ 10.D高数)=alnr十兰十导的定义城为0.+oo. (0,十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 于是f1)<f(2)<f(3).即有f(c)<f(a)<f(b).而a, 求导得了)=号片=2 b,c∈(-1,0)，所以b<a<c. 国为函数f(r)既有极大值也有极小值，则函数f(x) 故选：B 在(0，十o0)上有两个变号零点，而a≠0， 7.B由三角恒等变换的公式， 因此方程a.x2-b.x一2c=0有两个不等的正根x1,x:, 化荷得20a(受+号)小m号-2sm 2=cos1-1. △=b+8ac>0, 是+=名>0·即有+8ac>0,ab>0,ac 可得m1=1一+十司十=1-+一高+… 111° 1 0. =- 1-05十0.041-0.001十…≈0.54，所以c0s1-1≈-0.46. 显然a2c<0,即bc<0,A错误，BCD正确. 故选：B. 故选：BCD. 11.AD由题可知，f(x)=6x(x-a). 8.Ab-a=e-1-2(e7-1)=e寸-2，e+1 对于A,当a>1时，由f(x)<0得0<x<a,由∫(x) (e7-1)2>0, >0得x<0或x>a,则f(x)在（一o0,0)上单调递增， 所以b>a, 在(0，a)上单调递减，在(a,十o∞)上单调递增，且当x→ a-c-2(et-1)-sin-tan -oo时，f(x)→-o,f(0)=1,f(a)=-a°十1<0，当 x·十o∞时，f(x)·十o∞，故f(x)有三个零点，A正确： 所以令fx)=2(e-1)-sinr-tan,xe(0,否) 对于B,当a<0时，由f(x)<0得a<x<0,由f(x) >0得r>0或x<a,则f(x)在(-o∞，a)上单调递增， 则f(x)=2·e-cosx- 1 cOs 在(a,0)上单调递诚，在(0，十∞)上单调递增，故x=0 令g(x)=2·e-cosx- 1 是f(x)的极小值点，B错误： cosr' 对于C,当x→十∞时，f(x)→十∞，当r→一∞时， 则g'(r)=2·e+sinr-2sin f(x)→一∞，故曲线y=f(x)必不存在对称轴，C错误： cosr' 对于D,解法一（配方、平移）：f(x)=2x一3ax2+1 当xe(0,g)时，2·e>2,sinx>0,sinr<sin6 2(x-号）广-2(-号）+1-号，令1=-受则 cosr>cos )可特化为g0-2r-是a1+1-号，由y-2r 149 多为奇高数，且共图象关于原点对称，可知g口)的 因为函数f(x)在区间(a一4，a)上存在最小值，则 1-3a-4<0, 解得1≤a<4, 图象关于点(0,1-气)对称，则f()的图象关于点 a>0, 所以整数a的取值集合为{1,2,3)， (号1-）对称，故存在a=2,使得点11)为曲 故答案为：1（答案不唯一，2、3均可）. 线y=f(x)的对称中心，D正确.故选AD 14.答案：[-ln2,0) 解法二（二级结论）：任意三次函数f(x)=a.x十bx十 解析：由f(x)=x2十me-1→f(r)=2x十me=0有 两个不同实根x1x, cx+du≠0)的图象均关于点(-品(-品)）成中 且≥21，所以m=二2红 心对称，D正确. e, 故选AD. 设x)=-2,K'(x)=2(x-12 e 12.答案：(-6∞，0) 当x>1时，h'(x)>0,当x<1时，h'(x)<0, 解析：f(.x)=(2.x-a)e+(x2-ax十a)e-2.x 所以h(x)在（一∞，1）单调递减，在(1，十o∞)单调递 x[(十2-a)e-2],考查f(x)的单调性，令f(x)>0, 即x[(.x+2-a)e-2]>0. 增，所以h(x)n=h(1)=-2 所以>0， x0, 或 显然当x>0时，h(x)<0,当x<0时，h(r)>0, 1(.x+2-a)e-2>0, (x+2-a)e-2<0. h(x)图象如右： x0, fx<0, 8 所以有-2<m<0, +2-2>a. e x+2- 2 (￥) <a. e 则有2红-一2 因为g(x)=x+2-2单调递增， e: 当x:=2x1时，即所以x1= 设方程gr)=x+2-2 In 2,h(In 2)=-In 2, e =a的根为xa· 所以x≥2.x1时，-ln2≤m<0. ①若x。>0,则不等式组（￥）的解集为（一o,0)和(x0, 故答案为：[-ln2,0) 十0)， 此时f(x)在（一∞，0）和(x。,+十∞)上单调递增，在(0， 专题十七平面向量的概念与运算 x。)上单调递减，与f(x)在x=0处取极小值矛盾. 73分练 ②若x=0,则不等式组(“)的解集为（一∞，0）和(0， 1.D连接AD,BE,CF交于O, 十∞)，此时f(x)在R上单调递增，与f(x)在x=0处 由正六边形性质知： 取极小值矛盾。 ③若x,<0,则不等式组（￥）的解集为（一∞，x)和(0， C市=B0,EF=oA, 十0)， 所以BA+C市+E市=BA+B0+OA 此时f(x)在（一o∞，x)和(0，十∞）上单调递增，在(x。,0) 2A,雨=0亦=市， 上单调递减，满足f(x)在x=0处取极小值， 所以BA+CD+E求=C. 由g()单调性a=x+2-兰<g(0)=0. 故选：D. 综上所述：a<0. 则a的取值范围为（一∞，0）. 2.B由日=合表示单位向量相等，则a,b同向，但不 b 故答案为：（一0∞，0）. 能确定它们模是否相等，即不能推出a=b, 13.答案：1（答案不唯一，2、3均可） 由a=b表示ab同向且模相等，则日合： 解折：图为)号+-2. 所以“日=合”是a=6的必要而不充分条件 则f(x)=r2+2x=x(x十2). 故选：B. 由f(x)<0可得-2<x<0. 3.B由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b-2a·b=0,所以 由f(x)>0可得x<-2或 b=2a·b.将a+2b=2的两边同时平方，得a+4a· x>0, b+4b=4,即1+2b十4b=1+6b12=4,解得1b12= 所以函数f(x)的单调递减区间 为（一2,0）.单调递增区间为（一∞，一2）、(0，十∞)， 是所以b1=号 所以画款)的板大位为八-2》=一营+4一2=一号， 故选B, 极小值为f(0)=一2， 4.A在四边形ABCD中，若AB=2DC 则AB∥DC,且AB=2DC, 令(m)=f(2)=-2,其中m≠0，则号+m-2 即四边形ABCD为梯形，充分性成立. -2,解得m=一3， 若当AD,BC为上底和下底时， 150