第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试A卷-2024-2025学年第一学期高一数学（人教A版2019必修第一册）（全国通用）

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试A卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．关于的一元二次不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知，求的最小值（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 7．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 11．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为3 B．的最大值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为2 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，求的取值范围 ． 13．若，则的最小值为 ． 14．已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 16．已知. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 17．已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，解关于x的不等式． 18．某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 19．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试A卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】作差后，即可判断不等式，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】 ， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 3．关于的一元二次不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对m进行分类讨论，结合判别式求得m的取值范围. 【详解】当时，不等式的解集不是空集，不符合题意， 当时，要使不等式的解集为空集， 则需，解得. 所以的取值范围是. 故选：B 4．已知，求的最小值（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用均值不等式求出最小值即可. 【详解】由，得，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1. 故选：D 5．函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为， 故选：B. 6．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】方程两边同时除以得，利用“1的代换”即可求解. 【详解】为正实数，方程两边同时除以得， ， 当且仅当即时等号成立， 故 的最小值为. 故选：B. 7．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案. 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 8．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系. 【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举反例可判断AD；利用不等式的性质可判断BC. 【详解】对于A，当时，则不成立，故A选项为假命题； 对于B，∵，∴，又，∴，故B选项为真命题； 对于C，由不等式的基本性质可得，C选项为真命题； 对于D，当，时，，则，故D选项为假命题. 故选：BC. 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 11．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为3 B．的最大值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】因为正实数m、n， 所以， 当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确； 由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确； 因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误； ，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 13．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定系数，则在上恒成立，利用二次函数的性质有即可求结果. 【详解】由题设，且，可得， 所以在上恒成立， 而在上递增，故只需即可， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 16．已知. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）由，得到，进而解不等式即可求解； （2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】（1）当时，， 即， 即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为16. （2）当时，，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 17．已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，解关于x的不等式． 【答案】(1)，． (2)答案见解析 【分析】（1）将不等式的解转化为对应方程的解，根据根与系数的关系解得答案. （2）变换得到，考虑，，，几种情况，解不等式得到答案. 【详解】（1）将代入，可得， 所以不等式即为不等式，可转化为， 所以原不等式的解集为， 所以． 综上，． （2）不等式可化为，即． 因为， 所以当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，； 当，即，原不等式的解集为． 18．某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【详解】（1）由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． （2）当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 19．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， . （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$