第12章《全等三角形》章节总复习（知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第12章《全等三角形》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练） 章节知识梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：全等图形 4 考点讲练2：全等三角形的性质 6 考点讲练3：全等三角形的判定 7 考点讲练4：直角三角形全等的判定 9 考点讲练5：全等三角形的判定与性质 11 考点讲练6：全等三角形的应用 12 考点讲练7：角平分线的性质 15 考点讲练8：作图—尺规作图的定义 16 中等题真题汇编练 18 培优题真题汇编练 24 章节知识梳理 知识点01：全等三角形的判定与性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 知识点02：全等三角形的证明思路 知识点03：角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 　 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理 　 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 知识点04：全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 高频易错知识点拨 知识点01：全等三角形的判定方法易错点 判定条件混淆： 学生容易混淆不同的判定方法，如将“边边边”（SSS）与“边角边”（SAS）或“角边角”（ASA）等判定条件混淆。每种判定方法都有其特定的条件和应用场景，混淆使用会导致错误的全等判定。 忽视隐含条件： 在证明两个三角形全等时，题目中可能隐含了公共边、公共角、对顶角相等或其他等量关系。学生如果忽视这些隐含条件，就难以找到正确的判定方法。 错误应用“HL”定理： 在直角三角形中，学生可能错误地认为只要斜边和一条直角边分别相等，就可以判定两个直角三角形全等（即“HL”定理）。然而，他们可能忽视了“HL”定理仅适用于直角三角形，且必须是斜边和一条直角边对应相等。 知识点02：全等三角形的性质应用易错点 对应边、对应角找不准： 在应用全等三角形的性质时，学生需要准确找出对应边和对应角。然而，由于图形复杂或题目表述不清，学生可能找错对应边和对应角，导致性质应用错误。 忽视全等三角形的传递性： 如果已知两个三角形分别与第三个三角形全等，那么这两个三角形也全等（全等三角形的传递性）。然而，学生可能忽视这一性质，导致在解题过程中增加不必要的步骤或错误地判定三角形全等。 知识点03：隐含条件的识别易错点 公共边、公共角的识别： 在证明三角形全等时，公共边和公共角是常见的隐含条件。然而，由于图形复杂或学生注意力不集中，他们可能忽视这些条件，导致无法找到正确的判定方法。 等角、等边的转化： 在某些情况下，题目中的等角或等边可以通过其他条件进行转化。然而，学生可能缺乏这种转化能力，导致无法充分利用题目中的条件来证明三角形全等。 考点讲练1：全等图形 【精讲题】（2024春•福田区期中）如图，在的正方形网格中，的度数为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023春•渠县期末）如图，在的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则和的关系是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2022秋•贵池区期末）如图，在网格中，　　． 【举一反三练3】（2022秋•张店区期中）我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题． 如图，已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形． 下列四个条件：①；②；③；④ （1）其中，符合要求的条件是 　①②④　．（直接写出编号） （2）选择（1）中的一个条件，证明四边形四边形． 考点讲练2：全等三角形的性质 【精讲题】（2024春•连平县期末）如图，点在线段上，，，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三练1】（2022秋•奎文区校级月考）如图，，，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023秋•太康县期末）如图，已知，点在上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）已知，，求的度数． 【举一反三练3】（2023秋•新田县期末）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ． （1）如图（1），当　或　时，的面积等于面积的一半； （2）如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 考点讲练3：全等三角形的判定 【精讲题】（2023秋•来凤县期末）如图，点、在直线上，，，要使，还需要添加一个条件，给出下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【举一反三练1】（2024春•郓城县期末）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使，运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为　　 A． B． C．或 D．或 【举一反三练2】（2024春•南山区期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　 秒时，与全等． 【举一反三练3】（2023秋•望城区期末）如图，的两条高与交于点，，． （1）求的长； （2）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 考点讲练4：直角三角形全等的判定 【精讲题】（2024•西安区校级模拟）如图，点，在上，，，请添加一个条件 　 ，使． 【举一反三练1】（2022春•任城区期末）如图，已知在中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为、． （1）如图①过的直线与斜边不相交时，求证：； （2）如图②过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求：长． 【举一反三练2】（2019秋•北流市期末）如图（1），，，，，试说明的理由； 如图（2），若向右平移，使得点移到点，，，，，探索的结论是否成立，并说明理由． 【举一反三练3】（2022春•楚雄州期末）如图，在和△中，，，与分别为，边上的中线，且．求证：△． 考点讲练5：全等三角形的判定与性质 【精讲题】（2024•苏州模拟）如图所示，点、、、均在正方形网格格点上，则　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•秦安县期末）如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【举一反三练2】（2023秋•防城区期末）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【举一反三练3】（2023秋•渌口区期末）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 考点讲练6：全等三角形的应用 【精讲题】（2024春•郓城县期末）生活中的数学： （1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何知识是 　三角形的稳定性　； （2）如图2，把小河里的水引到田地处，若要使水沟最短，则过点向河岸作垂线，垂足为点，沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是 　　； （3）如图3，要测量池塘沿岸上两点、之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点是线段的中点，要想知道、之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【举一反三练1】（2022秋•石门县期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【举一反三练2】（2022•汉滨区四模）如图，一条河流旁边有两个村庄，，于．由于有山峰阻挡，村庄到河边的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点能到达，两个村庄，与，的连线夹角为，且与，的距离也相等，测量，的距离为，请求出村庄到河边的距离． 【举一反三练3】（2022秋•沙洋县校级期末）（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且 ，探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　 ； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以60海里小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 考点讲练7：角平分线的性质 【精讲题】（2024•武威二模）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【举一反三练1】（2024春•泰兴市期末）如图，在中，的平分线交于点，为上一点，，连结．若，周长为33，则的周长是 　 　． 【举一反三练2】（2023秋•梨树县期末）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【举一反三练3】（2023秋•黄冈期末）如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于． （1）求证：； （2）请你判断并与之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 考点讲练8：作图—尺规作图的定义 【精讲题】（2023秋•安顺期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．12 B．18 C．24 D．36 【举一反三练1】（2023秋•凉州区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2017秋•新化县期末）四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过，，三点，且点在点与点之间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线段，相交于点”画出图形（2）；丙同学读语句“点在直线上，点在直线外”画出图形（3）；丁同学读语句“点在线段的延长线上，点在线段的反向延长线上”画出图形（4）．其中画的不正确的是　　 A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【举一反三练3】（2023秋•诸暨市校级月考）如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①的角平分线； ②边上的中线． 中等题真题汇编练 1．（2023秋•青秀区校级月考）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”这样说的依据是　　 A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形角平分线的相交于一点 D．角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 2．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，平分，，．若，，则　　 A． B．14 C．15 D．13.5 3．（2023秋•瑶海区期末）如图，，，，于点，，，则的长为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•商水县期末）如图，中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法：①平分；②；③；④；⑤．其中正确的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2023秋•下陆区期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是　 　． 6．（2023秋•闽侯县期末）如图，中，是的角平分线，是的中线，若的面积是28，，，则的面积是 　　． 7．（2024春•抚州期末）如图，在中，，平分，于点，，，则的长为 　　． 8．（2023秋•东湖区校级期末）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为 　　． 9．（2024春•平舆县期末）在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1、2、3，水平放置的4个正方形的面积是、、、，则　　． 10．（2024•渠县校级模拟）如图，在中，于，于，为的平分线，的面积是，，，　　． 11．（2024•海淀区校级模拟）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 　　．（写出一个即可） 12．（2024春•城关区期末）如图，在三角形中，，点、、三点在同一条直线上，且，．求的度数． 13．（2024春•耀州区期末）如图，在中，是边的中点，点在上，点在延长线上，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，延长至点，当为多少时，．请补全图形并说明理由． 14．（2023秋•黄石港区期末）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，延长至点，使，连结． （1）求证：． （2）当，时，求的度数． 15．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是60，求的长． 16．（2024春•英德市期末）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处，测得河北岸的一棵树底部点恰好在点的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向正东走到点，此时恰好测得： 观测者从点向正东走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽的长度就是线段 　　的长度． （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得的长就是所求河宽的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽长，并说明方案的可行性． 培优题真题汇编练 17．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，在四边形中，，，连接，，．若是边上一动点，则长的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 18．（2024春•咸安区期末）如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和13，则的面积为　　 A．4 B．8 C．12 D．18 19．（2024春•渠县校级期末）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的选项为　　 A． ①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 20．（2023秋•石家庄期中）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，； ④若与全等，则或． 以上说法正确的选项为　　 A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 21．（2024春•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，点在第四象限，且，，则点的坐标是 　　． 22．（2023秋•义乌市期末）在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点（点不与点重合），以，，为顶点的三角形与全等，则满足条件的点的坐标为　　． 23．（2023秋•民权县期末）如图，在等腰中，，，点是线段上一点，，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④，其中正确的是 　　．（填序号） 24．（2023秋•滨州期末）如图，在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别为、，若，，则下列四个结论：①平分；②；③；④，其中结论正确的序号为 　　． 25．（2023秋•广水市期末）如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则　　． 26．（2022秋•锦江区校级期中）如图，、、、为四个全等的直角三角形，与、、分别交于点、、，且满足，则两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为 　　． 27．（2024春•任城区期末）已知：在中，，为的中点，，，垂足分别为点，，连接．求证：平分． 28．（2023秋•新乡期末）如图，为中线，点在上，交于点，，求证：． 29．（2024•高新区校级三模）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证： （1）； （2）． 30．（2023秋•天元区期末）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第12章《全等三角形》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练） 章节知识梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：全等图形 4 考点讲练2：全等三角形的性质 8 考点讲练3：全等三角形的判定 13 考点讲练4：直角三角形全等的判定 19 考点讲练5：全等三角形的判定与性质 22 考点讲练6：全等三角形的应用 27 考点讲练7：角平分线的性质 34 考点讲练8：作图—尺规作图的定义 41 中等题真题汇编练 44 培优题真题汇编练 63 章节知识梳理 知识点01：全等三角形的判定与性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 知识点02：全等三角形的证明思路 知识点03：角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 　 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理 　 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 知识点04：全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 高频易错知识点拨 知识点01：全等三角形的判定方法易错点 判定条件混淆： 学生容易混淆不同的判定方法，如将“边边边”（SSS）与“边角边”（SAS）或“角边角”（ASA）等判定条件混淆。每种判定方法都有其特定的条件和应用场景，混淆使用会导致错误的全等判定。 忽视隐含条件： 在证明两个三角形全等时，题目中可能隐含了公共边、公共角、对顶角相等或其他等量关系。学生如果忽视这些隐含条件，就难以找到正确的判定方法。 错误应用“HL”定理： 在直角三角形中，学生可能错误地认为只要斜边和一条直角边分别相等，就可以判定两个直角三角形全等（即“HL”定理）。然而，他们可能忽视了“HL”定理仅适用于直角三角形，且必须是斜边和一条直角边对应相等。 知识点02：全等三角形的性质应用易错点 对应边、对应角找不准： 在应用全等三角形的性质时，学生需要准确找出对应边和对应角。然而，由于图形复杂或题目表述不清，学生可能找错对应边和对应角，导致性质应用错误。 忽视全等三角形的传递性： 如果已知两个三角形分别与第三个三角形全等，那么这两个三角形也全等（全等三角形的传递性）。然而，学生可能忽视这一性质，导致在解题过程中增加不必要的步骤或错误地判定三角形全等。 知识点03：隐含条件的识别易错点 公共边、公共角的识别： 在证明三角形全等时，公共边和公共角是常见的隐含条件。然而，由于图形复杂或学生注意力不集中，他们可能忽视这些条件，导致无法找到正确的判定方法。 等角、等边的转化： 在某些情况下，题目中的等角或等边可以通过其他条件进行转化。然而，学生可能缺乏这种转化能力，导致无法充分利用题目中的条件来证明三角形全等。 考点讲练1：全等图形 【精讲题】（2024春•福田区期中）如图，在的正方形网格中，的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据正方形的轴对称性得，，，． 【规范解答】解：由图可知，所在的三角形与所在的三角形全等， 所以． 同理得，，． 又， 所以． 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．发现并利用全等三角形是解决本题的关键． 【举一反三练1】（2023春•渠县期末）如图，在的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则和的关系是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：如图， 在与中， ， ， ． ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【举一反三练2】（2022秋•贵池区期末）如图，在网格中，　　． 【思路点拨】由题意得，，，，用可证明，根据全等三角形的性质和外角和内角之间的关系即可得． 【规范解答】解：由题意得，，，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角与内角的关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 【举一反三练3】（2022秋•张店区期中）我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题． 如图，已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形． 下列四个条件：①；②；③；④ （1）其中，符合要求的条件是 　①②④　．（直接写出编号） （2）选择（1）中的一个条件，证明四边形四边形． 【思路点拨】（1）根据题意即可得到结论； （2）连接、，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：（1）符合要求的条件是①②④， 故答案为：①②④； （2）选④， 证明：连接、， 在与△中，， △， ，， ， ， ， 在和△中， ， △， ，，， ， 即， 四边形和四边形中， ，，，， ，，，， 四边形四边形． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 考点讲练2：全等三角形的性质 【精讲题】（2024春•连平县期末）如图，点在线段上，，，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】利用全等三角形的对应边相等解决问题，掌握全等三角形的性质的对应边相等是解题的关键． 【规范解答】解：，， ， 又， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等解决问题，掌握全等三角形的性质的对应边相等是解题的关键． 【举一反三练1】（2022秋•奎文区校级月考）如图，，，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据全等三角形的性质，等边对等角，逐项分析判断即可求解． 【规范解答】解：， ，故选项正确，不符合题意； ， ， ，故选项正确，不符合题意，； 如图所示， 连接， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ，故选项正确，不符合题意， ，， ，故选项错误，符合题意， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•太康县期末）如图，已知，点在上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）已知，，求的度数． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可． 【规范解答】解：（1），，， ，， ； （2），，， ，，， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•新田县期末）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ． （1）如图（1），当　或　时，的面积等于面积的一半； （2）如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【思路点拨】（1）分两种情况进行解答，①当点在上时，②当点在上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点移动的距离，从而求出时间即可； （2）由，可得对应顶点为与，与，与；于是分两种情况进行解答，①当点在上，，，②当点在上，，，分别求出移动的距离和时间，进而求出的移动速度． 【规范解答】解：（1）①当点在上时，如图①， 若的面积等于面积的一半；则， 此时，点移动的距离为， 移动的时间为：秒， ②当点在上时，如图① 若的面积等于面积的一半；则，即点为中点， 此时，点移动的距离为， 移动的时间为：秒， 故答案为：或； （2），即，对应顶点为与，与，与； ①当点在上，如图②所示： 此时，，， 点移动的速度为， ②当点在上，如图②所示： 此时，，， 即，点移动的距离为，点移动的距离为， 点移动的速度为， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好， 点的运动速度为或． 【考点评析】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键． 考点讲练3：全等三角形的判定 【精讲题】（2023秋•来凤县期末）如图，点、在直线上，，，要使，还需要添加一个条件，给出下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【思路点拨】添加条件，由判定，添加条件，由判定，由，得到，但，分别是，的对角，因此不能判定，由，得到，因此由判定． 【规范解答】解：， ， ， 添加条件，由判定， 故①符合题意； 添加条件，由判定， 故②符合题意； ， ， ，分别是，的对角， 不能判定， 故③不符合题意； ， ， 由判定， 故④符合题意． 其中符合要求的是①②④． 故选：． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 【举一反三练1】（2024春•郓城县期末）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使，运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为　　 A． B． C．或 D．或 【思路点拨】在于，条件下，使与全等，需要分类讨论． 【规范解答】解：设：，则， ， （1）当时，有，， 又， ， ． ； （2）当时，有，， 当时，有，， 又， ， ． ； 当时，有，， 又， ， ， ； 故选：． 【考点评析】本题考查全等三角形及分类讨论思想，正确分类才不会漏解． 【举一反三练2】（2024春•南山区期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　2或或12　秒时，与全等． 【思路点拨】点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算． 【规范解答】解：由题意得，，， ，， ，， ①如图1，在上，点在上时，作，， ， ， ， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， 当， 则， ． 解得：； ③如图3，当点与重合时，， ， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•望城区期末）如图，的两条高与交于点，，． （1）求的长； （2）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 【思路点拨】（1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【规范解答】解：（1），， ， ． 又，， ， ． （2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用． 考点讲练4：直角三角形全等的判定 【精讲题】（2024•西安区校级模拟）如图，点，在上，，，请添加一个条件 　（答案不唯一）　，使． 【思路点拨】根据直角三角形的判定方法解答即可． 【规范解答】解：添加， ， ， 即， 在与中， ， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【考点评析】此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明解答． 【举一反三练1】（2022春•任城区期末）如图，已知在中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为、． （1）如图①过的直线与斜边不相交时，求证：； （2）如图②过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求：长． 【思路点拨】（1）此题根据已知条件容易证明，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论； （2）根据（1）知道仍然成立，再根据对应边相等就可以求出了． 【规范解答】（1）证明：，， ， ，， ， 在和中， ，，， ． ，． ． （2）解：，， ， ，， ， 在和中， ，，， ． ，． ． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题． 【举一反三练2】（2019秋•北流市期末）如图（1），，，，，试说明的理由； 如图（2），若向右平移，使得点移到点，，，，，探索的结论是否成立，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据可得，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论． （2）根据可得，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论． 【规范解答】解：（1），， ． 在和中， ． ． ， ． ， 即； （2），， ． 在和中， ． ． ， ． ． 【考点评析】本题利用了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理等求解，移动题目这几年常常考，要注意掌握． 【举一反三练3】（2022春•楚雄州期末）如图，在和△中，，，与分别为，边上的中线，且．求证：△． 【思路点拨】根据证明和△全等，进而利用全等三角形的性质得出，进而利用证明全等即可． 【规范解答】证明：在和△中， ， △， ， 与分别为，边上的中线， ， 在和△中， ， △． 【考点评析】此题考查直角三角形的全等的判定，关键是根据证明和△全等解答． 考点讲练5：全等三角形的判定与性质 【精讲题】（2024•苏州模拟）如图所示，点、、、均在正方形网格格点上，则　　 A． B． C． D． 【思路点拨】证明，得，再由三角形的外角性质得，即可得出结论． 【规范解答】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•秦安县期末）如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】延长交于，先利用“ “证明，得出，，可判断①符合题意；由，，得出，得出，可判断②符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断③符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断④不符合题意． 【规范解答】解：如图，延长交于， ，分别为，边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 故①符合题意； ，， ， ， 故②符合题意； ，， ， ， ， 垂直平分， ，， 的周长， 故③符合题意； ， ， ， ， 故④不符合题意； 正确的有①②③． 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•防城区期末）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）直接利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，则，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【规范解答】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 又， ． 【考点评析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•渌口区期末）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【思路点拨】（1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论． 【规范解答】（1）证明： ，， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ，且， ， 在和中 ， ，， ． 【考点评析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． 考点讲练6：全等三角形的应用 【精讲题】（2024春•郓城县期末）生活中的数学： （1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何知识是 　三角形的稳定性　； （2）如图2，把小河里的水引到田地处，若要使水沟最短，则过点向河岸作垂线，垂足为点，沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是 　　； （3）如图3，要测量池塘沿岸上两点、之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点是线段的中点，要想知道、之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）由三角形的稳定性即可得出答案； （2）由垂线的性质：垂线段最短，即可得到答案； （3）首先证明，根据全等三角形的性质可得． 【规范解答】解：（1）一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性； （2）把小河里的水引到田地处，若使水沟最短，则过点向河岸作垂线，垂足为点，沿挖水沟即可，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短； （3）这样做合适， 理由：， ， 在与中， ， ， ． 【考点评析】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形，对应边相等． 【举一反三练1】（2022秋•石门县期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【思路点拨】探索延伸：延长到，使，连接，证明和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可． 【规范解答】解：初步探索：， 故答案为：， 探索延伸：结论仍然成立， 证明：如图2，延长到，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 结论运用：解：如图3，连接，延长、交于点， ， ， ， ， ， 符合探索延伸中的条件 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 【举一反三练2】（2022•汉滨区四模）如图，一条河流旁边有两个村庄，，于．由于有山峰阻挡，村庄到河边的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点能到达，两个村庄，与，的连线夹角为，且与，的距离也相等，测量，的距离为，请求出村庄到河边的距离． 【思路点拨】如图，过点作于点，构造全等三角形：，由该全等三角形的对应边相等得到：． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ， （同角的余角相等）． 在与中， ． ． ．即村庄到河边的距离是150米． 【考点评析】考查了全等三角形的应用，一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【举一反三练3】（2022秋•沙洋县校级期末）（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且 ，探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以60海里小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【思路点拨】（1）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）连接，延长、相交于点，然后与（2）同理可证． 【规范解答】解：（1），证明如下： 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为． （2）结论仍然成立； 理由：延长到点．使．连接，如图2， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，延长、相交于点， ，， ， 又，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 考点讲练7：角平分线的性质 【精讲题】（2024•武威二模）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】（1）作于，证明，得到，同理可证即可得到结论； （2）根据角平分线的判定定理解答即可； （3）根据全等三角形的性质证得，，再根据四边形内角和即可证得和关系． 【规范解答】解：（1）证明：作于， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 同理，， ， （1）正确； （2）与（1）可知：， 又于，于， 点在的平分线上， （2）正确； （3）， 又， ， 即， 由（1）知：， ， 同理：， ， 即， ， （3）错误； 故选：． 【考点评析】本题考查的是角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，多边形内角和，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【举一反三练1】（2024春•泰兴市期末）如图，在中，的平分线交于点，为上一点，，连结．若，周长为33，则的周长是 　15　． 【思路点拨】根据条件先证明得到，继而利用代入数据计算即可． 【规范解答】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：15． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是关键． 【举一反三练2】（2023秋•梨树县期末）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据角平分线的性质得到，根据直角三角形全等的判定定理得到，根据全等三角形的性质定理得到答案； （2）根据全等三角形的性质定理得到，根据（1）的结论得到答案． 【规范解答】证明：（1）平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）． ， ， ， ， ， 即． 【考点评析】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法． 【举一反三练3】（2023秋•黄冈期末）如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于． （1）求证：； （2）请你判断并与之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【思路点拨】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质得出即可； （2）首先过点作于．作于，连接，根据角平分线的性质，可得，又由在中，，，求得，又由，利用，即可证得，由全等三角形的对应边相等，即可证得； （3）过点作于．作于，连接，根据角平分线的性质，可得，由，即可求得，，继而求得，利用，即可证得，由全等三角形的对应边相等，即可证得． 【规范解答】解：（1）、分别是、的平分线， ，， ，， ； （2）相等， 理由：如图①，过点作于．作于，连接， 是角平分线交点， 也是角平分线， ，， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）成立． 理由：如图②，过点作于．作于，连接， 是角平分线交点， 也是角平分线， ，， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ． 又，， ， 在和中， ， ． 【考点评析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 考点讲练8：作图—尺规作图的定义 【精讲题】（2023秋•安顺期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．12 B．18 C．24 D．36 【思路点拨】过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【规范解答】解：过点作于点， 根据题意得，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查角分线的尺规作图和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 【举一反三练1】（2023秋•凉州区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】如图，由作图可知，，．根据证明． 【规范解答】解：如图，由作图可知，，． 在和中， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查作图尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【举一反三练2】（2017秋•新化县期末）四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过，，三点，且点在点与点之间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线段，相交于点”画出图形（2）；丙同学读语句“点在直线上，点在直线外”画出图形（3）；丁同学读语句“点在线段的延长线上，点在线段的反向延长线上”画出图形（4）．其中画的不正确的是　　 A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【思路点拨】利用直线与点的关系分析． 【规范解答】解：观察图形可知，图形（1）、图形（2）、图形（3）；都符合要求； 图形（4）点在线段的延长线上，点在线段的反向延长线上，不符合要求． 故画的不正确的是丁同学． 故选：． 【考点评析】本题比较简单，考查的是直线与点的关系，线段相交的特点，锻炼了学生观察事物的能力． 【举一反三练3】（2023秋•诸暨市校级月考）如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①的角平分线； ②边上的中线． 【思路点拨】（1）根据角平分线的作法作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可． 【规范解答】解：（1）如图所示； （2）如图所示． 【考点评析】本题考查了作图尺规作图的定义，三角形的角平分线、中线和高，正确地作出图形是解题的关键 中等题真题汇编练 1．（2023秋•青秀区校级月考）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”这样说的依据是　　 A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形角平分线的相交于一点 D．角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 【思路点拨】角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，由此即可得到答案． 【规范解答】解：“射线就是的角平分线．”这样说的依据是角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． 故选：． 【考点评析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． 2．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，平分，，．若，，则　　 A． B．14 C．15 D．13.5 【思路点拨】由“”可证，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【规范解答】解：，， ，， ， 平分， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2023秋•瑶海区期末）如图，，，，于点，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，就可以求出的值． 【规范解答】解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ．． ，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 4．（2023秋•商水县期末）如图，中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法：①平分；②；③；④；⑤．其中正确的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】作于点，由，，根据角平分线的性质得，，则，即可证明平分，可判断①正确；因为，所以，可判断②正确；由，，可证明，则，可判断③正确；由，，根据“”证明，得，，同理，则，，即可推导出，，则，可判断④正确，⑤正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：作于点， ，的平分线，交于点，，， ，，， ， 点在的平分线上， 平分， 故①正确； ， ， 故②正确； ，， ， ， 故③正确； 在和中， ， ， ，， 同理， ，， ， ，， 故④正确，⑤正确， 故选：． 【考点评析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、四边形的内角和等于等知识，正确地作出的需要的辅助线是解题的关键． 5．（2023秋•下陆区期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是　　． 【思路点拨】过和分别作于，于，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标． 【规范解答】解：过和分别作于，于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 则点的坐标是， 故答案为：． 【考点评析】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线各种全等三角形． 6．（2023秋•闽侯县期末）如图，中，是的角平分线，是的中线，若的面积是28，，，则的面积是 　8　． 【思路点拨】过点作，垂足为，过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，从而利用三角形的面积公式可得，然后求出的面积，最后根据是边上的中线，可得的面积的面积，从而进行计算即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 是的平分线，，， ， ，， ， 的面积是28， 的面积的面积， 是边上的中线， 的面积的面积， 故答案为：8． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 7．（2024春•抚州期末）如图，在中，，平分，于点，，，则的长为 　4　． 【思路点拨】由线段的和差关系可得的长，再根据角平分线的性质可得答案． 【规范解答】解：，， ， ， ， 平分，于点， ． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 8．（2023秋•东湖区校级期末）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为 　②③④　． 【思路点拨】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过点作于，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于，于，根据三角形的面积可证得④正确． 【规范解答】解：和的平分线，相交于点， ，， ，故①错误； 过点作于， 平分，， ， ， ，故②正确； ， ， ，分别是与的平分线， ， ， ， ， 如图，在上取一点，使， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； 作于，于， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， ， ， ，故④正确． 综上，②③④正确． 故答案为：②③④． 【考点评析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的判定和性质定理等知识，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 9．（2024春•平舆县期末）在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1、2、3，水平放置的4个正方形的面积是、、、，则　4　． 【思路点拨】先根据正方形的性质得到，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得到． 【规范解答】解：如图， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， 同理可得， ． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质、也考查了勾股定理和正方形的性质，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 10．（2024•渠县校级模拟）如图，在中，于，于，为的平分线，的面积是，，，　2　． 【思路点拨】根据的面积是，列式得，再进行化简计算，即可作答． 【规范解答】解：中，于，于，为的平分线 的面积是， ， 则， ， 解得， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 11．（2024•海淀区校级模拟）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 　（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【思路点拨】添加，通过“”即可证明． 【规范解答】解：添加， ，是的两条高线， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查了添加条件使三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 12．（2024春•城关区期末）如图，在三角形中，，点、、三点在同一条直线上，且，．求的度数． 【思路点拨】证明，得出，则可得出答案． 【规范解答】解：， ， ，， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证得是解题的关键． 13．（2024春•耀州区期末）如图，在中，是边的中点，点在上，点在延长线上，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，延长至点，当为多少时，．请补全图形并说明理由． 【思路点拨】（1）证出，，根据可得出结论； （2）延长至点，连接．由（1）得，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【规范解答】（1）证明：是边的中点， ， 又， ，， 在和中， ， ； （2）解：当时，． 理由：延长至点，连接． 由（1）得， ，， ， ， 又， ， ， ． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 14．（2023秋•黄石港区期末）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，延长至点，使，连结． （1）求证：． （2）当，时，求的度数． 【思路点拨】（1）由是边上的中线，得到，于是得到结论； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可以解决问题． 【规范解答】（1）证明：是边上的中线， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是60，求的长． 【思路点拨】（1）是；理由：由（2）判定，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）如图，过点作于点．由三角形的面积公式作答即可． 【规范解答】解：（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ， ． ， 平分． （2）如图，过点作于点． 平分，， ． ， ． ． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的定义．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 16．（2024春•英德市期末）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处，测得河北岸的一棵树底部点恰好在点的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向正东走到点，此时恰好测得： 观测者从点向正东走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽的长度就是线段 　　的长度． （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得的长就是所求河宽的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽长，并说明方案的可行性． 【思路点拨】（1）判定是等腰直角三角形，即可得到， （2）由证明，推出， （3）由证明，推出． 【规范解答】解：（1），， 是等腰直角三角形， ， 河宽的长度就是线段的长度． 故答案为：； （2）第二小组的方案可行，理由如下： 是中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 河宽的长度就是线段的长度． （3）见表格， 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向正东走到点，此时恰好测得： 观测者从点向正东走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上 观测者从点向正西走到点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于， 测量示意图 只要测出的长，就能推算出河宽长，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， 河宽的长等于线段的长． 【考点评析】本题考查全等三角形的应用，关键是设计出全等三角形，即可求出河的宽度． 培优题真题汇编练 17．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，在四边形中，，，连接，，．若是边上一动点，则长的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】根据垂线段最短得出当时，的长度最小，求出，根据角平分线的性质得出即可得出结论． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， 当时，的长度最小， ， ， ， 的最小值是4， 故选：． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当时，的长度最小是解此题的关键． 18．（2024春•咸安区期末）如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和13，则的面积为　　 A．4 B．8 C．12 D．18 【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【规范解答】解：，， ， 在和中， ， ， ， （如图），根据勾股定理得，得． 的面积的面积的面积． 故选：． 【考点评析】本题考查了对勾股定理的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 19．（2024春•渠县校级期末）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的选项为　　 A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】①若，即点的速度时点的2倍，即可求解； ②求出、的运动时间即可求解； ③证明，即可求解； ④若与全等，则且或且，即可求解． 【规范解答】解：①若，即点的速度时点的2倍，故点运动路程始终是点运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点到达的时间为：，当时，点到达点的时间为：，故②正确，符合题意； ③若，，时，如图， 假设， ， ， ， 而， ， 即， 而此时，，则，则， 而，则， 则，， 故， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，，则，，则， 若与全等， 则且或且， 即且或且， 解得：或， 故④正确，符合题意， 故选：． 【考点评析】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和相似、动点问题，分类求解是解题的关键． 20．（2023秋•石家庄期中）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，； ④若与全等，则或． 以上说法正确的选项为　　 A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】①若，即点的速度时点的2倍，即可求解； ②求出、的运动时间即可求解； ③证明，即可求解； ④若与全等，则且或且，即可求解． 【规范解答】解：①若，即点的速度时点的2倍，故点运动路程始终是点运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点到达的时间为：，当时，点到达点的时间为：，故②正确，符合题意； ③若，，时，如图， 假设， ， ， ， 而， ， 即， 而此时，，则，则， 而，则， 则， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，，则，，则， 若与全等， 则且或且， 即且或且， 解得：或， 故④正确，符合题意， 故选：． 【考点评析】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和相似、动点问题，分类求解是解题的关键． 21．（2024春•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，点在第四象限，且，，则点的坐标是 　　． 【思路点拨】过点作轴于点，根据证明，进而可得出结果． 【规范解答】解：过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 点在第四象限， 点的坐标为， 故答案为：． 【考点评析】此题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，坐标的象限． 22．（2023秋•义乌市期末）在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点（点不与点重合），以，，为顶点的三角形与全等，则满足条件的点的坐标为　，或或或，　． 【思路点拨】①如图1所示，当时，即，过作于，过作于，则，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，，于是得到点的坐标；②如图2，当时，即，，点的四边是平行四边形，求得，过作于，过作于，则，如图3，当时，过作于，过作于，则，如图4，当时，过作于，连接，同理，，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【规范解答】解：以，，为顶点的三角形与全等， ①如图1所示，当时， 即， 过作于，过作于， 则， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标为，； ②如图2，当时， 即，， 四边形是平行四边形， ， 过作于，过作于， 则， ， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ，， 点的坐标为， 如图3，如图3，当时， 过作于，过作于， 则， ， ，， ， 和是等腰直角三角形， ， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 连接， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（不合题意舍去）， ； 如图4，当时， 过作于，连接， 同理，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 综上所述，点的坐标为，或或或，． 故答案为，或或或，． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23．（2023秋•民权县期末）如图，在等腰中，，，点是线段上一点，，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④，其中正确的是 　①③④　．（填序号） 【思路点拨】连接，由，，求得，由，证明垂直平分，则，而，所以，则，可证明，得，所以，可判断①正确；由，可判断②错误；在上截取，连接，设交于点，则，所以是等边三角形，则，，由，，证明是等边三角形，所以，，可判断④正确；再证明，得，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接， ，， ， 点是线段上一点，， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故①正确； ，， ， 故②错误； 在上截取，连接，设交于点， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ，， 故④正确； ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确， 故答案为：①③④． 【考点评析】此题重点考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（2023秋•滨州期末）如图，在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别为、，若，，则下列四个结论：①平分；②；③；④，其中结论正确的序号为 　①②③　． 【思路点拨】①根据角平分线的性质可对结论①进行判断； ②先依据“”判定和全等，进而根据全等三角形的性质可对结论②进行判断； ③先由得，再根据平分得，由此可得，据此可对结论③进行判断； ④不妨假设，根据全等三角形的性质得，此时点为边上的中点，这与是边上的点相矛盾，故得假设是错误的，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：①，，， 点在的平分线上， 平分， 故结论①正确； ②，， ， 在和中， ， ， ， 故结论②正确； ③， ， 平分， ， ， ， 故结论③正确； ④不妨假设， ， 点为边上的中点， 这与是边上的点相矛盾， 假设是错误的， 结论④不正确． 综上所述：正确结论是①②③． 故答案为：①②③． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质是解决问题的关键． 25．（2023秋•广水市期末）如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则　　． 【思路点拨】过点作，交的延长线于，首先证明，再利用证明，得，，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题． 【规范解答】解：过点作，交的延长线于， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，有一定的难度． 26．（2022秋•锦江区校级期中）如图，、、、为四个全等的直角三角形，与、、分别交于点、、，且满足，则两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为 　　． 【思路点拨】利用全等三角形的性质，得到四边形和四边形 为正方形，利用等腰三角形的性质可得，，设，，则，，利用平行线分线段成比例定理得到，再利用三角形的面积公式和正方形的面积公式分别计算两个阴影部分的面积和与四边形面积，则结论可得． 【规范解答】解：、、、为四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形． 、、、为四个全等的直角三角形， ，， ， ， 即， 四边形为正方形． ， ， ， ， 同理：， ， 设，， 则，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． ， 两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的证明和列代数式，解题的关键是求得图中直角三角形的直角边的长度和图中小正方形的边长． 27．（2024春•任城区期末）已知：在中，，为的中点，，，垂足分别为点，，连接．求证：平分． 【思路点拨】根据证明，可得，利用角平分线的性质可证明结论． 【规范解答】证明：，， ． 又为的中点， ． 在与中， ． ． ． 又，， 平分． 【考点评析】本题主要考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． 28．（2023秋•新乡期末）如图，为中线，点在上，交于点，，求证：． 【思路点拨】延长到点，使，连接，可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，，由，得，可推导出，得，所以． 【规范解答】证明：延长到点，使，连接， 为中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 29．（2024•高新区校级三模）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理可得； （2）由已知可得，又因为，所以根据可判定． 【规范解答】证明：（1），， ， 即． （2）， ， 即． ，， ， ． 【考点评析】此题考查学生对三角形内角和定理及全等三角形的判定的理解及运用．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 30．（2023秋•天元区期末）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 【思路点拨】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得即可得出答案； （3）由，，，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， ； （3）解：，， ， 在和中，， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为6． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$