专题18.4 整数指数幂（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练

专题18.4 整数指数幂 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：零指数 1 知识点梳理02：负整数指数幂 1 知识点梳理03：科学记数法 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：负整数指数幂 2 考点2：整数指数幂的运算 2 考点3：用科学记数法表示绝对值小于1的数 2 考点4：还原用科学记数法表示的小数 3 中考真题 实战演练 3 难度分层 拔尖冲刺 4 基础夯实 4 培优拔高 5 知识点梳理01：零指数 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即. 注意：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到. 知识点梳理02：负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 知识点梳理03：科学记数法 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 考点1：负整数指数幂 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）计算： ． 【变式训练01】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若有意义，则 ． 【变式训练02】（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）在，0，，四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 考点2：整数指数幂的运算 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【变式训练01】（24-25八年级上·四川成都·开学考试）计算：． 【变式训练02】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若等式恒成立，则 ． 考点3：用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例精讲】（25-26八年级上·上海松江·期中）水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【变式训练01】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为 ． 【变式训练02】（25-26八年级上·上海·期中）一种细菌的直径约为0.000032米，这个数用科学记数法表示为 米． 考点4：还原用科学记数法表示的小数 【典例精讲】（23-24八年级下·海南海口·期末）数据用小数表示为（   ） A．0.00108 B．0.000108 C． D．0.0000108 【变式训练01】（25-26八年级上·上海·阶段练习）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【变式训练02】（2024八年级·山东·竞赛）将写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 1．（2024·全国·中考真题）化简：，结果为 ． 2．（2024·四川乐山·中考真题）若实数m，n满足，则 ． 3．（2024·辽宁抚顺·中考真题）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建福州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广西北海·中考真题）计算： (1)； (2)． 基础夯实 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）如果，，，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）当时，计算： ．（结果不含负整数指数） 5．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）用科学记数法把表示为 ； 6．（25-26八年级上·湖南常德·期中）计算： ． 7．（2024九年级下·广西·专题练习）若实数，满足，则的值为 ． 8．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算： 9．（24-25八年级上·四川内江·期中）计算 10．（24-25八年上·四川内江·期末）（1）计算：； （2）先化简：，再从中选出一个合适的整数a的值，代入求值． 培优拔高 11．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 13．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 15．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若实数x，y同时满足，则的值为 16．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）若，则 ． 17．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）计算： (结果写成最简分式) 18．（25-26八年级上·山东淄博·期中）计算 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 19．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1)． (2)． 20．（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）计算： （2）先化简，再求值：，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.4 整数指数幂 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：零指数 1 知识点梳理02：负整数指数幂 1 知识点梳理03：科学记数法 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：负整数指数幂 2 考点2：整数指数幂的运算 3 考点3：用科学记数法表示绝对值小于1的数 4 考点4：还原用科学记数法表示的小数 5 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 12 知识点梳理01：零指数 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即. 注意：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到. 知识点梳理02：负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 知识点梳理03：科学记数法 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 考点1：负整数指数幂 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）计算： ． 【答案】17 【思路点拨】本题考查了负整数指数幂，零指数幂．先计算负整数指数幂和零指数幂，再相加即可． 【规范解答】解：， 故答案为：17． 【变式训练01】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若有意义，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查负整数指数幂的转换，分数有意义的条件，熟知是解题的关键． 根据负整数指数幂的意义，将表达式化为分式形式，再根据分式有意义的条件求解． 【规范解答】解：， ， 解得． 故答案为：． 【变式训练02】（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）在，0，，四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了负指数幂和零指数幂，有理数的大小比较，解题的关键是掌握负指数幂和零指数幂的运算法则． 先计算每个数的数值，再比较大小． 【规范解答】∵ ， = 1， ∵． ∴ 最小的数是． 故选：A． 考点2：整数指数幂的运算 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查幂的混合运算，注意负整数指数幂的运算法则，注意符号． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【变式训练01】（24-25八年级上·四川成都·开学考试）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查的知识点是零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 根据零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、有理数的混合运算进行计算即可． 【规范解答】解：原式， ， ． 【变式训练02】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若等式恒成立，则 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了多项式乘法法则和等式恒成立的性质．熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式右边的式子展开，然后根据等式两边对应项系数相等的原则，求出m与n的值，最后再计算的值． 【规范解答】解：将展开可得： ， 因为恒成立， 所以，． 把，代入，可得． 故答案为：9． 考点3：用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例精讲】（25-26八年级上·上海松江·期中）水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】25 【思路点拨】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴小数点与左起第一个非零数字之间有个零． 故答案为：25． 【变式训练01】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式训练02】（25-26八年级上·上海·期中）一种细菌的直径约为0.000032米，这个数用科学记数法表示为 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式中和的确定方法． 确定科学记数法中和的值，将0.000032用科学记数法表示． 【规范解答】解：科学记数法的表示形式为，其中为整数．对于小于1的数，为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数， 将0.000032的小数点向右移动5位得到3.2，所以，因此用科学记数法表示为． 故答案为：． 考点4：还原用科学记数法表示的小数 【典例精讲】（23-24八年级下·海南海口·期末）数据用小数表示为（   ） A．0.00108 B．0.000108 C． D．0.0000108 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了科学记数法与小数的相互转化，熟练掌握（为正整数）转化为小数时将的小数点向左移动位是解题的关键．本题解题思路是根据科学记数法中（，为正整数）转化为小数的规则，将的小数点向左移动位． 【规范解答】解：， 故选：B． 【变式训练01】（25-26八年级上·上海·阶段练习）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】5 【思路点拨】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【规范解答】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 【变式训练02】（2024八年级·山东·竞赛）将写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个非零的数字前面的0的个数所决定； 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【规范解答】因为， 所以小数点第四位数字是0； 故选：A． 1．（2024·全国·中考真题）化简：，结果为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了负整数指数幂、分式的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方、负整数指数幂，再计算分式的除法，然后计算乘法即可得． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 2．（2024·四川乐山·中考真题）若实数m，n满足，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查非负性，零指数幂和负整数指数幂，根据非负性求出的值，再根据零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2024·辽宁抚顺·中考真题）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了同底数幂除法，负整数指数幂，由，又，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（2024·福建福州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查整式的运算，解题的关键是根据负整数指数幂、同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方、同底数幂的除法依次对各个选项进行分析判断． 【规范解答】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（2024·广西北海·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了分式的加减乘除混合运算． （1）根据分式的乘方法则计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 基础夯实 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方和分式的乘方、负指数幂的运算法则逐项判断即可解题． 【规范解答】解：A： ，原计算错误； B：，计算正确； C：，原计算错误； D：，原计算错误； 故选：B． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）如果，，，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查有理数的比较，熟练掌握零指数幂，负指数幂是解题的关键，其中利用零指数法则，利用负指数法则，利用负指数和平方运算，计算每个表达式的值，再比较大小即可得到答案． 【规范解答】解：由题可得：，，， ∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法要求系数在1到10之间，指数表示小数点移动的位数，是解题的关键．根据原数0.0000000000315的小数点向右移动11位得到3.15，因此指数为，则即可求解． 【规范解答】解：由， 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）当时，计算： ．（结果不含负整数指数） 【答案】 【思路点拨】本题考查负整数指数幂的意义和幂的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用负整数指数幂的意义和幂的运算法则，将表达式化为不含负整数指数的形式，再根据积的乘方的运算法则计算． 【规范解答】根据负整数指数幂的意义，， ， 再根据积的乘方法则，， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）用科学记数法把表示为 ； 【答案】 【思路点拨】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【规范解答】解：， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·湖南常德·期中）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了负整数指数幂、零指数幂．原式利用负整数指数幂、零指数幂法则计算即可得到结果． 【规范解答】解：， 故答案为：． 7．（2024九年级下·广西·专题练习）若实数，满足，则的值为 ． 【答案】2 【思路点拨】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：2． 8．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算： 【答案】2 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简及运算，零次幂、负指数幂的化简，熟知概念是解题的关键．根据概念和性质依次化简计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 9．（24-25八年级上·四川内江·期中）计算 【答案】 【思路点拨】本题主要考查零次幂、负指数幂及有理数的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、负指数幂及有理数的运算进行求解即可． 【规范解答】解：原式． 10．（24-25八年上·四川内江·期末）（1）计算：； （2）先化简：，再从中选出一个合适的整数a的值，代入求值． 【答案】（1）；（2）； 【思路点拨】本题主要考查了分式的化简求值，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可； （2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从0，1，2中选出使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【规范解答】解： ； （2） ， 对于，则或1或2， 当或1时，原分式无意义， ∴，则原式． 培优拔高 11．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了零指数幂，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小． 利用零指数，负整数指数幂，有理数乘方运算法则分别计算，然后比较即可． 【规范解答】解：， ∵， ∴， 故选：B． 12．（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【思路点拨】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【规范解答】解： ； 故选：C． 13．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【规范解答】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 14．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【思路点拨】本题考查了科学记数法，根据题意，钢轨的伸缩量与温度变化和钢轨长度成正比，因此总伸缩量等于每度每米伸缩量、温度变化和钢轨长度的乘积，即可求解． 【规范解答】解：总伸缩量， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若实数x，y同时满足，则的值为 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数的性质，解二元一次方程组，负整数指数幂，根据绝对值的非负性可得，据此分和两种情况，根据已知条件建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴， 解得，此时； 当时， ∵， ∴，此时方程组无解，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：． 16．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）若，则 ． 【答案】/0.5 【思路点拨】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性、完全平方公式、代数式求值、负整数指数幂，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．先根据算术平方根和偶次方的非负性可得，则可得的值，再代入计算即可得． 【规范解答】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）计算： (结果写成最简分式) 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分式与负指数幂的公式，关键是熟练掌握负指数幂公式，根据负指数幂的公式变形即可得出结果． 首先计算积的乘方，再用同底数幂的除法，最后再化成最简分式即可． 【规范解答】解：原式． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·山东淄博·期中）计算 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)x (2)化简结果是：，求值结果是： 【思路点拨】本题考查了分式的加减，分式的化简求值，算术平方根、绝对值、负整数指数幂，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． （1）根据相反数的性质，将异分母的分式变成同分母的分式，计算即可，注意约分； （2）先将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，最后代入计算即可求出值． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， 当时， 原式． 19．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键， （1）根据负整数指数幂，绝对值，零指数幂和开平方的运算法则计算即可得到答案； （2）根据同底数幂的乘除法和负整数指数幂的运算法则计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 20．（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）计算： （2）先化简，再求值：，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式；或当时，原式 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，分式化简求值，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）先进行乘方，零指数幂，负整数指数幂和绝对值运算，再进行加减运算即可． （2）先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可． 【规范解答】解：（1）原式． （2）原式， ∵且， ∴当时，原式；当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $