8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版 （2019）必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 【问题】何为表面积?怎么求表面积? 【例1】已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积. 【变式】已知正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm, 高为 cm, 求此正三棱台的表面积. 长方体体积: 正方体体积: (a,b,c分别是长方体的长、宽、高) 一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积 V棱柱=Sh 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 【祖暅原理】 “幂势既同,则积不容异”。 “幂”是截面积,“势”是立体的高。意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积相等,则体积相等。更详细点说就是,界于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个立体的体积相等。 D A B C E F F′ A′ E′ D′ B′ C′ 7 【思考】将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有什么关系?它们与三棱柱的体积有什么关系? 【结论】棱锥的体积等于同底等高的棱柱体积的 推广到一般的棱锥,你猜想棱锥的体积公式是什么? 高h 底面积S 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等,高也相等,那么,棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 因此,一般地,如果棱锥的底面面积为S,高为h,那么该棱锥的体积 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离. 9 【例2】如图, 一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m,公共面ABCD是边长为1m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米? 【变式】已知一个正四棱锥S-ABCD的侧棱长为5,底面的边长为6,求它的表面积与体积. 【思考】根据棱台定义,如何计算台体的体积? 设棱台的上、下底面面积分别为S′和S,高为h,那么台体的体积公式是什么? 棱台的高是指两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. 12 几何体 棱柱 棱台 棱锥 直 观 图 体 积 上底面缩小为一个点 S′=0 上底面扩大到与下底面全等 S′=S 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系: 【例3】已知有一正四棱台的上底边长为4cm,下底边长为8cm,高为3cm,求其体积. 【练】如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去三棱锥A1-ABD,求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积. 【变式】某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm,那么石凳的体积是多少? 注:等底、等高的两个棱柱的体积相同; $$