专题18.5 分式方程（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练

专题18.5 分式方程 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：分式方程的概念 1 知识点梳理02：分式方程的解法 2 知识点梳理03：解分式方程产生增根的原因 2 知识点梳理04：分式方程的应用 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：分式方程的定义 3 考点2：解分式方程(化为一元一次) 4 考点3：根据分式方程解的情况求值 6 考点4：分式方程无解问题 8 考点5：列分式方程 10 考点6：分式方程的行程问题 11 考点7：分式方程的工程问题 12 考点8：分式方程的经济问题 14 考点9：分式方程和差倍分问题 15 考点10：分式方程的其它实际问题 17 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 27 知识点梳理01：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【易错点拨】 （1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未 知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点梳理02：分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点梳理03：解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【易错点拨】 （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或 除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而 是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 知识点梳理04：分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 考点1：分式方程的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】②③ 【思路点拨】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【规范解答】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 【变式训练01】（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【规范解答】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式训练02】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】③④ 【思路点拨】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【规范解答】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为： ③④． 考点2：解分式方程(化为一元一次) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东淄博·期中）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【思路点拨】（）根据解分式方程的步骤解答即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【规范解答】（1）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解 【变式训练01】（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【思路点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根． （1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可； （2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可． 【规范解答】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 【变式训练02】（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）观察下列方程： 可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程 （n为正整数）解 ．（用含n的代数式表示） 【答案】或 【思路点拨】本题考查了分式方程，根据题目材料，找出分式方程解的规律是解决本题的关键．通过观察给定方程的解的规律，发现对于方程 ，其解为或，将待解方程中的视为整体，应用上述规律求解即可 【规范解答】解：，其中， 令，则方程化为， 根据规律，该方程的解为或， 代入，得或，即或， 故答案为：或 考点3：根据分式方程解的情况求值 【典例精讲】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】0.5或 【思路点拨】本题考查了分式方程无解．熟练掌握分式方程无解产生的原因和解法，是解题的关键． 直接解分式方程，再分类讨论当时，当时，分别得出答案． 【规范解答】解：原方程去分母得， 整理得：． 当，即时， ． 该方程无解． 则原分式方程无解． 符合题意． 当，即时， 若原方程无解， 那么它有增根． 则． 解得：． 综上，a的值为0.5或． 故答案为：0.5或． 【变式训练01】（25-26八年级上·北京房山·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【答案】， 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【规范解答】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ； 解关于的分式方程， ， ， 解得， ∵， ， 关于的分式方程的解是非负整数， ， ，，， 但时，是原方程的增根，舍去， ，， 符合条件的所有整数的所有取值为，． 【变式训练02】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【规范解答】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即, ∴，且 ∴且， 故选：C． 考点4：分式方程无解问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可 【规范解答】解：原分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即， 综上，m的值是或． 故答案为：或． 【变式训练01】（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 【答案】嘉嘉，理由见解析， 【思路点拨】本题考查了解分式方程，分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解． 【规范解答】解：嘉嘉的说法正确 理由如下： 将的两边同时乘约去分母化简得． 若分式方程有增根，增根可能是或． 当时，． 当时，得到，该式子不成立，则该分式方程的增根不可能为． 故嘉嘉的说法正确，并求得． 故答案为：嘉嘉． 【变式训练02】（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知关于x的分式方程．若这个方程无解，则m的值为（    ） A．3或 B．或 C．3或或 D．5或或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了分式方程，化分式方程为整式方程是解题的关键．原分式方程无解有两种情况，由分式方程化为的整式方程无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，据此解答即可． 【规范解答】解： 方程两边同乘以得： ， 若，即时，方程无解，故原方程也无解； 若有解，但此解是原分式方程的增根，则原分式方程无解， 即， 解得或， 综上所述，或或时，原方程无解． 故选：C． 考点5：列分式方程 【典例精讲】（2025·山东青岛·模拟预测）青岛地铁7号线是连接即墨城区与青岛市区的一条在修地铁路线．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成的轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装，结果提前6天完成了安装任务．设施工队原计划每天安装，根据题意可列方程为 ． 【答案】（合理即可） 【思路点拨】本题考查了列分式方程，施工队原计划每天安装，则改进了安装技术后每天安装；据此即可求解； 【规范解答】解：施工队原计划每天安装，则改进了安装技术后每天安装； 由题意得：， 故答案为： 【变式训练01】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系并正确列出方程是关键；由题意知原来有人，根据等量关系：每个同学比原来多摊了3元车费，列出分式方程即可． 【规范解答】解：设实际参加游览的同学共有x人， 根据题意得：． 故选：A． 【变式训练02】（25-26八年级上·河北·阶段练习）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，列出方程即可． 【规范解答】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，由题意，得； 故选C． 考点6：分式方程的行程问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河北承德·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 【答案】规定时间是7天，快马每天行进百里 【思路点拨】本题考查分式方程的应用，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【规范解答】解：设规定的时间是x天， 根据题意可列方程为：， 解得， 经检验，是原方程的解， ； ， 答：规定时间是7天，快马每天行进百里． 【变式训练01】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知从阳朔至鹿寨国道的路程为，现在高速路程缩短了，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程在实际生活中的应用，根据走高速的时间比走国道的时间少1.5小时，利用时间、路程和速度的关系列出方程即可． 【规范解答】解：设走国道的平均车速为，则走高速的平均车速为． 根据题意，得 ， 故答案为：． 【变式训练02】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【规范解答】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 考点7：分式方程的工程问题 【典例精讲】（25-26八年级上·北京房山·期中）《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要（试行）（2025年版）》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用研发的两个模型和设计一节通识课。已知单独设计的时间比少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设单独设计需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． ​ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，设单独设计需要x小时，根据工作率问题，则的工作效率为，的工作效率为，合作工作率之和乘以时间等于总工作量1，列出方程即可． 【规范解答】解：设单独设计需要x小时，则单独设计需要小时， 则的工作率为，的工作率为， 那么合作时，总工作率为， ∴ ，即， 故选：B． 【变式训练01】（25-26八年级上·吉林长春·期中）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？ 【答案】甲车间每天生产个电子元件 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用． 设甲车间每天生产电子元件个，则乙车间每天生产的电子元件个，根据用33天完成任务，列方程求解． 【规范解答】解：设甲车间每天生产电子元件个，则乙车间每天生产的电子元件个， 由题意得，， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意． 答：甲车间每天生产电子元件100个． 【变式训练02】（24-25八年级下·山西晋城·期末）为了改善居住环境，政府对老旧街区进行改造，在某道路改造过程中，需要铺设3000米排水管道，为了在雨季来临前完成任务，工程指挥部合理调配人员，加强了工程一线的人力，使得每天完成的工作量比原计划增加了，结果提前4天完成任务．问原计划每天完成多少米？ 【答案】125米 【思路点拨】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出方程求解是解题的关键． 设原计划每天完成米，现每天完成，再根据结果提前4天完成任务，建立方程求解即可． 【规范解答】设原计划每天完成米， 则原计划完成任务共需天， 现每天完成的工作量比原计划增加了， 则每天完成，完成任务共需天， 又因为结果提前4天完成任务， 所以， 解得， 经检验符合题意，且是原方程的解， 答：原计划每天完成125米． 考点8：分式方程的经济问题 【典例精讲】（25-26八年级上·北京延庆·期中）为增强学生体质，某校准备购买一批短跳绳用于学生大课间锻炼，已知甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同．该校有105名学生，若计划用2000元购买甲种跳绳，是否能保障每名学生一根？请通过计算说明． 【答案】不能保障每名学生一根跳绳 【思路点拨】本题考查分式方程的实际应用，设甲种跳绳的单价为x元，根据用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为元． 根据题意，得 ． 解得； 经检验是原方程的解， （根）， ∵， ∴不能保障每名学生一根跳绳． 【变式训练01】（25-26八年级上·云南昆明·期中）学校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干排球、足球，已知每个足球比排球贵20元．花费960元购买的排球数量是花费1320元购买的足球数量的倍．求排球、足球的单价各为多少？ 【答案】排球的单价为24元，足球的单价为44元 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，设排球的单价为x元，则可表示出足球的单价，根据等量关系：花费960元购买的排球数量是花费1320元购买的足球数量的倍，列出分式方程，再求解并检验即可． 【规范解答】解：设排球的单价为x元，则足球的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：排球的单价为24元，足球的单价为44元． 【变式训练02】（24-25八年级下·山西临汾·期末）2025年4月23日至25日，第四届全民阅读大会在山西省太原市举办，以“培育读书风尚  建设文化强国”为主题，大会期间揭晓了2024年度“中国好书”名单．某校计划购进“中国好书”名单中《中国文化之美》和《中华文明的形成》这两种图书供学生阅读，其中《中国文化之美》的单价比《中华文明的形成》的单价贵，用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本．求这两种图书的单价． 【答案】《中华文明的形成》的单价为100元，《中国文化之美》的单价为130元 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用．设《中华文明的形成》的单价为x元，则《中国文化之美》的单价为元，根据“用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本”列出分式方程，据此求解即可． 【规范解答】解：设《中华文明的形成》的单价为x元，则《中国文化之美》的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：《中华文明的形成》的单价为100元，《中国文化之美》的单价为130元． 考点9：分式方程和差倍分问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装．已知A款套装的单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 【答案】A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设B款套装的单价是元，根据“用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套”，即可列分式方程求解． 【规范解答】解：设B款套装的单价是元，则A款套装的单价是元． 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元． 【变式训练01】（25-26八年级上·全国·单元测试）甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设乙数为，则甲数为，丙数为，根据题意列出方程即可求解． 【规范解答】解：设乙数为，则甲数为，丙数为， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 即甲数为，乙数为，丙数为， 故选：C． 【变式训练02】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设十位上的数字为x，则个位数字为，根据这两位上数字的倒数和是列出方程即可． 【规范解答】解：设十位上的数字为x，则个位数字为， 根据题意得，． 故答案为：． 考点10：分式方程的其它实际问题 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）一个圆柱形容器的容积为立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间分．求两根水管各自注水的速度． 【答案】小口径水管速度为立方米分，大口径水管速度为立方米分 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程并要注意检验；设小水管进水速度为，则大水管进水速度为，列出方程求解即可． 【规范解答】解：假如小水管的半径为r，则大水管的半径2r，每分钟进水的长度是一样的为h；根据体积公式可知小水管的进水速度为立方米分，大水管的进水速度为立方米分，可设小水管进水速度为立方米分，则大水管进水速度为立方米分．由题意得： ， 解得： ， 经检验得：是原方程解， ∴， ∴小口径水管速度为立方米分，大口径水管速度为立方米分． 【变式训练01】（25-26八年级上·全国·单元测试）一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用．把代入得到，解分式方程即可． 【规范解答】解：把代入得：， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 故答案为：． 【变式训练02】（24-25八年级上·吉林·期末）某校组织“书香校园”读书活动，八年一班班主任推荐给同学们一本好书．已知小王同学比小李同学每天多阅读6页，王同学阅读90页书所用时间与李同学阅读60页书所用时间相等．求王同学和李同学乙每天各阅读多少页． 【答案】王同学每天读书18页，李同学每天读书12页 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，设小李同学每天阅读书x页，则小王同学每天阅读页，根据“王同学阅读90页书所用时间与李同学阅读60页书所用时间相等”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【规范解答】解：设小李同学每天阅读书x页，则小王同学每天阅读页， 根据题意，得， 解得． 经检验：是原方程的解． ∴． 答：王同学每天读书18页，李同学每天读书12页． 1．（2024·山东济宁·中考真题）当 时，关于的方程会产生增根． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分母为0的根； 本题中，最简公分母为，因此增根可能为或，将方程两边乘以最简公分母化为整式方程，然后分别将增根代入整式方程求解即可． 【规范解答】解：原方程：， 最简公分母为， 两边乘以最简公分母得：， 整理得：， 即：， 若增根为，代入整式方程：，解得， 若增根为，代入整式方程：，解得， 故当或时，方程会产生增根． 2．（2024·重庆江北·中考真题）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【规范解答】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 3．（2024·北京延庆·中考真题）某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【规范解答】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 4．（2024·河南开封·中考真题）解分式方程：，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解分式方程． 首先观察分母和互为相反数，即，从而将方程简化后去分母． 【规范解答】解：∵， ∴原方程可化为：， 去分母得， 即． 故选：A． 5．（2024·浙江宁波·中考真题）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励．已知购买一件甲种奖品与一件乙种奖品共需80元，用120元购进甲种奖品与用200元购进乙种奖品的数量相同． (1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元每件； (2)该班计划购进甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品的数量不多于12件，同时此次购买的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案，请写出所有的购买方案． 【答案】(1)甲种奖品每件30元，乙种奖品每件50元 (2)该班共有3种购买方案，购买方案分别为甲10件，乙10件；甲11件，乙9件；甲12件，乙8件 【思路点拨】本题主要考查分式方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲种奖品单价为x元／件，则乙种奖品的单价为元／件，由题意易得，进而求解即可； （2）设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品件，由题意易得，然后进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲种奖品单价为x元／件，则乙种奖品的单价为元／件，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ， 答：甲种奖品每件30元，乙种奖品每件50元． （2）解：设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品件，由题意得： ， 解得：， 又因为a是整数，所以， 所以该班共有3种购买方案，购买方案分别为甲10件，乙10件；甲11件，乙9件；甲12件，乙8件． 基础夯实 1．（25-26八年级上·山东东营·期中）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0或2 【答案】C 【思路点拨】本题考查分式方程无解的情况，解题的关键是掌握分式方程无解的两种情形：一是整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根． 分式方程无解的情况有两种：化简后的方程矛盾（如0=2）或解出的根为增根（使分母为零）．先化简方程，再讨论参数a的取值． 【规范解答】解：∵原方程=，且， 右边通分：， ∴， 两边同乘得：， 整理得：， 即， 当时，， 若，则，解得，此时为增根，原方程无解； 当时，方程变为，即，矛盾，无解， ∴当或时，方程无解． 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了解分式方程，通过观察方程，分母有 和 ，其中，则把方程两边乘以去分母即可得到答案． 【规范解答】解： 把方程两边同时乘以得， 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可． 【规范解答】∵关于的分式方程的解是， ∴代入得， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程有增根，则常数m的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先去分母可得，再根据关于的方程有增根，可得，代入计算即可求解． 【规范解答】解：， 去分母得：，即， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 将代入， 得， 故答案为：6． 5．（25-26八年级上·北京延庆·期中）方程的解为 【答案】 【思路点拨】本题考查解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并检验即可得出结果． 【规范解答】解：方程两边同时乘以，得： 移项，得： 解得： 检验：当时， ， 所以原方程的解为； 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）当时，分式（为常数）没有意义，那么当的值为3时的值是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了分式无意义的条件（分母为0）以及分式方程的求解；解题的关键是先根据分式无意义的条件求出常数的值，再代入建立分式方程求解 先由“当时分式无意义”，根据分式无意义的条件（分母为0）得,求出；再根据“分式的值为3”建立方程,两边同乘分母去分母转化为整式方程，求解后检验分母不为0，确定的值。 【规范解答】解：∵当时，分式没有意义， ∴分式分母为0，即, 解得,此时分式为. 当时，两边同乘（）得, 展开右边得, 移项得, 合并同类项得, 解得. 检验：当时，,符合题意， 故答案为：. 7．（23-24八年级上·全国·期末）今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨,王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，找出正确的等式关系是解决本题的关键． 根据去年王厨师花200元购买大葱可得，去年大葱的单价为元千克，然后根据今年价格是去年的3倍可得，今年大葱的单价为元千克，最后根据去年王厨师购买大葱的质量比今年购买的质量多10千克可得，今年花480元购买的大葱质量为千克，则今年的单价也可表示为元千克，进而即可列出式子解答． 【规范解答】解：根据题意得去年大葱的单价为元千克， ∵今年价格是去年的3倍， ∴今年大葱的单价为元千克， 根据题意得，今年花480元购买的大葱质量为千克， ∴今年的单价也可表示为元千克， ∴可列方程：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【思路点拨】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法，注意最后一定要检验． （1）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验，即可求解； （2）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验，即可求解． 【规范解答】（1）解：， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项可得，， 系数化为1可得，， 经检验，是分式方程的解； （2）解：， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项可得，， 系数化为1可得，， 经检验，时，，则是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了分式的乘法，解分式方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘法法则计算即可得解； （2）先去分母，将分式方程化为一元一次方程，解方程并检验即可得解． 【规范解答】解：（1） ； （2）去分母可得：， 解得， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 10．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）（1）化简 （2）解分式方程 【答案】 （1） （2） 【思路点拨】本题考查分式的化简以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）先利用同分母的减法运算，然后再对结果进行化简即可； （2）直接去分母进而解方程得出答案． 【规范解答】解：（1） ； （2）， ， ， ， ， 经检验，当时，， ∴是原方程的解． 培优拔高 11．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有a的取值之和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是熟练解分式方程． 先解分式方程，得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的值，然后求和． 【规范解答】解：方程 ， 原方程可以化为， 方程两边同乘，得： ， 化简得： ， ， ， 为正整数且 ， 为正整数，且， 设，则，其中为正整数，且 又， ， 解得：， （ 为正整数）， （）， 对应值： 当，； 当，； 当，， 所以，所有值为 ， 其和为 ， 故选：A． 12．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【思路点拨】该题考查了分式方程，先解分式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为非正数（）和分母不为零（）的条件，求k的取值范围． 【规范解答】解：∵方程， 两边同乘公分母，得：， 展开并简化：， ∴， ∴， ∴， ∵解为非正数， ∴，即，解得：， ∵分母不为零，∴且， 当时，，解得， 当时，，解得， 但，故自动满足，只需， ∴且， 故选：C． 13．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中航行的速度为（    ） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的实际应用，设轮船在静水中航行的速度为，顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度，再结合顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同建立方程求解即可． 【规范解答】解：设轮船在静水中航行的速度为， 由题意得， ， 解得， 经检验， 是原方程的解，且符合题意． ∴轮船在静水中航行的速度为， 故选：A． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【思路点拨】本题考查了解分式方程、分式有意义的条件，正确求解分式方程是解题关键． 先解分式方程得到的表达式，再根据解为负数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 【规范解答】解：解方程，两边乘（注意），得， 即，解得， 由解为负数，得，即，解得， 又分母 ，即，代入，得，解得． 故答案为：且． 15．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先通过去分母将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义，将增根代入整式方程求解． 【规范解答】解：， ， ∴， ∵方程有增根， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用． 设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是，根据整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，列出分式方程，解之取符合题意的值即可． 【规范解答】解：设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，但不符合题意，舍去， 答：整治后车辆通过该路段的平均时间是． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）把代入方程计算即可求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，代入整式方程计算即可求出m的值． 【规范解答】（1）解：当时，原方程为：， 方程两边同乘以得：， ， ． 经检验：是这个方程的解． 所以原方程的解是． （2）解：方程两边同乘以得：， ， 因为这个方程无解，所以，所以， 将代入，得，所以． 19．（25-26八年级上·山东淄博·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【思路点拨】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 检验：把代入得， 是原方程的解； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 检验：把代入得， 是原方程的增根， ∴原方程无解． 20．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 【答案】米 【思路点拨】本题主要考查的知识点是分式方程的应用(行程问题)，通过设未知数，根据时间关系建立方程求解，涉及到路程、速度、时间的关系(时间路程速度)，属于行程问题中的同地不同时出发且同时到达的情况． 【规范解答】解：设小敏的步行速度是每分钟x米，则有：， 整理，得， 解得， 经检验：既是原方程的解，又符合题意． 所以：． 答：小兰的步行速度是每分钟米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.5 分式方程 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：分式方程的概念 1 知识点梳理02：分式方程的解法 2 知识点梳理03：解分式方程产生增根的原因 2 知识点梳理04：分式方程的应用 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：分式方程的定义 3 考点2：解分式方程(化为一元一次) 3 考点3：根据分式方程解的情况求值 4 考点4：分式方程无解问题 4 考点5：列分式方程 5 考点6：分式方程的行程问题 5 考点7：分式方程的工程问题 6 考点8：分式方程的经济问题 7 考点9：分式方程和差倍分问题 7 考点10：分式方程的其它实际问题 8 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【易错点拨】 （1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未 知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点梳理02：分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点梳理03：解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【易错点拨】 （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或 除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而 是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 知识点梳理04：分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 考点1：分式方程的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【变式训练01】（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练02】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是 ．（请填写序号） 考点2：解分式方程(化为一元一次) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东淄博·期中）解分式方程 (1) (2) 【变式训练01】（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）解分式方程： (1) (2) 【变式训练02】（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）观察下列方程： 可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程 （n为正整数）解 ．（用含n的代数式表示） 考点3：根据分式方程解的情况求值 【典例精讲】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【变式训练01】（25-26八年级上·北京房山·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【变式训练02】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 考点4：分式方程无解问题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【变式训练01】（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 【变式训练02】（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知关于x的分式方程．若这个方程无解，则m的值为（    ） A．3或 B．或 C．3或或 D．5或或 考点5：列分式方程 【典例精讲】（2025·山东青岛·模拟预测）青岛地铁7号线是连接即墨城区与青岛市区的一条在修地铁路线．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成的轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装，结果提前6天完成了安装任务．设施工队原计划每天安装，根据题意可列方程为 ． 【变式训练01】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练02】（25-26八年级上·河北·阶段练习）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 考点6：分式方程的行程问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河北承德·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 【变式训练01】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知从阳朔至鹿寨国道的路程为，现在高速路程缩短了，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为，则根据题意可列方程为 ． 【变式训练02】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 考点7：分式方程的工程问题 【典例精讲】（25-26八年级上·北京房山·期中）《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要（试行）（2025年版）》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用研发的两个模型和设计一节通识课。已知单独设计的时间比少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设单独设计需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． ​ 【变式训练01】（25-26八年级上·吉林长春·期中）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？ 【变式训练02】（24-25八年级下·山西晋城·期末）为了改善居住环境，政府对老旧街区进行改造，在某道路改造过程中，需要铺设3000米排水管道，为了在雨季来临前完成任务，工程指挥部合理调配人员，加强了工程一线的人力，使得每天完成的工作量比原计划增加了，结果提前4天完成任务．问原计划每天完成多少米？ 考点8：分式方程的经济问题 【典例精讲】（25-26八年级上·北京延庆·期中）为增强学生体质，某校准备购买一批短跳绳用于学生大课间锻炼，已知甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同．该校有105名学生，若计划用2000元购买甲种跳绳，是否能保障每名学生一根？请通过计算说明． 【变式训练01】（25-26八年级上·云南昆明·期中）学校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干排球、足球，已知每个足球比排球贵20元．花费960元购买的排球数量是花费1320元购买的足球数量的倍．求排球、足球的单价各为多少？ 【变式训练02】（24-25八年级下·山西临汾·期末）2025年4月23日至25日，第四届全民阅读大会在山西省太原市举办，以“培育读书风尚  建设文化强国”为主题，大会期间揭晓了2024年度“中国好书”名单．某校计划购进“中国好书”名单中《中国文化之美》和《中华文明的形成》这两种图书供学生阅读，其中《中国文化之美》的单价比《中华文明的形成》的单价贵，用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本．求这两种图书的单价． 考点9：分式方程和差倍分问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装．已知A款套装的单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 【变式训练01】（25-26八年级上·全国·单元测试）甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练02】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程 ． 考点10：分式方程的其它实际问题 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）一个圆柱形容器的容积为立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间分．求两根水管各自注水的速度． 【变式训练01】（25-26八年级上·全国·单元测试）一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距 ． 【变式训练02】（24-25八年级上·吉林·期末）某校组织“书香校园”读书活动，八年一班班主任推荐给同学们一本好书．已知小王同学比小李同学每天多阅读6页，王同学阅读90页书所用时间与李同学阅读60页书所用时间相等．求王同学和李同学乙每天各阅读多少页． 1．（2024·山东济宁·中考真题）当 时，关于的方程会产生增根． 2．（2024·重庆江北·中考真题）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 3．（2024·北京延庆·中考真题）某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河南开封·中考真题）解分式方程：，去分母得（   ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江宁波·中考真题）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励．已知购买一件甲种奖品与一件乙种奖品共需80元，用120元购进甲种奖品与用200元购进乙种奖品的数量相同． (1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元每件； (2)该班计划购进甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品的数量不多于12件，同时此次购买的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案，请写出所有的购买方案． 基础夯实 1．（25-26八年级上·山东东营·期中）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0或2 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程有增根，则常数m的值为 ． 5．（25-26八年级上·北京延庆·期中）方程的解为 6．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）当时，分式（为常数）没有意义，那么当的值为3时的值是 ． 7．（23-24八年级上·全国·期末）今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨,王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程 ． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）解下列方程 (1) (2) 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）（1）计算：； （2）解分式方程：． 10．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）（1）化简 （2）解分式方程 培优拔高 11．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有a的取值之和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 12．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 13．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中航行的速度为（    ） A．18 B．20 C．22 D．25 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 15．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 16．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 17．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 18．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 19．（25-26八年级上·山东淄博·期中）解分式方程： (1)； (2)． 20．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $