12.4 证明三角形全等的解题方法与模型（辅助线作法）（知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.4 证明三角形全等的解题方法与模型（辅助线作法） （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 考点讲练1：一线三等角构造全等模型 4 考点讲练2：手拉手模型（旋转型全等） 6 考点讲练3：倍长中线模型 8 考点讲练4：平行线+线段中点构造全等模型 10 考点讲练5：角平分线+垂直构造全等模型 12 考点讲练6：正方形中的半角模型 13 考点讲练7：等腰三角形中的半角模型 16 考点讲练8：对角互补且一组邻边相等的半角模型 18 考点讲练9：边边角模型 21 中等题真题汇编练 22 培优题真题汇编练 26 知识点1：平移模型 沿一边所在直线平移可使两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 知识点2：轴对称模型 所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合.图示: 常用解题思路: （1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等; （2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等 知识点3：旋转模型 1.不共顶点:绕某一顶点旋转,再平移后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的和差、公共边等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 2.共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的中点等得到对应边相等;（2）利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等. 知识点4：一线三等角模型 三等角()在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角.特别地,等角为直角时,称为一线三垂直模型).图示: 常用解题思路: (1)等角为锐角或钝角时,利用已知等角三角形的内角和及外角等得到对应角相等; (2)等角为直角时,利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等 知识点5：倍长中线模型 适用条件:已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题. 已知:如图,在中,是边上的中线 作法:如图,延长至点,使,连接.结论:(SAS) 知识点6：半角模型 1. 等边三角形含半角 已知:是等边三角形,, , 结论:, 2. 正方形含半角 已知:四边形是正方形,. 结论:,. 3. 等腰直角三角形含半角 已知:是等腰直角三角形,,. 结论:. 知识点7：手拉手模型 已知:在和中, , 连接相交于,连接 结论1:, 结论2:, 结论3:平分. 知识点8：截长补短模型 适用条件:已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题. 已知：如图,在中,平分 1. 截长法 作法:如图,在上取一点,使,连接，结论: 2. 补短法： 作法:如图,延长至点,使,连接，结论: 考点讲练1：一线三等角构造全等模型 【典例精讲】（2023秋•龙华区校级期末）如图，中，，，点、分别在、上（点不与、两点重合），且，若，则的长为 　 　． 【举一反三1】（2024春•康平县期末）（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，、三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点，、、互不重合，在运动过程中线段的长度始终为，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 【举一反三2】（2023秋•新野县期末）如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当他在甲房间时，测得 米，米，且，求甲房间的宽； （2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得米，且，． ① 的度数； ②求乙房间的宽． 考点讲练2：手拉手模型（旋转型全等） 【典例精讲】（2024春•宁阳县期末）如图，点是轴上一个定点，点从原点出发沿轴的正方向移动，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法错误的是　　 A． B． C．直线与轴所夹的锐角恒为 D．随点的移动，线段的值逐渐增大 【举一反三1】（2023秋•河东区期末）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【举一反三2】（2023秋•临邑县期末）如图，，点为的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④的周长保持不变．其中说法正确的是 　 　（填序号）． 【举一反三3】（2023秋•华亭市校级期末）（1）如图（1），和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接．则的度数为 　90　度，线段与的数量关系为 　　（用几何语言填写）． （2）如图（2），和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．若，求与的位置关系． 考点讲练3：倍长中线模型 【典例精讲】（2023秋•临江市期末）已知是的边上的中线，，，则中线的取值范围是　　 A． B． C． D．以上都不对 【举一反三1】（2024春•滕州市期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】：（1）图1中与的数量关系是 　　，位置关系是 　　； 【初步应用】：（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则． 【探究提升】：（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【举一反三2】（2024•邢台模拟）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：． 【举一反三3】（2023秋•呼和浩特期末）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 考点讲练4：平行线+线段中点构造全等模型 【典例精讲】（2024春•南海区月考）如图，梯形中，，是的中点，恰好是平分，若，，则的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【举一反三1】（2023秋•宝安区期末）如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点． （1）下列条件： ①点是的中点； ②点是的中点； ③点是的中点． 请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； （2）若，且，，，求的长． 【举一反三2】（2023•大安市三模）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题．（不需证明） 【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为　　． 考点讲练5：角平分线+垂直构造全等模型 【典例精讲】（2024•济南二模）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2023秋•巴中期末）如图，为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【举一反三3】（2023秋•潢川县期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）　 　，　　度； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形，求的度数； （4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 考点讲练6：正方形中的半角模型 【典例精讲】（2022秋•广饶县校级期末）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图，求证：； （2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是 　　； （3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明． 【举一反三1】（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：； （2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长． 【举一反三2】（2017•南山区三模）把一个含的三角板的锐角顶点与正方形的顶点重合，然后把三角板绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、． （1）当三角板绕点旋转到图（1）的位置时，求证：． （2）当三角板绕点旋转到图（2）的位置时，试判断线段、、之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【举一反三3】（2015•重庆开学）阅读下列学习内容： （1）如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为 　　． （2）根据上面的方法，解决问题： 如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且， 上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． 考点讲练7：等腰三角形中的半角模型 【典例精讲】（2023秋•宿迁期末）如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　． 【举一反三1】（2023•长春模拟）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的和，点、、依次在同一条直线上，连接．若，，则点到直线的距离为 　　． 【举一反三2】（2023秋•新城区校级期中）中，，，是线段上的一个动点． （1）如图，若与重合，平分，，垂足在的延长线上，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）若在线段上且不与，重合，在线段上，且，过作，垂足在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【举一反三3】（2021秋•渝中区校级期末）如图，中，，，、为边上两点，，过点作，且，连接、．下列结论：①，②平分；③若，，则；④若，，其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练8：对角互补且一组邻边相等的半角模型 【典例精讲】（2024春•乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 【举一反三1】（2022秋•石门县期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【举一反三2】（2021秋•邗江区期末）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【举一反三3】（2021秋•九台区期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容． 已知：如图13.5.4，是的平分线，是上任意一点，，，垂足分别为点和点． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，是上任意一点，点，分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为 　 　． 考点讲练9：边边角模型 【典例精讲】（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【举一反三2】（2022秋•新昌县期末）为了测出池塘两端， 的距离，小红在地面上选择了点，，，使，，且点，，和点，，分别都在一条直线上，小红认为只要量出，的距离，就能知道，小红是根据来判断的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是　　 A． B． C． D． 【举一反三3】（2023秋•新和县期中）如图，在东西走向的铁路上有，两站，在，的正北分别有，两个棉花种植场，其中到站的距离为25千米，到站的距离为15千米，在铁路上有一个棉花加工厂，棉花种植场，到的距离相等，且，则，两站的距离为 　40　千米． 中等题真题汇编练 1．（2024•武侯区校级三模）如图，，，三点在同一直线上，，添加下列条件仍不能证明的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•泰山区期末）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是　　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 3．（2023•三穗县校级一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于　　 A．1 B．2 C．3 D．5 4．（2022秋•海林市期末）如图所示，，，，、、三点共线，，，则　　 A． B． C． D．无法计算 5．（2023秋•大兴区期末）如图，，，要使，则需再添加一个条件是 　　（写出一个即可）． 6．（2023春•孝感期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为 　　． 7．（2022秋•千山区期末）如图，在平面直角坐标系中，，，是的中点，点的坐标是，则点的坐标为 　　． 8．（2022秋•香坊区期末）如图，等边中，于点，点、分别在边、上，连接，点在上，连接，若，，，，则　　． 9．（2023秋•武都区期末）如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． 10．（2023秋•鹿寨县期末）已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 11．（2022秋•庄浪县期末）如图，在中，是的角平分线，，垂足为，求证：． 12．（2023秋•泸县期中）如图，，，．点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时，点在线段上由点向点匀速运动，设运动时间为 ，点的运动速度为 ． （1）用含字母，的式子分别表示线段，，的长度； （2）当与全等时，求和的值． 培优题真题汇编练 13．（2022秋•孝感期末）如图，等腰中，，，点为直线上一动点，以线段为腰在右侧作等腰，且，连接，则的最小值为　　 A． B．4 C．6 D．8 14．（2023秋•聊城期中）如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为　　 A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 15．（2023秋•湖北月考）如图，在中，，，为边上的点，且，连接．过点作，并截取，连接交于点．则下列结论： ①； ②是的中点； ③； ④．其中正确的结论共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2024春•渠县期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于　　 A． B． C． D．不能确定 17．（2023秋•张家港市期末）如图，两条互相垂直的直线、交于点，一块等腰直角三角尺的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．已知，，则　　． 18．（2023秋•惠安县期末）如图是正方形网格图，点、、、、都是格点，则　　． 19．（2023秋•望花区期中）如图，为等腰直角三角形，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为． 20．（2022秋•闽清县期末）如图，，，，则下列结论正确的是：　　．（填序号） ①平分； ②； ③； ④． 21．（2023秋•永定区期末）在中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　　． 22．（2023秋•海珠区期末）如图，已知，，且，满足．点是线段中点，动点，分别在线段，上运动，且始终有． （1）请直接写出点和点的坐标； （2）请判断的形状并说明理由； （3）下列结论：①四边形周长为定值；②四边形面积为定值；③为定值．请选择一个正确的结论并说明理由． 23．（2023秋•道外区期末）中，，分别以、为边作等边、等边，、交于点，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：点是的中点； （2）如图2，连接，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角形（非等边三角形）． 24．（2023秋•台江区期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.4 证明三角形全等的解题方法与模型（辅助线作法） （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 考点讲练1：一线三等角构造全等模型 4 考点讲练2：手拉手模型（旋转型全等） 9 考点讲练3：倍长中线模型 16 考点讲练4：平行线+线段中点构造全等模型 24 考点讲练5：角平分线+垂直构造全等模型 29 考点讲练6：正方形中的半角模型 35 考点讲练7：等腰三角形中的半角模型 45 考点讲练8：对角互补且一组邻边相等的半角模型 52 考点讲练9：边边角模型 61 中等题真题汇编练 64 培优题真题汇编练 77 知识点1：平移模型 沿一边所在直线平移可使两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 知识点2：轴对称模型 所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合.图示: 常用解题思路: （1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等; （2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等 知识点3：旋转模型 1.不共顶点:绕某一顶点旋转,再平移后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的和差、公共边等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 2.共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的中点等得到对应边相等;（2）利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等. 知识点4：一线三等角模型 三等角()在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角.特别地,等角为直角时,称为一线三垂直模型).图示: 常用解题思路: (1)等角为锐角或钝角时,利用已知等角三角形的内角和及外角等得到对应角相等; (2)等角为直角时,利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等 知识点5：倍长中线模型 适用条件:已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题. 已知:如图,在中,是边上的中线 作法:如图,延长至点,使,连接.结论:(SAS) 知识点6：半角模型 1. 等边三角形含半角 已知:是等边三角形,, , 结论:, 2. 正方形含半角 已知:四边形是正方形,. 结论:,. 3. 等腰直角三角形含半角 已知:是等腰直角三角形,,. 结论:. 知识点7：手拉手模型 已知:在和中, , 连接相交于,连接 结论1:, 结论2:, 结论3:平分. 知识点8：截长补短模型 适用条件:已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题. 已知：如图,在中,平分 1. 截长法 作法:如图,在上取一点,使,连接，结论: 2. 补短法： 作法:如图,延长至点,使,连接，结论: 考点讲练1：一线三等角构造全等模型 【典例精讲】（2023秋•龙华区校级期末）如图，中，，，点、分别在、上（点不与、两点重合），且，若，则的长为 　2　． 【思路点拨】根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用一线三等角构造全等，从而利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【举一反三1】（2024春•康平县期末）（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，、三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点，、、互不重合，在运动过程中线段的长度始终为，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据同角的余角相等得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据补角的概念、三角形内角和定理得到，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （3）证明，得到，，进而得出，根据等边三角形的判定定理证明结论． 【规范解答】解：（1）， 理由如下：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）结论成立， 理由如下：，，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）为等边三角形， 理由如下：由（2）得，， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【考点评析】本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【举一反三2】（2023秋•新野县期末）如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当他在甲房间时，测得 米，米，且，求甲房间的宽； （2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得米，且，． ① 的度数； ②求乙房间的宽． 【思路点拨】（1）根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，再在中，利用勾股定理可求出的长，然后利用平角定义可得，从而可得，再利用证明，从而可得米，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）①利用平角定义进行计算，即可解答； ②过点作，垂足为，可得，根据题意可得：，从而可得是等边三角形，进而可得，，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，最后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得米，即可解答． 【规范解答】解：（1）由题意得：，，， ， ， 在中， 米，米， （米， ， ， ， ， 米， （米， 甲房间的宽为3.1米； （2）①，， ， 的度数为； ②过点作，垂足为， ， 由题意得：， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， 米， 乙房间的宽为2.8米． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 考点讲练2：手拉手模型（旋转型全等） 【典例精讲】（2024春•宁阳县期末）如图，点是轴上一个定点，点从原点出发沿轴的正方向移动，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法错误的是　　 A． B． C．直线与轴所夹的锐角恒为 D．随点的移动，线段的值逐渐增大 【思路点拨】根据等边三角形的性质，结合图形证明手拉手模型旋转型全等，即可判断，根据，可得，从而可得，即可判断，延长交轴于点，根据利用平角定义可求出，然后再利用三角形的外角求出，即可判断，根据，可得，根据的值是定值，即可判断． 【规范解答】解：．和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故不符合题意； ．， ， ， 故不符合题意； ．延长交轴于点， ， ， ，， ， ， 直线与轴所夹的锐角恒为， 故不符合题意； ．， ， 点是轴上一个定点， 的值是一个定值， 随点的移动，线段的值不变， 故符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 【举一反三1】（2023秋•河东区期末）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【思路点拨】延长交于点，交于点，根据等式的性质可得，从而利用证明，进而可得，，再根据已知可得，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用三角形内角和定理可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后根据对顶角相等可得，从而可得，从而利用三角形内角和定理可得：，即可解答． 【规范解答】解：延长交于点，交于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 所以，上列结论，其中不正确的有0个， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【举一反三2】（2023秋•临邑县期末）如图，，点为的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④的周长保持不变．其中说法正确的是 　①②③　（填序号）． 【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，想到过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明，，即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ，， 故①正确； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故②正确； ， 四边形的面积四边形的面积， 四边形的面积保持不变， 故③正确； ，， 是等边三角形， 的长度是变化的， 的周长是变化的， 故④错误； 所以，说法正确的是：①②③， 故答案为：①②③． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 【举一反三3】（2023秋•华亭市校级期末）（1）如图（1），和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接．则的度数为 　90　度，线段与的数量关系为 　　（用几何语言填写）． （2）如图（2），和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．若，求与的位置关系． 【思路点拨】（1）根据手拉手模型旋转型全等可得，然后利用全等三角形的性质可得，，再根据已知易得：，从而可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； （2）根据手拉手模型旋转型全等可得，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，即可解答． 【规范解答】解：（1）和均为等腰三角形，且， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：90；； （2）， 理由：和均为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 考点讲练3：倍长中线模型 【典例精讲】（2023秋•临江市期末）已知是的边上的中线，，，则中线的取值范围是　　 A． B． C． D．以上都不对 【思路点拨】延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【规范解答】解：如图，延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，， 即，， ， ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【举一反三1】（2024春•滕州市期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】：（1）图1中与的数量关系是 　　，位置关系是 　　； 【初步应用】：（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则． 【探究提升】：（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【思路点拨】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出， （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 【举一反三2】（2024•邢台模拟）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：． 【思路点拨】（1）先判断出，得出，最后用三角形的三边关系计算； （2）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； （3）延长到点，使，连接、、，先证明，得，根据三角形的三边关系得，则，由垂直平分得，所以． 【规范解答】（1）解：延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）延长到，使，连接，如图2， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接、， 是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ． 【考点评析】此题是三角形综合题，主要考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【举一反三3】（2023秋•呼和浩特期末）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 【思路点拨】（1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明△，得． 【规范解答】解：（1）， 证明：是等边三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ； （2）①当时， 则， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下： 延长到，使，连接，， 为的中点， ， 四边形为平行四边形， 且， ，， 又， ， ， 又，， △， ， 又为正三角形， ， ． 【考点评析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． 考点讲练4：平行线+线段中点构造全等模型 【典例精讲】（2024春•南海区月考）如图，梯形中，，是的中点，恰好是平分，若，，则的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【思路点拨】延长交延长线于，即可证得，则，根据等腰三角形的判定方法可以证得：即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交延长线于，， ，又，， ，又， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及等腰三角形的判定方法，等角对等边，正确作出辅助线是解决本题的关键． 【举一反三1】（2023秋•宝安区期末）如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点． （1）下列条件： ①点是的中点； ②点是的中点； ③点是的中点． 请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； （2）若，且，，，求的长． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定定理，由选择已知条件，证明即可； （2）由（1）可知，求出和，再利用勾股定理进行解答即可． 【规范解答】解：（1）选择②③， 选②时：，， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ； 选③时：，， ， ，， 点是中点， ， 在和中， ， ， ； （2），，，， ，， ，， ， ． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理和平行线的判定和性质，解题根据是熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理和平行线的判定和性质． 【举一反三2】（2023•大安市三模）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题．（不需证明） 【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为　　． 【思路点拨】【探究】分别延长、，交于点，根据已知条件可以得到，由此得到，又，，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明，即可得出结论． 【应用】延长交的延长线于．只要证明，推出，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题． 【规范解答】【探究】解：． 如图1，分别延长、，交于点， ， ，， 为边的中点， ， ， ， 又， 而， ， ， ． 【应用】解：如图2，延长交的延长线于． 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查正方形的性质、三角形的中线、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 考点讲练5：角平分线+垂直构造全等模型 【典例精讲】（2024•济南二模）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可． 【规范解答】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 【举一反三1】（2023秋•巴中期末）如图，为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】（1）在直角三角形中，利用可以证明； （2）根据，可以得到对应边相等，然后证明； （3）在直角三角形中，利用勾股定理，推导出； （4）利用余角和补角之间的关系，可以得出和之间的关系； （5）在直角三角形中斜边大于直角边，可以推导出． 【规范解答】解：（1）平分，，， ， 在和中， ， ， 又垂直平分交于点， ， 在和中， ， 故结论①符合题意； （2）， ， ，， ， 故结论②符合题意； （3）垂直平分， ，， 又，， ， 故结论③符合题意； （4）， ， ， ， 故结论④不符合题意； （5）， ， ，，， ， ， 在直角中，是斜边，是直角边， ， ， 故结论⑤符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查的重点是直角三角形全等的证明，线段的垂直平分线和角平分线的运用，学会灵活运用全等三角形知识构建边角之间的关系． 【举一反三2】（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【思路点拨】（1）过点作于点，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【规范解答】证明：（1）如图，过点作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ． （2），， ， 再和中， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【举一反三3】（2023秋•潢川县期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）　4　，　　度； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形，求的度数； （4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 【思路点拨】（1）根据题意可得，则，即可求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的度数． （2）根据轴对称图形的性质即可解答． （3）根据题意可得，分三种情况：当时；当时；当时．再依次根据三角形内角和定理即可求解． （4）过点作，作点关于的对称点，根据题意可得，，，根据可证明△，则，，因此，以此得出当点、、三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果． 【规范解答】解：（1），， ， ， 点是边的中点， ， 平分， ； 故答案为：4，45． （2）四边形为轴对称图形，平分， 对称轴为直线， ； （3）平分， ， 当时， ， ； 当时， ； 当时， ； 综上，的度数为或或． （4）如图，点在上，且，作点关于的对称点， ， ， 平分， ， 在和△中， ， △， ，， ， 当点、、三点共线时，的值最小， 又根据垂线段最短， 当时，有最小值， ， ，， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查轴对称最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点、、三点共线时，的值最小是解题关键． 考点讲练6：正方形中的半角模型 【典例精讲】（2022秋•广饶县校级期末）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图，求证：； （2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是 　　； （3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明． 【思路点拨】（1）过作于，根据全等求出，，求出，根据角平分线的性质求出，再求出答案即可； （2）证法与（1）类似，延长到，使，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可； （3）在上截取，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可． 【规范解答】（1）证明：如图1，过作于， 四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ，， ， ，， ， 即， ； （2）解：线段，和之间数量关系是，理由如下： 延长至，使得，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：； （3），理由如下： 如图3，在上截取，连接， 由（1）知， ，， ， ， ． 在和中， ， ， ， 即， ． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力． 【举一反三1】（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：； （2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长． 【思路点拨】（1）证，，根据全等三角形的性质求出即可； （2）过点作，垂足为点，截取，使．连接、．通过证明推知全等三角形的对应边、对应角；然后由等腰直角三角形的性质和得到，所以，故全等三角形的对应边；最后由勾股定理得到即． 【规范解答】（1）证明：在正方形中， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为点，截取，使．连接、． ，，． ，． 在和中， ， ． ，． ，， ． 于是，由， 得． 在和中， ， ． ． 在中，由勾股定理，得． ． ，， ， ． 【考点评析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题； 【举一反三2】（2017•南山区三模）把一个含的三角板的锐角顶点与正方形的顶点重合，然后把三角板绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、． （1）当三角板绕点旋转到图（1）的位置时，求证：． （2）当三角板绕点旋转到图（2）的位置时，试判断线段、、之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【思路点拨】（1）延长到，使，连接，先利用“”可判断，则，，由于，则得到，然后再根据“”证明，则，即，所以； （2）在上截取，与（1）一样先证明，得到，，再利用“”证明，得到，而，所以． 【规范解答】 （1）证明：延长到，使，连接，如图（1）， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即， ； （2）解：．理由如下： 在上截取，如图（2）， 与（1）一样可证明， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， ， 即． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“ ”、“ ”、“ ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质．也考查了正方形的性质． 【举一反三3】（2015•重庆开学）阅读下列学习内容： （1）如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为 　　． （2）根据上面的方法，解决问题： 如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且， 上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． 【思路点拨】（1）根据三角形的全等可得出线段、、之间的数量关系； （2）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）旋转至位置，证明，得到，即可解答． 【规范解答】解：（1）； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点．使．连接，如图2， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）四边形中，，， 四边形是正方形， 如图3，旋转至位置， ，，， 在和中， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 考点讲练7：等腰三角形中的半角模型 【典例精讲】（2023秋•宿迁期末）如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　． 【思路点拨】将逆时针旋转得到，连接，由条件可以得出为直角三角形，利用勾股定理就可以求出，通过证明三角形全等就可以，求出即可． 【规范解答】解：将逆时针旋转到，连接， ，，．， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了旋转的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定与性质，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中． 【举一反三1】（2023•长春模拟）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的和，点、、依次在同一条直线上，连接．若，，则点到直线的距离为 　　． 【思路点拨】首先根据等边三角形的性质得，，，，进而可得出，据此可依据“”判定和全等，从而得出，进而得，然后过点作于点，在中，利用勾股定理可求出的长． 【规范解答】解：和均为等边三角形， ，，，， ， ， 即：， 在和中， ， ， ， 即：， ，， ， ， 过点作，垂足为， 是等边三角形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：． 点到直线的距离为． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，解答此题的关键是理解等边三角形的三条边都相等；三个角都等于，美衣边上的高，中线与对角的平分线重合；难点是根据“”判定和全等． 【举一反三2】（2023秋•新城区校级期中）中，，，是线段上的一个动点． （1）如图，若与重合，平分，，垂足在的延长线上，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）若在线段上且不与，重合，在线段上，且，过作，垂足在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【思路点拨】（1）延长交延长线于点，根据，，可得再证明可得即可解决； （2）过作交延长线于点，交于点，证明，方法与（1）类似． 【规范解答】解：（1）， 理由：延长交延长线于点， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）， 理由：过作交延长线于点，交于点， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 同理可得：， ， ， ， ，， ， ， ． 【考点评析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定合性质，属于综合题，中考常考题型． 【举一反三3】（2021秋•渝中区校级期末）如图，中，，，、为边上两点，，过点作，且，连接、．下列结论：①，②平分；③若，，则；④若，，其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据已知可得，然后利用可判断①，利用等腰直角三角形的半角模型可证明，从而可判断②平分，根据①可得，，然后利用勾股定理求出的长，进行求出的长，从而可判断③若，，则，根据，易得，然后再求出，最后证明，可得，所以，然后进行计算即可判断④若，． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ，， ， 故①正确； ，， ， ， ，， ， ， 平分， 故②正确； 在中，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④错误； 综上所述，正确的个数有3个， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的半角模型是解题的关键． 考点讲练8：对角互补且一组邻边相等的半角模型 【典例精讲】（2024春•乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 【思路点拨】（1）如图1，延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图2，同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 【规范解答】解：（1）如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， 易证． ． ． （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． （3）当（1）结论成立， 当图三中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 故答案为：（1）；（2）成立；（3）或或． 【考点评析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 【举一反三1】（2022秋•石门县期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【思路点拨】探索延伸：延长到，使，连接，证明和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可． 【规范解答】解：初步探索：， 故答案为：， 探索延伸：结论仍然成立， 证明：如图2，延长到，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 结论运用：解：如图3，连接，延长、交于点， ， ， ， ， ， 符合探索延伸中的条件 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 【举一反三2】（2021秋•邗江区期末）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【思路点拨】利用证明，得，则是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可对结论逐一进行判断． 【规范解答】解：，， ， 故①正确； 点为的中点，，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形的面积为， 故④正确，⑤不正确； ， 和互补， 故③正确； 不是定长，故②不正确． 正确的有：①③④， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 【举一反三3】（2021秋•九台区期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容． 已知：如图13.5.4，是的平分线，是上任意一点，，，垂足分别为点和点． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，是上任意一点，点，分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为 　18　． 【思路点拨】【问题解决】利用定理证明，根据全等三角形的性质证明结论； 【类比探究】（1）过点作于，于，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过作与，于，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案． 【规范解答】【问题解决】证明：在和中， ， ， ； 【类比探究】（1）证明：如图②，过点作于，于， 是的平分线，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：过作与，于， 、分别平分和， ，， ， ， 的周长是12， ， 的面积：， 故答案为：18． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 考点讲练9：边边角模型 【典例精讲】（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，利用全等三角形判定方法进行判断． 【规范解答】解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“”重新配一块与原来全等的三角形玻璃． 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【举一反三1】（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【思路点拨】（1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【规范解答】（1）证明：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：由题意得：，， ， ，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 【考点评析】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【举一反三2】（2022秋•新昌县期末）为了测出池塘两端， 的距离，小红在地面上选择了点，，，使，，且点，，和点，，分别都在一条直线上，小红认为只要量出，的距离，就能知道，小红是根据来判断的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据已知条件两边及两边的夹角对应相等解答． 【规范解答】解：在和中， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键． 【举一反三3】（2023秋•新和县期中）如图，在东西走向的铁路上有，两站，在，的正北分别有，两个棉花种植场，其中到站的距离为25千米，到站的距离为15千米，在铁路上有一个棉花加工厂，棉花种植场，到的距离相等，且，则，两站的距离为 　40　千米． 【思路点拨】由证得，则其对应边相等：，由此得到． 【规范解答】解：由题意知，，千米，，千米． 在与中， ． ． 千米． ， 千米． 故答案为：40． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的应用，用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系 中等题真题汇编练 1．（2024•武侯区校级三模）如图，，，三点在同一直线上，，添加下列条件仍不能证明的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【规范解答】解：、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， 和不一定全等， 故符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（2024春•泰山区期末）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是　　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【思路点拨】根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立． 【规范解答】解：连接， ， 是的平分线， ，①正确． ， ，②正确． 只是过点，并没有固定，明显③不成立． 故选：． 【考点评析】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中． 3．（2023•三穗县校级一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于　　 A．1 B．2 C．3 D．5 【思路点拨】由得，，再利用证明，得，从而解决问题． 【规范解答】解：， ， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键． 4．（2022秋•海林市期末）如图所示，，，，、、三点共线，，，则　　 A． B． C． D．无法计算 【思路点拨】求出，根据推出，根据全等三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出即可． 【规范解答】解：， ， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，能求出是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等． 5．（2023秋•大兴区期末）如图，，，要使，则需再添加一个条件是 　（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【思路点拨】根据等式的性质可得，然后利用证明，即可解答． 【规范解答】解：需再添加一个条件是， 理由：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 6．（2023春•孝感期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为 　①②③④　． 【思路点拨】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，再证明，即可得出结论①正确； ②如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确； ③通过等量代换即可得出结论③正确； ④如图，延长至，使，连接，通过，，可分析得出点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，从而得出结论④正确； 【规范解答】解：①，， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 故结论①正确； ②如图，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 故结论②正确； ③， ，即， 故结论③正确； ④如图，延长至，使，连接， ，， 点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到， ， 点运动的路程是2 ， 故结论④正确； 故答案为：①②③④． 【考点评析】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 7．（2022秋•千山区期末）如图，在平面直角坐标系中，，，是的中点，点的坐标是，则点的坐标为 　　． 【思路点拨】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，则可得出答案． 【规范解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点，则四边形是矩形， 点的坐标是， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．（2022秋•香坊区期末）如图，等边中，于点，点、分别在边、上，连接，点在上，连接，若，，，，则　1　． 【思路点拨】在上取点，连接，使，证明，得到，，求出，则即可求出结果． 【规范解答】解：在上取点，连接，使， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：1． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． 9．（2023秋•武都区期末）如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． 【思路点拨】（1）由等边三角形的性质得出，，，证明，则可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出．则可得出答案． 【规范解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ． （2）解：由（1）可得， ． ， ， 即． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键． 10．（2023秋•鹿寨县期末）已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，，再证明，推出，由此即可解决问题． 【规范解答】解：（1）、分别为的角平分线， ，， ， ； （2）在上截取，连接． 、分别为的角平分线 ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 11．（2022秋•庄浪县期末）如图，在中，是的角平分线，，垂足为，求证：． 【思路点拨】根据等腰三角形的判定可得出，根据等边对等角得，再根据外角的性质可得出，即可得出：． 【规范解答】证明：是的角平分线，， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及三角形的外角的性质，熟记：等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的判定：等角对等边． 12．（2023秋•泸县期中）如图，，，．点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时，点在线段上由点向点匀速运动，设运动时间为 ，点的运动速度为 ． （1）用含字母，的式子分别表示线段，，的长度； （2）当与全等时，求和的值． 【思路点拨】（1）以的速度由点向点匀速运动，同时，点由点向点匀速运动，速度为 ，时间为 ，则，；； （2）当与全等时，分两种情况． 【规范解答】解：（1）以的速度由点向点匀速运动，点由点向点匀速运动，速度为 ， 时， ， ， ， ， ，， ； （2）当与全等时， ， 分两种情况： ①，时， ，， ， 解得：， ， 则， 解得：； ②，， 则， 解得：， ， 解得：， 综上所述：，或， 【考点评析】本题考查全等三角形的性质定理及应用，理解题意找到等量关系是解决问题的关键． 培优题真题汇编练 13．（2022秋•孝感期末）如图，等腰中，，，点为直线上一动点，以线段为腰在右侧作等腰，且，连接，则的最小值为　　 A． B．4 C．6 D．8 【思路点拨】连接并延长交延长线于，利用证明，得，由为定直线，为定值，则时，最小，从而解决问题． 【规范解答】解：连接并延长交延长线于， ，， ， ， ， ，， ， ， 为定直线，为定值， 当在直线上运动时，也在定直线上运动， 当时，最小， ， ， 当与重合时，最小，在中，，， ， ， 的最小值为， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，求出点的运动路径是解题的关键． 14．（2023秋•聊城期中）如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为　　 A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 【思路点拨】先延长交于点，根据已知条件证明，再根据全等三角形的性质求出，，进而求出，证明点为中点，利用三角形中位线定理求出答案即可． 【规范解答】解：延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 点为的中点， 点为的中点， 为的中位线， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理． 15．（2023秋•湖北月考）如图，在中，，，为边上的点，且，连接．过点作，并截取，连接交于点．则下列结论： ①； ②是的中点； ③； ④．其中正确的结论共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，进而利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，，，从而可得，进而根据证明，再利用全等三角形的性质可得，，，从而可得点是的中点，最后根据角的和差关系以及等量代换可得，即可判断①②③；再根据等式的性质可得，从而可得，进而可得，即可判断④；即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ； ，， ， ，，， ， ， ，， ， ，，， 点是的中点； ， ； 故①②③都正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， 故④不正确； 所以，上列结论，其中正确的结论共有3个， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2024春•渠县期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于　　 A． B． C． D．不能确定 【思路点拨】延长交于点，根据角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，然后根据可得，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得的面积的面积，最后进行计算即可解答． 【规范解答】解：延长交于点， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积， 的面积， 的面积的面积， 的面积的面积， 的面积， 故选：． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17．（2023秋•张家港市期末）如图，两条互相垂直的直线、交于点，一块等腰直角三角尺的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．已知，，则　　． 【思路点拨】利用等腰三角形的三线合一想到连接，根据已知可得，，因为，想到构造手拉手旋转性全等，所以过点作，交直线于点，证明，可得，，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【规范解答】解：连接，过点作，交直线于点， ， 是等腰直角三角形，， ， 是斜边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 的面积， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2023秋•惠安县期末）如图是正方形网格图，点、、、、都是格点，则　45　． 【思路点拨】作，连接，，可证，所以，，即是等腰直角三角形，所以即为所求． 【规范解答】解：， 作，连接， ， ， ，，， ， ，， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45． 【考点评析】本题考查了等腰直角三角形，关键是作辅助线将转化成． 19．（2023秋•望花区期中）如图，为等腰直角三角形，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为． 【思路点拨】过点作轴于点，过点作于点，证，得，，再求出，即可解决问题． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点，过点作于点， 则，，， ， 点坐标为，点坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．（2022秋•闽清县期末）如图，，，，则下列结论正确的是：　①②④　．（填序号） ①平分； ②； ③； ④． 【思路点拨】根据已知，，想到构造一个等腰三角形，所以延长，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，则，就得到，然后再证明，就可以判断出平分，再由角平分线的性质想到过点作，交的延长线于点，从而证明，即可判断． 【规范解答】解：延长，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，则，过点作，交的延长线于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 故①正确； ， ， ， 故②正确； ，， ， ，， ， ， ， ， 故③错误； ， ， 故④正确； 故答案为：①②④． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，必须根据已知结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（2023秋•永定区期末）在中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　1.5　． 【思路点拨】（1）利用互余关系证，再证，得到，，即可得出结论； （2）类似于（1）可证，得，，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：，， ． ，， ，， ． 在和中， ， ， ，． ， ． （2）解：于，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：1.5． 【考点评析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．（2023秋•海珠区期末）如图，已知，，且，满足．点是线段中点，动点，分别在线段，上运动，且始终有． （1）请直接写出点和点的坐标； （2）请判断的形状并说明理由； （3）下列结论：①四边形周长为定值；②四边形面积为定值；③为定值．请选择一个正确的结论并说明理由． 【思路点拨】（1）由可得，，，因，，即得点、的坐标； （2）先证，可得，，由，可得，即是等腰直角三角形； （3）②因（2）中，可得，又因是等腰直角三角形，点是线段中点，可得四边形面积为，是一个定值，可求得定值． 【规范解答】解：（1）， ，，即， ，， ，； （2）连接、， ， 在中，， 点是线段中点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ，，， ， ，， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形； （3）， ，， 四边形周长， 是线段上的动点， 不是一个定值，即四边形周长不为定值，故①结论不正确， 是等腰直角三角形，点是线段中点， ， ， 由（2）中可得，， ， 即四边形面积为，定值为9．故②结论正确， ， ， ， 是线段上的动点， 不是一个定值，即不为定值，故③结论不正确． 【考点评析】本题考查了勾股定理、全等三角形，关键是掌握全等三角形的证明． 23．（2023秋•道外区期末）中，，分别以、为边作等边、等边，、交于点，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：点是的中点； （2）如图2，连接，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角形（非等边三角形）． 【思路点拨】（1）根据等边三角形性质可得，即可推出，得出，根据等角对等边可得，运用线段垂直平分线的判定得出结论； （2）运用等角对等边即可判定和是等腰三角形，通过等边三角形性质可判定是等腰三角形，再证明，得出，即可判定是等腰三角形． 【规范解答】（1）证明：、是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， 点是的中点； （2）解：， ， 是等腰三角形， ， 是等腰三角形， 、是等边三角形， ，，， ， ， 是等腰三角形， ，垂直平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有、、、共4个． 【考点评析】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的判定，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线的判定等，是一道常考的基础题． 24．（2023秋•台江区期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标 【思路点拨】（1）证，再由证即可； （2）证，得，，即可解决问题； （3）过点作直线轴，交轴于点，过作于点，过作于点，交轴于点，证，得，，则，，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即的长为； （3）解：如图3，过点作直线轴，交轴于点，过作于点，过作于点，交轴于点， 则， ，， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 点坐标为． 【考点评析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$