压轴专题04 概率初步（5类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020必修第三册）

压轴专题03 概率初步 目录 1 3 一．互斥事件与对立事件 3 二．利用互斥（对立）事件的概率公式求概率 4 三．古典概型概率 5 四．独立事件辨析 6 五．独立事件+互斥事件+对立事件概率综合 7 8 1．样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 2．事件的关系 2.1包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作：(或) 图示 2.2相等关系 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等， 记作：； 图示 3.事件的运算 3.1并事件(或和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中， 我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)， 记作：(或). 图示： 3.2交事件(或积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这 样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)， 记作：(或). 图示： 4.互斥事件与对立事件 4.1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 4.2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 5.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 6.概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 7.相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 一．互斥事件与对立事件 例题1．（23-24高二下·上海松江·期末）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（    ） A． B． C．互斥 D．相互独立 例题2．（23-24高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 对点训练 1．（23-24高二下·上海徐汇·期末）设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生； （Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生； （Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生； （Ⅳ）A，B，C最多有两个发生； 其中相互为对立事件的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ 二．利用互斥（对立）事件的概率公式求概率 例题1．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）袋子中有大小和质地相同的12个小球，分别为红球、黄球、绿球、黑球，从中任取一个球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，问得到黄球的概率是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二·上海·课堂例题）把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜，问：在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ 例题3．（24-25高二上·上海·随堂练习）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险． (1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 对点训练 1．（23-24高二上·上海静安·期中）在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为. (1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率； (2)求至少取得一个红玻璃球的概率. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 三．古典概型概率 例题1．（23-24高二·上海·课堂例题）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙开门． (1)如果将不能开门的钥匙立即扔掉，求第二次才能打开门的概率； (2)如果试过的钥匙不扔掉，求第二次才能打开门的概率． 例题2．（23-24高二上·上海·单元测试）设函数，其中，且．若连续抛掷两次骰子（骰子六个面上分别标以数字1、2、3、4、5、6），得到的点数分别作为a和b，求恒成立的概率． 对点训练 1．（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷两枚骰子，判断下列命题是否正确？并说明理由． (1)“出现两枚点数都是5”比“出现两枚点数都是4”的概率小； (2)“出现两枚点数之和为偶数”的概率是； (3)在计算“出现两枚点数之和的概率”问题中，“出现两枚点数之和为7”的概率最大． 四．独立事件辨析 例题1．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知甲､乙两袋中分别装有编号为的四个球.从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立.那么这三个命题中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例题2．（23-24高二上·上海·期末）设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 . 对点训练 1．（23-24高三下·上海·阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 （用数字①②③作答） ①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B. 2．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是 ． ①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；        ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立； ③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥；    ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立． 五．独立事件+互斥事件+对立事件概率综合 例题1．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 对点训练 1．（23-24高三下·上海·阶段练习）三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 . 2．（23-24高二·上海·课堂例题）把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜，问： (1)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ (2)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ 1．（24-25高二·上海·课堂例题）一个口袋中装有3个白球和3个黑球． ①事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第一次摸出的是黑球； ②摸出后放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球； ③摸出后不放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球； ④一次摸两个球，共摸两次，事件A：第一次摸出颜色相同的球，事件B：第一次摸出颜色不同的球． 以上各组事件是独立事件的序号为 ． 2．（23-24高二下·上海·期中）现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 . 3．（23-24高三下·上海·阶段练习）非空集合中所有元素乘积记为．已知集合，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）． 4．（2024·上海闵行·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为 ． 5．（23-24高二上·上海·阶段练习）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若或，就称甲乙“心有灵犀”．现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ． 6．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 7．（23-24高二下·上海浦东新·期末）设集合，其中，，从集合A中任取一个元素，使不等式成立的概率为 .（结果用含有n的式子表示） 8．（23-24高二·上海·课堂例题）社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年，华纳（Stanley L. Warner）发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法．华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题，在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的．这样，应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他自己知道回答的是哪个问题．例如，在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验：袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球，运动员从中随意摸出1个小球．无关紧要的问题是：你摸出的小球是白色的吗？而敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗？然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．假设用这个方法调查了200名运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂． 9．（23-24高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 10．（23-24高二下·上海静安·期末）口袋里装有4个大小相同的小球．，其中两个标有数字1，两个标有数字2． (1)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？说明理由； (2)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．求大于2的概率． 11．（23-24高二下·上海·期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求； (3)若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证C、D是独立的. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题03 概率初步 目录 1 3 一．互斥事件与对立事件 3 二．利用互斥（对立）事件的概率公式求概率 5 三．古典概型概率 8 四．独立事件辨析 10 五．独立事件+互斥事件+对立事件概率综合 12 16 1．样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 2．事件的关系 2.1包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作：(或) 图示 2.2相等关系 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等， 记作：； 图示 3.事件的运算 3.1并事件(或和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中， 我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)， 记作：(或). 图示： 3.2交事件(或积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这 样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)， 记作：(或). 图示： 4.互斥事件与对立事件 4.1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 4.2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 5.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 6.概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 7.相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 一．互斥事件与对立事件 例题1．（23-24高二下·上海松江·期末）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（    ） A． B． C．互斥 D．相互独立 【答案】D 【考点】互斥，对立，独立事件的判断 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断可得出结果. 【详解】对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错； 对于B: 时，事件发生同时不发生，所以B错； 对于C: 时，A,B同时发生，所以C错； 对于D: ，则相互独立，所以D正确. 故选：D 例题2．（23-24高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 【答案】D 【考点】互斥，对立，独立事件的判断 【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误； 对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误， 对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确， 故选：D. 方法总结：互斥事件是不能同时发生，但可以都不发生的事件；对立事件,两个事件中只能发生其中一个事件。 对点训练 1．（23-24高二下·上海徐汇·期末）设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生； （Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生； （Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生； （Ⅳ）A，B，C最多有两个发生； 其中相互为对立事件的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ 【答案】B 【考点】互斥，对立，独立事件的判断 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 【详解】解：，，是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ），，中至少有一个发生； （Ⅱ），，中最多有一个发生； （Ⅲ），，中至少有两个发生 （Ⅳ），，最多有两个发生； 在中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件； 在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故中的两个事件相互为对立事件； 在中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件； 在中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件． 故选：． 【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 二．利用互斥（对立）事件的概率公式求概率 例题1．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）袋子中有大小和质地相同的12个小球，分别为红球、黄球、绿球、黑球，从中任取一个球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，问得到黄球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【考点】互斥，对立事件的概率公式 【分析】设出事件，由已知条件得出事件的概率，根据对立事件以及互斥事件的概率性质，即可得出答案. 【详解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥. 由已知可得，，，， 则，即， 所以，则， 故从中任取一球，得到黄球的概率分别是， 故选：A. 例题2．（23-24高二·上海·课堂例题）把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜，问：在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ 【答案】A、B两人应按来分奖金. 【考点】互斥，对立事件的概率公式 【分析】根据互斥事件和相互独立事件的概率公式求出A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可. 【详解】用事件“A最终获胜”，事件“接下去第一局A获胜”，“接下去第二局A获胜”， 则 由题意可知前三局A已经胜两局，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后两局中再胜一局， 所以，因为与是互斥的， 所以， 所以A最终获胜的概率是，B最终获胜的概率是， 所以A、B两人应按来分奖金. 例题3．（24-25高二上·上海·随堂练习）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险． (1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 【答案】(1) (2) 【考点】互斥，对立事件的概率公式 【分析】（1）根据题意设事件，探究事件关系，根据加法公式即可求解； （2）由题意，根据对立事件公式，即可求解. 【详解】（1）记A表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”， B表示事件“该地的1位车主购头乙种保险”， C表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”， D表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”． 由题意，，，， 所以； （2）由题意，知，． 方法总结：如果事件与事件互斥，那么； 对点训练 1．（23-24高二上·上海静安·期中）在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为. (1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率； (2)求至少取得一个红玻璃球的概率. 【答案】(1) (2) 【考点】互斥，对立事件的概率公式 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可； （2）利用间接法及对立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）设“取得两个红玻璃球”为事件，“取得两个绿玻璃球”为事件， 则，，即事件互斥， 所以取得两个同颜色的玻璃球的概率为. （2）至少取得一个红玻璃球的的对立事件为事件， 所以其概率为. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 【答案】 【考点】互斥，对立事件的概率公式 【分析】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 由，代入计算可得. 【详解】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 则, 所以 . 即击落直升机的概率为． 三．古典概型概率 例题1．（23-24高二·上海·课堂例题）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙开门． (1)如果将不能开门的钥匙立即扔掉，求第二次才能打开门的概率； (2)如果试过的钥匙不扔掉，求第二次才能打开门的概率． 【答案】(1) (2) 【考点】古典概型概率问题 【分析】（1）第二次才能打开门，说明第一次没有打开，求出将不能开门的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本空间和“第二次能打开门”事件的样本空间，再结合古典概型的概率公式即可求解. （2）同（1）求出如果试过的钥匙不扔掉且开门两次的事件的总样本空间和“第二次能打开门”事件的样本空间，再结合古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）将能打开门的两把钥匙记为和，不能打开门的两把钥匙记为和， 记事件“第二次能打开门”，表示开门两次事件的样本点，和表示第一次和第二次取到的钥匙记号， 则将不能开门的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共12个样本点， 则共4个样本点， 所以如果将不能开门的钥匙立即扔掉，第二次才能打开门的概率为. （2）由（1）如果试过的钥匙不扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共16个样本点， 则共4个样本点， 所以如果试过的钥匙不扔掉，第二次才能打开门的概率为. 例题2．（23-24高二上·上海·单元测试）设函数，其中，且．若连续抛掷两次骰子（骰子六个面上分别标以数字1、2、3、4、5、6），得到的点数分别作为a和b，求恒成立的概率． 【答案】 【考点】古典概型概率问题 【分析】由已知，，得，连续抛掷两次骰子，得到的点数的基本事件总数为，要恒成立，分析得目标事件个数为，故所求概率为. 【详解】因为，且，则， 若，则， 连续抛掷两次骰子，得到的点数的基本事件总数为， 要恒成立，则 当时，，有1种情况； 当时，，有种情况； 当时，，有种情况； 所以目标事件个数为， 故所求概率为. 方法总结：. 对点训练 1．（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷两枚骰子，判断下列命题是否正确？并说明理由． (1)“出现两枚点数都是5”比“出现两枚点数都是4”的概率小； (2)“出现两枚点数之和为偶数”的概率是； (3)在计算“出现两枚点数之和的概率”问题中，“出现两枚点数之和为7”的概率最大． 【答案】(1)错，理由见解析 (2)对，理由见解析 (3)对，理由见解析 【考点】古典概型概率问题 【详解】（1）错，抛掷两枚骰子时，共有种基本事件， 而出现两枚点数都是5的只有，出现两枚点数都是4的只有， 而它们的概率均为，故原命题错误. （2）对，出现两枚点数之和为偶数的有, ，共18种， 抛掷两枚骰子时，共有种基本事件， 所以概率为，故原命题正确. （3）对，抛掷两枚骰子时，共有种基本事件， 出现两枚点数之和为7的共有， 共6种，其概率为，出现两枚点数之和为2的共有1种，为3的有2种， 为4的有3种，为5的有4种，为6的有5种，为8的有5种， 为9的有4种，为10的有3种，为11的有2种，为12的有1种， 故“出现两枚点数之和为7”的概率最大，即原命题正确. 四．独立事件辨析 例题1．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知甲､乙两袋中分别装有编号为的四个球.从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立.那么这三个命题中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【考点】独立事件辨析 【分析】根据事件相互独立性的定义进行判断. 【详解】由题意：，，， 因为事件：从甲袋中取出的球的编号是偶数，乙袋中取出的球的编号是奇数，所以 ， 因为事件：甲乙两袋中取出的球的编号都是奇数，所以， 因为事件：甲乙两袋中取出的球的编号都是偶数，， 则，，, 所以相互独立，相互独立，相互独立，所以D正确. 故选：D. 例题2．（23-24高二上·上海·期末）设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 . 【答案】3 【考点】独立事件辨析 【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1，结合相互独立事件，的概率满足，可判断（2）、（3）的正误；根据独立事件与互斥事件的性质，可判断（4）的正误.． 【详解】若，为互斥事件，且，， 则，故（1）错误； 若，，，则， 则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（2）正确； 若，，所以， 又，则， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（3）正确； 若，， 又，所以， 则事件，不能同时发生，故事件，为互斥事件，故（4）正确； 综上，正确命题的个数为3 . 故答案为：3. 方法总结：独立事件的判断依靠定义即验证是否成立。 对点训练 1．（23-24高三下·上海·阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 （用数字①②③作答） ①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B. 【答案】①②③ 【考点】独立事件辨析 【分析】利用古典概型分别求得事件的概率，再利用独立事件的概率公式逐一判断即可得解. 【详解】依题意，， ， 对于①，，所以与是相互独立本件； 对于②，，所以与是相互独立事件； 对于③，，所以与是相互独立事件. 故答案为：①②③. 2．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是 ． ①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；        ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立； ③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥；    ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立． 【答案】②③④ 【考点】独立事件辨析 【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断①②；若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间判断③④作答. 【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)， (男,女),(女,男)(男,男),(男,女),(女,男)，(男,女),(女,男)， 则M与N不互斥，①错误； ，，，则，所以M与N不相互独立，②正确； 若该家庭中有三个小孩， 样本空间为(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)， (男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)， (男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)， (男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，则M与N不互斥，③正确； ，，，于是，所以M与N相互独立，④正确． 所以说法正确的是②③④. 故答案为：②③④ 五．独立事件+互斥事件+对立事件概率综合 例题1．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【考点】互斥事件，对立事件，独立事件概率综合 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 【点睛】关键点睛：将甲最终获胜事件拆解为互斥事件的和，利用加法公式、乘法公式进一步得解. 例题2．（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 【答案】(1)样本空间见解析， (2)相互独立 【考点】互斥事件，对立事件，独立事件概率综合 【分析】（1）首先列举样本空间，再求事件，根据古典概型概率公式，即可求； （2）利用样本空间法，求，，以及，判断是否等于，即可判断是否独立. 【详解】（1）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件，其中 所以. （2）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件 ，其中， ，其中， 事件，, 所以，，, 因为，所以事件与事件相互独立. 方法总结：互斥事件，对立事件，独立事件的判断是高考的重点，判断时牢牢把握好定义。 对点训练 1．（23-24高三下·上海·阶段练习）三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 . 【答案】/ 【考点】互斥事件，对立事件，独立事件概率综合 【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案. 【详解】设比赛A获胜为事件M，比赛C获胜为事件N，比赛B获胜为事件Q， 且相互独立，则， 设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D， 则 . 故答案为：. 2．（23-24高二·上海·课堂例题）把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜，问： (1)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ (2)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ 【答案】(1)A、B两人应按来分奖金. (2)A、B两人应按来分奖金. 【考点】互斥事件，对立事件，独立事件概率综合 【分析】（1）根据互斥事件和相互独立事件的概率公式求出A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可. （2）由题意可知第一局A已经获胜，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后四局中再胜2局，依此信息结合互斥事件和相互独立事件的概率公式求出A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可. 【详解】（1）用事件“A最终获胜”，事件“接下去第一局A获胜”， “接下去第二局A获胜”，“接下去第三局A获胜”， 则， 由题意可知前两局A已经均获胜，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后三局中再胜一局， 所以，因为、与两两互斥， 所以 ， 所以A最终获胜的概率是，B最终获胜的概率是， 所以A、B两人应按来分奖金. （2）用事件“A最终获胜”，事件“接下去第局A获胜”，， 则， 由题意可知第一局A已经获胜，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后四局中再胜2局， 所以， 且由每局比赛是相互独立的得 ， ， ， ， ， ， 因为两两互斥， 所以 ， 所以A最终获胜的概率是，B最终获胜的概率是， 所以A、B两人应按来分奖金. 【点睛】思路点睛：对“在比分是的情况下，怎么分奖金公平”这个问题，用事件“A最终获胜”，事件“接下去第局A获胜”，.先由比分是得出第一局A已经获胜，从而根据五局三胜的规则得出A最终获胜只需在最后四局中再胜2局，进而得到，接着结合互斥事件和相互独立事件的概率公式求出即得到A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可得解. 1．（24-25高二·上海·课堂例题）一个口袋中装有3个白球和3个黑球． ①事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第一次摸出的是黑球； ②摸出后放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球； ③摸出后不放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球； ④一次摸两个球，共摸两次，事件A：第一次摸出颜色相同的球，事件B：第一次摸出颜色不同的球． 以上各组事件是独立事件的序号为 ． 【答案】② 【分析】本题根据独立事件、互斥事件的概念逐项判断即可得出答案. 【详解】对①，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球是互斥事件，故事件A与事件B不是独立事件； 对②，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，故事件A与事件B是独立事件； 对③，摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，故事件A与事件B不是独立事件； 对④，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球是互斥事件，故事件A与事件B不是独立事件. 故答案为：② 2．（23-24高二下·上海·期中）现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，得到甲乙丙个投掷一次，得到数字有种情况，结合题意，利用列举法，得到公差分别为和公差为的等差数列的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能，丙投1次也有10种可能， 所以甲乙丙一次投掷1次，记下数字有种情况， 这10个数字中选出3个，能构成等差数列的情况如下： 公差为0的等差数列有：；；；；，共有9种情况； 公差为1的等差数列有：；；；；，共有8种情况； 公差为2的等差数列有：；；；；，共有6种情况； 公差为3的等差数列有：；；；；，共有6种情况； 公差为4的等差数列有：；，共有2种情况； 其中，公差为的等差数列中第1项和第3项的数字交换， 分别构成公差为的等差数列， 所以构成等差数列的可能情况有：种， 所以甲乙丙一次投掷一次，三个数恰好构成等差数列的概率为. 故答案为：. 3．（23-24高三下·上海·阶段练习）非空集合中所有元素乘积记为．已知集合，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）． 【答案】 【分析】首先求出集合的非空子集，若为奇数，则中元素全部为奇数，求出集合的非空子集个数，即可得到为偶数的集合的个数，最后根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】集合的非空子集有个， 若为奇数，则中元素全部为奇数， 又的非空子集个数，共有个， 所以为偶数的共有种， 故为偶数的概率． 故答案为：． 4．（2024·上海闵行·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为 ． 【答案】 【分析】列举出的所有解析式，再找出其中的偶函数，即可得答案. 【详解】解：因为的定义域为，关于原点对称，值域为， 所以有，或，或 或，或，或， 共6种情况； 而当和时，满足是偶函数，有2种情况， 所以是偶函数的概率． 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·阶段练习）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若或，就称甲乙“心有灵犀”．现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】甲、乙的所有可能情况用二维有序数组表示： ， ， ， 总共有36种， 符合条件的有，共11种， 所以他们“心有灵犀”的概率为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 【答案】 【分析】由已知中事件A、B互斥，由它们都不发生的概率为，且，可求，进而根据对立事件概率公式得到答案. 【详解】解：事件A、B互斥，且， 它们都不发生的概率为， ，解得， , . 故答案为：. 7．（23-24高二下·上海浦东新·期末）设集合，其中，，从集合A中任取一个元素，使不等式成立的概率为 .（结果用含有n的式子表示） 【答案】 【分析】根据集合的定义和表示，以及两个基本原理分析即可得到答案. 【详解】由题意可知所以集合共有个，因为，，而且满足 ，故中至少有两个1，最多有个1， 从反面考虑， 若均取1，即取1或，则有个， 若均取0，则有1个， 若中只取一个1，其余全部为0，则有个， 故满足的集合有个， 故不等式成立的概率是， 故答案为：. 8．（23-24高二·上海·课堂例题）社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年，华纳（Stanley L. Warner）发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法．华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题，在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的．这样，应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他自己知道回答的是哪个问题．例如，在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验：袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球，运动员从中随意摸出1个小球．无关紧要的问题是：你摸出的小球是白色的吗？而敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗？然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．假设用这个方法调查了200名运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂． 【答案】 【分析】根据抛掷硬币出现正面的概率为，摸出的小球的是白色的概率也是，用这种方法用于个运动员，可得个运动员回答“是”，可得这人中有人回答“是”的运动中使用了兴奋剂，根据古典概率及概率的计算公式，即可求解. 【详解】因为掷硬币出现正面的概率是，大约有100人回答了第一个问题，因为摸出的小球的是白色或黑色的可能性是相同的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人回答了“是”，其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此我们估计这群人中大约有6%的人服用过兴奋剂． 9．（23-24高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 一小时内没有一台机床需要维护，即，计算即可； （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即，计算可得. 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 10．（23-24高二下·上海静安·期末）口袋里装有4个大小相同的小球．，其中两个标有数字1，两个标有数字2． (1)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？说明理由； (2)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．求大于2的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为放回口袋里后第二次再任意取一球，根据题意利用列表法，结合古典概型分析判断； （2）因为不放回口袋里后第二次再任意取一球，根据题意利用列表法，结合古典概型分析判断. 【详解】（1）记第一次取到小球上的数字为，第二次取到小球上的数字为，样本空间为， 则， 因为放回口袋里后第二次再任意取一球，则有： 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 2 3 3 4 4 2 3 3 4 4 可知：， 所以当时，其发生的概率最大，最大为. （2）记第一次取到小球上的数字为，第二次取到小球上的数字为，样本空间为 则， 因为不再放回口袋里，第二次再任意取一球，则有： 1 1 2 2 1 ╱ 2 3 3 1 2 ╱ 3 3 2 3 3 ╱ 4 2 3 3 4 ╱ 可知：， 所以大于2的概率. 11．（23-24高二下·上海·期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求； (3)若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证C、D是独立的. 【答案】(1) (2) (3)验证过程见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率求解； （2）利用古典概型的概率求解；    （3）利用古典概型的概率分别求得，，判断. 【详解】（1）若一次抽取张卡片，共包含、、、共个基本事件. 其中事件包含个基本事件   所以； （2）若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，共包含个基本事件， 其中事件包含3个基本事件   所以 （3）一次抽取张卡片,共包含个基本事件， 事件， 所以 事件，所以   当同时发生，即张卡片上数字之和是的倍数同时积是的倍数，只有一种取法， 所以   因为，                                所以事件与事件是独立的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$