专题04 球（考点解读+考点归纳+12类题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 专题04 球 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系．，与全国其他一些版本的教材不同 ． 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 1、球的定义及结构特征 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 【说明】 （1）、球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； （2）、思考：球和球面的区别？ 【解析】球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面及其围成的空间构成的几何体，而球面只指球的表面部分； （3）、球的截面是什么？ 【解析】球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． （4）、用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线， 按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图 ）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线 称为０度经线； 【链接】百度解释：同义词 经线纬线一般指经纬线 经线和纬线是人们为了在地球上确定位置和方向的，在地球仪和地图上画出来的，地面上并没有线。经纬线相互垂直。纬线是一条条长度不等的圆圈。最长的纬线，就是赤道。 经线是一条条长度相等的弧线，连接南北两极。因为经线指示南北方向，所以，经线又叫子午线。 国际上规定，把通过英国格林尼治天文台原址的经线，叫做0°经线，也叫本初子午线。在地球上经线指示南北方向，纬线指示东西方向。东西半球分界线：东经160° 西经20°。 经线：（1）定义：连接南北两极并且与纬线垂直相交的半圆；（2）特点：①指示南北方向（与赤道垂直） 　②每条经线都是半个圆 　③经线的长度全部相等；经线是连接南北两极并垂直于纬线的弧线，地球表面任意的两条经线长度相等，并且相交于南北两极点。通过英国伦敦格林尼治天文台旧址的那条经线是零度经线，也叫本初子午线。整个地球由本初子午线向东和向西分别分成180份，每一根经线都有其相对应的数值，也就是经度，每条经线之间相差1度。我国首都北京就位于东经116度经线上。 纬线：（1）定义：与地轴垂直，并环绕地球一周的圆圈；（2）特点：①指示东西方向（与地轴垂直） 　②每条纬线都是一个圆（除南极北极两点外） 　③不同纬度纬线的长度不相等（赤道是最长的纬线，越靠近两极越小）；纬线是与地轴垂直的线，沿着东西方向环绕地球一周，所有的纬度都是平行的，并与经线垂直。其中，赤道是最长的纬线，纬度为0度，整个地球沿着赤道向北和向南各分为90份，每份为1度。因此，南纬90度是南极，北纬90度是北极。我国首都； 2、球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 【链接】早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如下如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把如图补充完整并写出球的体积公式的证明； 【提示】半球截面面积可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解. 【解析】如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为， ，于是截面面积， 则可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积， 所以，取一个底面半径和高均为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面， 下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上，如图（2）， 用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面，可知圆环大圆半径为， 小圆半径为，圆环面积，所以， 则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即， 所以可得球的体积为； 3、球的表面积公式及其特征； 球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2， 即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形． 【链接】球的表面积就是球面的面积； 由球的定义可以看出，球面是由一条半圆弧绕其直径旋转一周而成的曲面，它不能像圆柱面、 圆锥面那样展开为平面图，求它的面积就不能化为平面的问题； 实际上，球面面积公式的严格推导或证明需要用到极限与微积分等工具，本教材中无法完整给出．作为替代，本小节给出球面面积公式，并描述一种证明的思路，等同学们学了更多数学知识后，就有可能对这种思路有更深的理解，甚至可以自己把它补成严格的数学证明； 题型1、有关球的定义与结构特征 例1、（1）下列说法： ①球面上四个不同的点一定不在同一平面内； ②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段； ③球面上任意三点可能在一条直线上； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面； 其中正确的序号是__________． 【说明】本题考查了熟练掌握球的定义与结构特征，弄清球的性质是准确作图解题的前提； （2）下列说法正确的是(　　) A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一条直线上 C．用一个平面截球，其截面是一个圆 D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 【说明】本题主要考查了球的定义与结构特征；简单旋转体判断问题的解题策略： 1、准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键. 2、解题时要注意两个明确：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线； 题型2、有关简单组合体的结构特征 例2、（1）如图。平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ） A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 【说明】对于非特殊几何体，会用柱体、椎体、球体进行“分解”与“拼接”，等价转化解之； （2）指出图中三个几何体的构成. 【说明】判断组合体构成的方法： 1、判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体； 2、组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证； 题型3、涉及球的有关计算 例3、（1）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系： 【说明】本题的求法与结论得关注； （2）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径． 【说明】本题考查了理解与用好球的轴截面； 1、利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键； 2、用平行于底面的平面去截柱、锥、台等空间图形，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解； 题型4、有关经线、纬线的简单计算 例4、（1）如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值为（ ） A．4︰5　 B．3︰4 C．1︰2　 D．1︰4 【说明】解答此类题的关键是知道与理解： 纬度与经度； （2）某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm， 如图所示，则该地球仪的半径是________cm. 【说明】本题主要考查了对经线、纬线概念的理解；由于是新教材，再加应用性极强，应关注； 题型5、与球有关的“新定义”题 例5、连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则下列真命题的序号是： ①弦AB，CD可能相交于点M ②弦AB，CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为1 题型6、对于球的体积公式的理解 例6、（1）若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的（ ） A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．2倍 （2）若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【说明】本题主要考查了球的体积公式与待定系数法； 题型7、球体积公式的简单应用 例7、（1）两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为（ ） A．2　　　B.　　　C.　　　D. （2）圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的 铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后， 水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm. 题型8、球的截面与体积的交汇 例8、（1）平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A．π B．4π C．4π D．6π 【说明】本题主要考查了有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决； （2）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm， 如果不计容器厚度，则球的体积为 cm3 【说明】球的截面问题的解题技巧 （1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面 中圆的问题； （2）解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成 的直角三角形，即R2＝d2＋r2.　 题型9、简单组合体与体积交汇 例9、（1）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________ 【说明】1．几何体表面积的计算：根据几何体的直观图所给的条件，确定几何体的形状，选择正确的平面图形的面积公式求解，注意表面积与底面积、侧面积的区别；2．几何体体积的计算：简单几何体可用体积公式直接求解，一些组合体的体积需用转换法、分割法、补形法等方法进行求解。 （2）如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴， 旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积；(其中∠BAC＝30°) 【说明】对于简单组合体的体积计算：分割与组合成柱体、椎体、台体与球还是关键； 题型10、有关求球的体积与表面积 例10、（1）球的体积是，则此球的表面积是（ ） A．12π B．16π C． D． （2）若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________． 【说明】本题主要考查了球的表面积公式与待定系数法；求球的体积与表面积的方法 1、要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解； 2、半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了； 题型11、有关求球的体积与表面积的交汇 例11、（1）已知球的直径为2，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比； 【说明】以上的解法关键是：想到与用好待定系数法； 题型12、与球的体积与表面积相关的综合题 例12、（1）若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积S正方体、S圆柱、S球的大小关系是 （2）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．； 【素养提升】 1、球与表面积的求法及注意事项 （1）要求球或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解． （2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积的相关题目也就简单了； 2、用一个平面截球所得截面的特征 （1）用一个平面去截球，截面是圆面． （2）球心和截面圆心的连线垂直于截面． （3）球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r＝. 1、若一个球的直径为 2，则此球的表面积为 2、若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 3、等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为 5、已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________． 6、一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了 (cm)； 7、两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为（ ） A．2∶3 B．4∶9 C．∶ D．∶ 8、如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是（ ） A．3∶2 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶1 9、某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积； 10、已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 专题04 球 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系．，与全国其他一些版本的教材不同 ． 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 1、球的定义及结构特征 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 【说明】 （1）、球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； （2）、思考：球和球面的区别？ 【解析】球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面及其围成的空间构成的几何体，而球面只指球的表面部分； （3）、球的截面是什么？ 【解析】球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． （4）、用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线， 按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图 ）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线 称为０度经线； 【链接】百度解释：同义词 经线纬线一般指经纬线 经线和纬线是人们为了在地球上确定位置和方向的，在地球仪和地图上画出来的，地面上并没有线。经纬线相互垂直。纬线是一条条长度不等的圆圈。最长的纬线，就是赤道。 经线是一条条长度相等的弧线，连接南北两极。因为经线指示南北方向，所以，经线又叫子午线。 国际上规定，把通过英国格林尼治天文台原址的经线，叫做0°经线，也叫本初子午线。在地球上经线指示南北方向，纬线指示东西方向。东西半球分界线：东经160° 西经20°。 经线：（1）定义：连接南北两极并且与纬线垂直相交的半圆；（2）特点：①指示南北方向（与赤道垂直） 　②每条经线都是半个圆 　③经线的长度全部相等；经线是连接南北两极并垂直于纬线的弧线，地球表面任意的两条经线长度相等，并且相交于南北两极点。通过英国伦敦格林尼治天文台旧址的那条经线是零度经线，也叫本初子午线。整个地球由本初子午线向东和向西分别分成180份，每一根经线都有其相对应的数值，也就是经度，每条经线之间相差1度。我国首都北京就位于东经116度经线上。 纬线：（1）定义：与地轴垂直，并环绕地球一周的圆圈；（2）特点：①指示东西方向（与地轴垂直） 　②每条纬线都是一个圆（除南极北极两点外） 　③不同纬度纬线的长度不相等（赤道是最长的纬线，越靠近两极越小）；纬线是与地轴垂直的线，沿着东西方向环绕地球一周，所有的纬度都是平行的，并与经线垂直。其中，赤道是最长的纬线，纬度为0度，整个地球沿着赤道向北和向南各分为90份，每份为1度。因此，南纬90度是南极，北纬90度是北极。我国首都； 2、球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 【链接】早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如下如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把如图补充完整并写出球的体积公式的证明； 【提示】半球截面面积可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解. 【解析】如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为， ，于是截面面积， 则可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积， 所以，取一个底面半径和高均为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面， 下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上，如图（2）， 用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面，可知圆环大圆半径为， 小圆半径为，圆环面积，所以， 则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即， 所以可得球的体积为； 3、球的表面积公式及其特征； 球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2， 即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形． 【链接】球的表面积就是球面的面积； 由球的定义可以看出，球面是由一条半圆弧绕其直径旋转一周而成的曲面，它不能像圆柱面、 圆锥面那样展开为平面图，求它的面积就不能化为平面的问题； 实际上，球面面积公式的严格推导或证明需要用到极限与微积分等工具，本教材中无法完整给出．作为替代，本小节给出球面面积公式，并描述一种证明的思路，等同学们学了更多数学知识后，就有可能对这种思路有更深的理解，甚至可以自己把它补成严格的数学证明； 题型1、有关球的定义与结构特征 例1、（1）下列说法： ①球面上四个不同的点一定不在同一平面内； ②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段； ③球面上任意三点可能在一条直线上； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面； 其中正确的序号是__________． 【提示】依据球的形成过程及相关概念判断； 【答案】②④； 【解析】作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误； 根据球的半径的定义可知②正确； 球面上任意三点一定不共线，故③错误； 用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确 【说明】本题考查了熟练掌握球的定义与结构特征，弄清球的性质是准确作图解题的前提； （2）下列说法正确的是(　　) A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一条直线上 C．用一个平面截球，其截面是一个圆 D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 【提示】理解球的定义； 【答案】D； 【解析】对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的； 【说明】本题主要考查了球的定义与结构特征；简单旋转体判断问题的解题策略： 1、准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键. 2、解题时要注意两个明确：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线； 题型2、有关简单组合体的结构特征 例2、（1）如图。平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ） A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 【提示】理解旋转体的定义与形成过程； 【答案】B； 【解析】该平面图形整体旋转一周是一个球，内部空白矩形旋转一周是一个圆柱,故阴影部分形成的几何体形状为一个球体中间挖去一个圆柱；故选B； 【说明】对于非特殊几何体，会用柱体、椎体、球体进行“分解”与“拼接”，等价转化解之； （2）指出图中三个几何体的构成. 【提示】注意结合特殊几何体进行“分解”与转化； 【解析】图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱. 图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到，其中四棱柱内接于圆锥. 图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到，其中三棱锥内接于球； 【说明】判断组合体构成的方法： 1、判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体； 2、组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证； 题型3、涉及球的有关计算 例3、（1）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系： 【提示】注意结合定义，转化为平面问题； 【答案】r＝； 【解析】球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝. 【说明】本题的求法与结论得关注； （2）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径． 【提示】注意利用球的结构特征，将空间问题转化为平面几何问题； 【解析】如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2， 球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R， 则πr＝5π，πr＝8π，所以，r＝5，r＝8， 又因为，R2＝r＋d＝r＋d， 所以，d－d＝8－5＝3， 即(d1－d2)(d1＋d2)＝3， 又d1－d2＝1， 所以，解得 则R＝＝＝3， 即球的半径等于3； 【说明】本题考查了理解与用好球的轴截面； 1、利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键； 2、用平行于底面的平面去截柱、锥、台等空间图形，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解； 题型4、有关经线、纬线的简单计算 例4、（1）如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值为（ ） A．4︰5　 B．3︰4 C．1︰2　 D．1︰4 【提示】注意理解“北纬60°”； 【答案】C 【解析】设赤道所在圆的半径为R，北纬60°所在圆的半径为r，由纬度定义可知，cos 60°＝＝.故所求比值即为两个圆半径之比值0.5； 【说明】解答此类题的关键是知道与理解： 纬度与经度； （2）某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm， 如图所示，则该地球仪的半径是________cm. 【提示】注意利用经线、纬线， 找隐含的几何条件； 【答案】4； 【解析】如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π， 则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°， 所以该地球仪的半径R＝＝4 cm； 【说明】本题主要考查了对经线、纬线概念的理解；由于是新教材，再加应用性极强，应关注； 题型5、与球有关的“新定义”题 连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则下列真命题的序号是： ①弦AB，CD可能相交于点M ②弦AB，CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为1 【答案】①③④； 【解析】球心到弦AB，CD的距离分别为3，2，又因为3>2，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为3＋2＝5； 故选①③④； 题型6、对于球的体积公式的理解 例6、（1）若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的（ ） A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．2倍 （2）若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【提示】注意公式V＝πR3的特征； 【答案】（1）C；（2）A； 【解析】（1）球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的倍， 所以球的体积扩大为原来的2倍． （1）设两球的半径分别为 R，r(R>r)，则由题意得 解得故 R－r＝1；所以，选 A； 【说明】本题主要考查了球的体积公式与待定系数法； 题型7、球体积公式的简单应用 例7、（1）两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为（ ） A．2　　　B.　　　C.　　　D. 【答案】C； 【解析】设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13， 得R＝； （2）圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的 铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后， 水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm. 【提示】注意待定系数法与球的体积公式的交汇； 【答案】4； 【解析】设铁球的半径为x cm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－πx3×3， 解得x＝4；答案：4； 题型8、球的截面与体积的交汇 例8、（1）平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A．π B．4π C．4π D．6π 【提示】注意利用球的对称性转化； 【答案】B 【解析】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点， 则OO′＝，O′M＝1； ∴OM＝＝，即球的半径为. ∴V＝π()3＝4π； 【说明】本题主要考查了有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决； （2）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm， 如果不计容器厚度，则球的体积为 cm3 【提示】注意用好球的体积公式； 【答案】π； 【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)， BM＝AB＝×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42， 所以R＝5，所以V球＝π×53＝π (cm3)． 【说明】球的截面问题的解题技巧 （1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面 中圆的问题； （2）解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成 的直角三角形，即R2＝d2＋r2.　 题型9、简单组合体与体积交汇 例9、（1）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________ 【提示】注意几何体间联系； 【答案】61π； 【解析】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝＝＝3，据此可得圆台的体积V＝π×3×(52＋5×4＋42)＝61π。 答案　61π 【说明】1．几何体表面积的计算：根据几何体的直观图所给的条件，确定几何体的形状，选择正确的平面图形的面积公式求解，注意表面积与底面积、侧面积的区别；2．几何体体积的计算：简单几何体可用体积公式直接求解，一些组合体的体积需用转换法、分割法、补形法等方法进行求解。 （2）如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴， 旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积；(其中∠BAC＝30°) 【提示】注意理解旋转体的定义与体积公式； 【解析】过C作CO1⊥AB于O1， 在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R， ∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R. AO1＝AC·sin 60°＝R， BO1＝AB－AO1＝，∴V球＝πR3. V圆锥AO1＝·π·2·R＝πR3， V圆锥BO1＝·π·2·R＝πR3， V几何体＝V球－V圆锥AO1－V圆锥BO1 ＝πR3－πR3－πR3＝πR3. 【说明】对于简单组合体的体积计算：分割与组合成柱体、椎体、台体与球还是关键； 题型10、有关求球的体积与表面积 例10、（1）球的体积是，则此球的表面积是（ ） A．12π B．16π C． D． （2）若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________． 【提示】主要用好球的表面积公式； 【答案】（1）B；（2） 【解析】（1）设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2；故球的表面积S表＝4πR2＝16π； （2）设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，则由题意得 ∴π(2R)2·h＝πR3，∴R＝h，r＝2h，∴l＝＝h， ∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，S球＝4πR2＝4πh2，∴＝＝； 【说明】本题主要考查了球的表面积公式与待定系数法；求球的体积与表面积的方法 1、要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解； 2、半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了； 题型11、有关求球的体积与表面积的交汇 例11、（1）已知球的直径为2，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比； 【提示】注意理解球的体积与表面积公式特征，并会用待定系数法； 【解析】（1）因为直径为2，所以半径R＝1，所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π， 体积V球＝πR3＝π×13＝π. （2）因为V球＝πR3＝π，所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π. （3）设三个球的半径分别为R1，R2，R3， ∵三个球的表面积之比为1∶4∶9， ∴4πR∶4πR∶4πR＝1∶4∶9， 即R∶R∶R＝1∶4∶9， ∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得R∶R∶R＝1∶8∶27， ∴V1∶V2∶V3＝πR∶πR∶πR＝R∶R∶R＝1∶8∶27. 【说明】以上的解法关键是：想到与用好待定系数法； 题型12、与球的体积与表面积相关的综合题 例12、（1）若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积S正方体、S圆柱、S球的大小关系是 【提示】注意几何体的几何量之间的关联； 【答案】S球＜S圆柱＜S正方体； 【解析】设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a， 则πr2·2r＝πR3＝a3，＝，＝2π， S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2， ＝＝·＝ ＜1， ＝＝·＝ ＞1；. （2）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．； 【提示】注意转化，将空间问题转化为平面计算； 【解析】如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1， 由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心， 设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1∈CM. 设O1M＝x，易知O1M⊥AB， 则O1A＝，O1C＝CM－O1M＝－x. 又O1A＝O1C，∴＝－x， 解得x＝.∴O1A＝O1B＝O1C＝. 在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R， 由勾股定理得＋＝R2，解得R＝， 则S球＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π. 【素养提升】 1、球与表面积的求法及注意事项 （1）要求球或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解． （2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积的相关题目也就简单了； 2、用一个平面截球所得截面的特征 （1）用一个平面去截球，截面是圆面． （2）球心和截面圆心的连线垂直于截面． （3）球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r＝. 1、若一个球的直径为 2，则此球的表面积为 【答案】4π； 【解析】因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S＝4πR2＝4π. 2、若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 【答案】3； 【解析】设此球的半径为 R，则 4πR2＝πR3，R＝3. 3、等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是 【答案】S正方体>S球； 【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3， ∴a＝，R＝ ，∴S正方体＝6a2＝6＝ ，S球＝4πR2＝ <；. 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为 【答案】16π； 【解析】设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意， 知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2， 则S球＝4πr2＝16π； 5、已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________． 【答案】π； 【解析】如图，设球O半径为R，则BH＝R，OH＝， 截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1， 由勾股定理得R2－2＝1，R2＝，S球＝4πR2＝π.； 6、一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了 (cm)； 【答案】； 【解析】设容器内的水面下降了h cm，则球的体积等于水下降的体积，即π·13＝π·22·h，解得h＝； 7、两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为（ ） A．2∶3 B．4∶9 C．∶ D．∶ 【答案】B； 【解析】设两个球的半径分别为r，R，则∶＝r3∶R3＝8∶27， 所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9. 8、如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是（ ） A．3∶2 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶1 【答案】D； 【解析】设球的半径为R，则球的表面积S表＝4πR2，圆柱的侧面积S侧＝2πR×2R＝4πR2， 所以S表∶S侧＝1∶1； 9、某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积； 【答案】该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝. 10、已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积． 【解析】如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R， 由6a2＝120，得a2＝20， 在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝a， 由勾股定理，得R2＝a2＋＝＝30. 所以半球的表面积为S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$