11.1 与三角形有关的线段（知识精讲+易错点拨+十六大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第11章《三角形》】 11.1 与三角形有关的线段 （知识精讲+易错点拨+十六大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：三角形的识别与有关概念 4 考点讲练2：三角形的个数问题 5 考点讲练3：三角形的分类 6 考点讲练4：构成三角形的条件 7 考点讲练5：确定第三边的取值范围 8 考点讲练6：三角形三边关系的应用 9 考点讲练7：画三角形的高 10 考点讲练8：与三角形的高有关的计算问题 11 考点讲练9：垂心 12 考点讲练10：根据三角形中线求长度 12 考点讲练11：根据三角形中线求面积 14 考点讲练12：重心的概念 15 考点讲练13：三角形角平分线的定义 15 考点讲练14：利用网格求三角形面积 16 考点讲练15：三角形的稳定性及应用 18 考点讲练16：四边形的不稳定性 19 中等题真题汇编练 20 培优题真题汇编练 25 新知精讲梳理 知识点01：三角形的定义与基本元素 定义：三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 基本元素： 边：组成三角形的线段。 顶点：相邻两边的公共端点。 内角：相邻两边所组成的角。 表示方法：如三角形ABC，顶点为A、B、C，记作△ABC，读作“三角形ABC”。 知识点02：三角形的分类 根据边的相等关系分类： 不等边三角形：三边都不相等的三角形。 等腰三角形：有两边相等的三角形。其中，相等的两边称为腰，另一边称为底边；两腰的夹角称为顶角，腰和底边的夹角称为底角。等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）。 等边三角形：三边都相等的三角形。其三个内角都相等，均为60°。等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有等腰三角形的一切性质。 知识点03：三角形的三边关系 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 推论： 判断三条已知线段能否组成三角形。 当已知两边时，可确定第三边的范围。 证明线段不等关系。 知识点04：三角形的重要线段 高：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段。 中线：连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段。三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分。 角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段。 重要性质：三角形的中线、高、角平分线均为线段，且三角形的三条中线、三条角平分线分别交于一点（但高的交点位置取决于三角形的类型，锐角三角形交于三角形内部，直角三角形交于直角顶点，钝角三角形交于三角形外部）。 知识点05：三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，这一性质称为三角形的稳定性。这一性质在生产生活中应用广泛，如许多需要稳定结构的物体都设计成三角形形状。 知识点06：三角形的内角和与外角和 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 外角和定理：三角形的外角和为360°。 重要性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角。 通过以上知识点的阐述，我们可以全面理解人教版数学8年级上册第11章三角形中第1节“与三角形有关的线段”的内容。这些知识点不仅是后续学习的基础，也是解决实际问题的重要工具。 高频易错知识点拨 易错知识点01：三角形的定义与基本元素 定义理解不清：学生可能将三条线段在同一直线上误认为能组成三角形，忽略了“首尾顺次相接”和“不在同一直线上”的关键条件。 基本元素混淆：三角形的边、顶点、内角的概念容易混淆，尤其是在复杂图形中识别三角形的各元素时。 应对策略： 通过实例和图形加强学生对三角形定义的理解，强调“首尾顺次相接”和“不在同一直线上”的必要性。 引导学生准确识别三角形的基本元素，并在复杂图形中标注出来。 易错知识点02：三角形的分类 分类标准不明确：学生可能混淆按边分类（等腰三角形、等边三角形、不等边三角形）和按角分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的标准。 特例识别不清：等边三角形作为特殊的等腰三角形，其性质容易被忽视。 应对策略： 明确分类标准，通过对比不同三角形的特征和性质，帮助学生理解并记忆。 强调等边三角形作为特殊等腰三角形的地位，并举例说明其特殊性质。 易错知识点03：三角形的三边关系 定理应用不当：学生可能错误地认为只要满足两边之和大于第三边就能组成三角形，忽略了“两边之差小于第三边”的条件。 计算错误：在判断三条线段能否组成三角形时，计算过程容易出现错误。 应对策略： 强调三边关系定理的完整表述，即“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。 通过例题和练习，加强学生对定理的应用能力，提高计算的准确性。 易错知识点04：三角形的角平分线、中线和高 概念混淆：学生可能混淆角平分线、中线和高的定义和性质。 位置判断错误：对于不同类型的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），其高线的位置容易判断错误。 应对策略： 清晰定义并区分角平分线、中线和高的概念及性质。 通过图形展示和动手操作，帮助学生理解并记忆不同类型三角形中高线的位置。 易错知识点05：三角形的稳定性 性质理解不深：学生可能仅停留在对三角形稳定性这一性质的表面理解上，未能深入理解其在实际生活中的应用。 应对策略： 通过实例说明三角形稳定性在桥梁结构、建筑设计等领域的应用，加深学生对这一性质的理解。 考点讲练1：三角形的识别与有关概念 【精讲题】（21-22七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为 ． 【举一反三练1】（17-18七年级下·河南周口·期末）如图，图中有 个三角形，以AD为边的三角形有 ． 【举一反三练2】（20-21八年级上·四川广元·阶段练习）已知a、b、c为△ABC的三边长； ①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状． ②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值． 考点讲练2：三角形的个数问题 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【举一反三练1】（20-21八年级上·全国·课后作业）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【举一反三练2】（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ (3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 考点讲练3：三角形的分类 【精讲题】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）现有以下表述： ①三角形按边相等关系分类有三边都不等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点； ③平面上有四个点、、、，用它们作顶点可以构成3个或4个三角形； ④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练1】（19-20七年级下·河南周口·期末）下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 考点讲练4：构成三角形的条件 【精讲题】（20-21七年级下·全国·课后作业）若三边均不相等的三角形三边a，b，c（）满足，则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． (1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号） ①4，2，1；    ②13，18，9；    ③19，20，19；    ④9，8，6 (2)已知“不均衡三角形”三边分别为，求出所有符合条件的x的整数值． 【举一反三练1】（23-24七年级下·河北保定·期末）用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为和，则第三根木棒的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 考点讲练5：确定第三边的取值范围 【精讲题】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（21-22八年级上·江西上饶·期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)第一条边长能否为10米？为什么？ (2)求的取值范围． 考点讲练6：三角形三边关系的应用 【精讲题】（22-23八年级上·贵州遵义·期中）已知，，是三角形的三边长． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 【举一反三练1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为方程的解，则的周长为 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 考点讲练7：画三角形的高 【精讲题】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，的顶点都在正方形网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将向左平移7个单位长度得到. (1)在网格中画出及边上的中线和高线； (2)直接写出线段所扫过的面积. 【举一反三练1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，G为的中点，连接并延长，交于点E，过点C作于点H，延长交于点F．下面说法错误的是（　　） A．是的角平分线 B．是的边上的高线 C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线 【举一反三练2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点均在格点上，按要求画图： (1)请画出的边上的高； (2)画一条一端经过的顶点，一端经过格点的线段，将分成面积相等的两部分； (3)直接写出的面积______． 考点讲练8：与三角形的高有关的计算问题 【精讲题】（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D在边上，．若，则 ．    【举一反三练1】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 考点讲练9：垂心 【精讲题】（18-19八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法：①三角形任何两边之差小于第三边；②等腰三角形两腰上的高相等；③若 ≥1，则x＝2；④三角形的三条高不一定交于三角形内一点．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【举一反三练1】（23-24八年级上·北京西城·期中）在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角 【举一反三练2】（22-23八年级上·全国·课后作业） (1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 考点讲练10：根据三角形中线求长度 【精讲题】（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【举一反三练1】（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，，G为的中点，延长交于E．点F为上的一点，于H．下列判断正确的有（   ） （1）是的角平分线；（2）是边上的中线；（3）为边上的高；（4）和面积相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【举一反三练2】（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 考点讲练11：根据三角形中线求面积 【精讲题】（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分面积（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【举一反三练1】（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)作边上的高线，垂足为D； (2)在边上取一点E，连接，使得平分的面积； (3)的面积为_________． 【举一反三练2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是的中点，，则的值为 ． 考点讲练12：重心的概念 【精讲题】（2020·江苏镇江·二模）如图，是的中线，且，将绕点旋转得到，则 ．的面积 ．    【举一反三练1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练2】（22-23七年级下·河北保定·期中）下列正确的有（    ） ①同旁内角互补：②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②三角形的三条角平分线的交点在三角形内；④三角形三条中线的交点在三角形内；⑤三角形的三条高线的交点在三角形内； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练13：三角形角平分线的定义 【精讲题】（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【举一反三练1】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三练2】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形中，，点E为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 考点讲练14：利用网格求三角形面积 【精讲题】（22-23八年级上·内蒙古兴安盟·开学考试）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点、的坐标分别为． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)将向右平移个单位长度，然后再向下平移个单位长度，得到，画出平移后的． (3)求的面积． 【举一反三练1】（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上． (1)在图①中，在右侧找到格点，使； (2)在图②中，画出，使； (3)在图③中，画射线，使平分四边形的面积． 【举一反三练2】（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)写出，，的坐标； (2)在图中画出平移后的； (3)求的面积． 考点讲练15：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【举一反三练1】（20-21七年级下·广东惠州·期中）如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求： （1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案． （2）通过上面的设计，可以看出至少需再加 根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用． （3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是． 【举一反三练2】（18-19八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 考点讲练16：四边形的不稳定性 【精讲题】（19-20七年级·全国·假期作业）如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？ 归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______； ②四边形木架的形状______说明四边形没有______． 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【举一反三练2】（20-21八年级上·山西朔州·阶段练习）赵师傅在做完门框后，为防止变形，按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的两根木条），其中运用的几何原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到的距离是（    ） A．3 B．4 C． D． 4．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，为的中线，E为中点，，面积等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，的面积是1，是的中线，，，则的面积为 ． 6．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中 ，分别是边上的高和中线．若，则的面积是      7．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 8．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 ．    9．（14-15七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于D，若，，，则 ． 10．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：_______， _______，_______； (2)画出平移后三角形； (3)求三角形的面积． 11．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，中， (1)画出边上的中线； (2)画出 边上的高 12．（21-22八年级上·广西南宁·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．    (1)如图1，在中，，则长为 　 　； (2)如图2，在中，，则的高与的比是 　 　； (3)如图3，在中，，点D，P分别在边上，且，垂足分别为点E，F．若，求的值． 13．（18-19八年级上·全国·单元测试）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．    (1)若，，，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗? 14．（22-23八年级上·吉林长春·开学考试）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点A移动到点，点B、C的对应点分别是点． (1)的面积是 ； (2)画出平移后的； (3)线段在平移到过程中扫过的区域面积是 ． 培优题真题汇编练 15．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是边上任意一点，分别是的中点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且（阴影部分），则的面积等于（　　） A． B． C． D． 18．（20-21七年级下·江苏·期中）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（   ） A．3 B． C． D．6 19．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ． 20． （23-24八年级上·河南周口·阶段练习）若a，b，c为的三边，化简： ． 21．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，是边上的中线，在中，是边上的中线，若，则的面积为 ． 22．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是 ．    23．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是 ．    24．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长． 25．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 26．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 27．（23-24八年级上·广东广州·开学考试）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点、点，交于点，，且．    (1)当时，______． (2)证明：平分． (3)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点做于点．在点的运动过程中，、、之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 28．（20-21七年级下·江苏苏州·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′． 根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全△A′B′C′； (2)请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD； (3)利用格点在图中画出AC边上的高线BE； (4)找△ABF（要求各顶点在格点上，F不与点C重合），使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点F共_______个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第11章《三角形》】 11.1 与三角形有关的线段 （知识精讲+易错点拨+十六大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：三角形的识别与有关概念 4 考点讲练2：三角形的个数问题 6 考点讲练3：三角形的分类 8 考点讲练4：构成三角形的条件 11 考点讲练5：确定第三边的取值范围 13 考点讲练6：三角形三边关系的应用 16 考点讲练7：画三角形的高 18 考点讲练8：与三角形的高有关的计算问题 21 考点讲练9：垂心 24 考点讲练10：根据三角形中线求长度 26 考点讲练11：根据三角形中线求面积 29 考点讲练12：重心的概念 32 考点讲练13：三角形角平分线的定义 34 考点讲练14：利用网格求三角形面积 37 考点讲练15：三角形的稳定性及应用 41 考点讲练16：四边形的不稳定性 44 中等题真题汇编练 46 培优题真题汇编练 58 新知精讲梳理 知识点01：三角形的定义与基本元素 定义：三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 基本元素： 边：组成三角形的线段。 顶点：相邻两边的公共端点。 内角：相邻两边所组成的角。 表示方法：如三角形ABC，顶点为A、B、C，记作△ABC，读作“三角形ABC”。 知识点02：三角形的分类 根据边的相等关系分类： 不等边三角形：三边都不相等的三角形。 等腰三角形：有两边相等的三角形。其中，相等的两边称为腰，另一边称为底边；两腰的夹角称为顶角，腰和底边的夹角称为底角。等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）。 等边三角形：三边都相等的三角形。其三个内角都相等，均为60°。等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有等腰三角形的一切性质。 知识点03：三角形的三边关系 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 推论： 判断三条已知线段能否组成三角形。 当已知两边时，可确定第三边的范围。 证明线段不等关系。 知识点04：三角形的重要线段 高：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段。 中线：连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段。三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分。 角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段。 重要性质：三角形的中线、高、角平分线均为线段，且三角形的三条中线、三条角平分线分别交于一点（但高的交点位置取决于三角形的类型，锐角三角形交于三角形内部，直角三角形交于直角顶点，钝角三角形交于三角形外部）。 知识点05：三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，这一性质称为三角形的稳定性。这一性质在生产生活中应用广泛，如许多需要稳定结构的物体都设计成三角形形状。 知识点06：三角形的内角和与外角和 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 外角和定理：三角形的外角和为360°。 重要性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角。 通过以上知识点的阐述，我们可以全面理解人教版数学8年级上册第11章三角形中第1节“与三角形有关的线段”的内容。这些知识点不仅是后续学习的基础，也是解决实际问题的重要工具。 高频易错知识点拨 易错知识点01：三角形的定义与基本元素 定义理解不清：学生可能将三条线段在同一直线上误认为能组成三角形，忽略了“首尾顺次相接”和“不在同一直线上”的关键条件。 基本元素混淆：三角形的边、顶点、内角的概念容易混淆，尤其是在复杂图形中识别三角形的各元素时。 应对策略： 通过实例和图形加强学生对三角形定义的理解，强调“首尾顺次相接”和“不在同一直线上”的必要性。 引导学生准确识别三角形的基本元素，并在复杂图形中标注出来。 易错知识点02：三角形的分类 分类标准不明确：学生可能混淆按边分类（等腰三角形、等边三角形、不等边三角形）和按角分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的标准。 特例识别不清：等边三角形作为特殊的等腰三角形，其性质容易被忽视。 应对策略： 明确分类标准，通过对比不同三角形的特征和性质，帮助学生理解并记忆。 强调等边三角形作为特殊等腰三角形的地位，并举例说明其特殊性质。 易错知识点03：三角形的三边关系 定理应用不当：学生可能错误地认为只要满足两边之和大于第三边就能组成三角形，忽略了“两边之差小于第三边”的条件。 计算错误：在判断三条线段能否组成三角形时，计算过程容易出现错误。 应对策略： 强调三边关系定理的完整表述，即“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。 通过例题和练习，加强学生对定理的应用能力，提高计算的准确性。 易错知识点04：三角形的角平分线、中线和高 概念混淆：学生可能混淆角平分线、中线和高的定义和性质。 位置判断错误：对于不同类型的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），其高线的位置容易判断错误。 应对策略： 清晰定义并区分角平分线、中线和高的概念及性质。 通过图形展示和动手操作，帮助学生理解并记忆不同类型三角形中高线的位置。 易错知识点05：三角形的稳定性 性质理解不深：学生可能仅停留在对三角形稳定性这一性质的表面理解上，未能深入理解其在实际生活中的应用。 应对策略： 通过实例说明三角形稳定性在桥梁结构、建筑设计等领域的应用，加深学生对这一性质的理解。 考点讲练1：三角形的识别与有关概念 【精讲题】（21-22七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为 ． 【答案】4 【思路点拨】由三角形面积公式，当高一样时，面积比=底边比，由，解得，，由解得，据此解答． 【规范解答】解：， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查三角形面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【举一反三练1】（17-18七年级下·河南周口·期末）如图，图中有 个三角形，以AD为边的三角形有 ． 【答案】 3 △ABD，△ADC 【思路点拨】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 【规范解答】图中共有3个三角形；它们是△ABD；△ADC；△ABC； 以AD为边的三角形有△ABD，△ADC； 故答案为3；△ABD，△ADC 【考点评析】此题主要考查了三角形中的重要元素，关键是正确理解三角形的定义． 【举一反三练2】（20-21八年级上·四川广元·阶段练习）已知a、b、c为△ABC的三边长； ①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状． ②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值． 【答案】①△ABC是等腰三角形；周长为7；②△ABC的周长的最大值13，最小值11． 【思路点拨】①利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状． ②利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而求出△ABC的周长最大值和最小值． 【规范解答】解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0， ∴b﹣2＝0，c﹣3＝0， 解得：b＝2，c＝3， ∵a为方程|a﹣4|＝2的解， ∴a﹣4＝±2， 解得：a＝6或2， ∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6， ∴a＝6不合题意舍去， ∴a＝2， ∴△ABC的周长为：2+2+3＝7， ∴△ABC是等腰三角形． ②∵a＝5，b＝2，c为整数， ∴5﹣2＜c＜2+5， ∴c的最小值为4，c的最大值为6， ∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11． 【考点评析】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是正确理解三角形的三边关系． 考点讲练2：三角形的个数问题 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【思路点拨】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【规范解答】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 【举一反三练1】（20-21八年级上·全国·课后作业）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】 见解析． 【思路点拨】直接利用三角形的定义得出答案． 【规范解答】图中有5个三角形，分别是△ABE，△ABC，△BEC，△BCD，△CDE. 【考点评析】此题主要考查了三角形的定义，正确把握定义是解题关键． 【举一反三练2】（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ (3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 【答案】(1)3，6，10，15，21，28；(2)8；(3) 【思路点拨】(1)根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36； (2)若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点； (3)若有n个分点，则有()()． 【规范解答】(1) 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 (2)由(1)中表格：7个分点时，有28+8=36；8个分点时，有36+9=45； ∴出现了45个三角形，则共连接了8个点； (3)设连接到AAn时，图中有个三角形(n为正整数)． 观察图形和(1)中表格，可知：=2+1=3，=3+2+1=3，=4+3+2+1=10，， ∴ =()()， ∴若一直连接到，则图中共有()()个三角形． 【考点评析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 考点讲练3：三角形的分类 【精讲题】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）现有以下表述： ①三角形按边相等关系分类有三边都不等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点； ③平面上有四个点、、、，用它们作顶点可以构成3个或4个三角形； ④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查三角形，三角形的分类等知识． ①按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；②根据三角形的中线，高的性质判断即可；③四点共线，不能构成三角形；④三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形，由此判断即可． 【规范解答】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形，故原说法错误； ②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点，故原说法正确； ③平面上有四个点A、B、C、D，当四点共线时，不能组成三角形，故原说法错误； ④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种，故原说法正确； 理由如下： 三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形． 因为，且满足；且满足；且满足；且满足． 故选：B． 【举一反三练1】（19-20七年级下·河南周口·期末）下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路点拨】根据三角形的分类判断即可． 【规范解答】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原说法正确； （2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误； （3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原说法错误； （4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误； 故选：A． 【考点评析】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 【答案】(1)4个 (2)，见解析 (3)， 【思路点拨】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【规范解答】（1）解：，， ， 是直角三角形， 图中有4个直角三角形,； （2）解：由（1） 知是直角三角形， ， ； （3）解：，， ， ， ． 考点讲练4：构成三角形的条件 【精讲题】（20-21七年级下·全国·课后作业）若三边均不相等的三角形三边a，b，c（）满足，则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． (1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号） ①4，2，1；    ②13，18，9；    ③19，20，19；    ④9，8，6 (2)已知“不均衡三角形”三边分别为，求出所有符合条件的x的整数值． 【答案】(1)② (2)10，12，13，14 【思路点拨】本题考查了三角形三边关系，求不等式的解集，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． （1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，根据“不均衡三角形”的定义列方程求解即可． 【规范解答】（1）①∵， ∴4，2，1不能组成“不均衡三角形”； ②∵， ∴13，18，9能组成“不均衡三角形”； ③∵， ∴19，20，19不能组成“不均衡三角形”； ④∵， ∴9，8，6不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：②； （2）∵， ∴． 当时，即， 则， 解得：（舍）      当时，即， 则， 解得：，则，符合题意的x取值为10                                             当时，即， 则， 解得：，则，符合题意的x取值为12，13，14                                             综合的x的取值为10，12，13，14． 【举一反三练1】（23-24七年级下·河北保定·期末）用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为和，则第三根木棒的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了三角形的三边关系以及奇数的定义，首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步根据奇数这一条件分析，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【规范解答】解：根据三角形的三边关系，得： 第三根木棒，即第三根木棒， 又∵第三根木棒的长度是奇数， ∴第三根木棒的长度可以为，，， 故选：D． 【举一反三练2】（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不可以，理由见解析． 【思路点拨】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长； （2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可． 【规范解答】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米 ∴第二条边长为米， 由题意可知：第三条边长为米； （2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米 ∵ ∴此时不能构成三角形， ∴第一条边长不可以为7米． 【考点评析】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键． 考点讲练5：确定第三边的取值范围 【精讲题】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、三角形三边关系等知识点，确定第三边的范围是解本题的关键． 根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围，再表示在数轴上即可． 【规范解答】解：已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围为，即，表示在数轴上为： ． 故选C． 【举一反三练1】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【规范解答】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 故选D． 【举一反三练2】（21-22八年级上·江西上饶·期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)第一条边长能否为10米？为什么？ (2)求的取值范围． 【答案】(1)不能．理由见解析 (2)的取值范围是 【思路点拨】（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长，当时，三边长分别为10，28，12，根据三角形三边关系即可作出判断； （2）根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围． 【规范解答】（1）不能．理由如下： 由题意得：第一条边长为m米，则第二条边长为米，第三条边长为米， 若第一条边长为10米，则第二条边长为28米，第三条边长为12米， 而，不符合三角形两边的和大于第三边， 不能构成三角形． 第一条边长不能为10米． （2）由题意，知三角形的三边长分别为米，米，米， 则解得． 由三角形两边的和大于第三边，得， 解得． 故的取值范围是． 【考点评析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键． 考点讲练6：三角形三边关系的应用 【精讲题】（22-23八年级上·贵州遵义·期中）已知，，是三角形的三边长． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题主要考查了三角形的三边关系定理、绝对值的性质、代数式求值等知识点，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可确定绝对值符号内的式子的符号，从而去绝对值再化简即可； （2）将代入，，代入（1）化简的代数式求值即可． 【规范解答】（1）解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴． （2）解：把，，，代入（1）中式子可得： 原式． 【举一反三练1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为方程的解，则的周长为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题主要考查了三角形三边关系以、绝对值的性质和偶次方的性质等知识点，正确求得a的值是解题关键． 利用绝对值的性质以及偶次方的性质可得的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，最后求出的周长即可． 【规范解答】解：∵， ∴且， ∴， ∵a为方程的解， ∴或， 又∵，不能构成三角形， ∴， ∴的周长为． 故答案为：9． 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解一元一次不等式，解题的关键是利用非负性求出，的值． （1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解； （2）根据第题意，列出不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， 解得，， ，， ∴． （2）解：∵， ． 考点讲练7：画三角形的高 【精讲题】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，的顶点都在正方形网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将向左平移7个单位长度得到. (1)在网格中画出及边上的中线和高线； (2)直接写出线段所扫过的面积. 【答案】(1)见解析 (2)35 【思路点拨】本题考查平移作图、三角形的角平分线、中线和高等知识点，熟练掌握平移的性质、三角形的中线和高的定义是解题的关键． （1）根据平移的性质作图可得，根据三角形的中线和高的定义画图可得和； （2）求出四边形的面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，，和即为所求． （2）解：线段所扫过的面积为． 【举一反三练1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，G为的中点，连接并延长，交于点E，过点C作于点H，延长交于点F．下面说法错误的是（　　） A．是的角平分线 B．是的边上的高线 C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线 【答案】D 【思路点拨】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【规范解答】解：A、， 是的角平分线，本选项说法正确，不符合题意； B、， 是的边上的高线，本选项说法正确，不符合题意； C、，， 是的角平分线和高线，本选项说法正确，不符合题意； D、∵G为的中点， 是的边上的中线，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【举一反三练2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点均在格点上，按要求画图： (1)请画出的边上的高； (2)画一条一端经过的顶点，一端经过格点的线段，将分成面积相等的两部分； (3)直接写出的面积______． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)． 【思路点拨】（）根据高的定义作图即可； （）作出边的中线即可； （）利用三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了三角形的高和中线，三角形的面积，掌握三角形高和中线的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：的面积， 故答案为：． 考点讲练8：与三角形的高有关的计算问题 【精讲题】（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D在边上，．若，则 ．    【答案】3 【思路点拨】本题考查了三角形的面积计算公式的实际应用．熟练掌握等高的三角形面积之比等于底的比是解题的关键． 由题意知，，则，即，由，可得，则，即，由，可得，即，计算求解即可． 【规范解答】解：由题意知，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得，， 故答案为：3． 【举一反三练1】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．分为两种情况讨论：当点在上时：当点在上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【规范解答】解：如图1，当点在上， 中，，，，点是的中点， ，． 的面积等于10， ， ， 即， ． 如图2，当点在上， 是的中点， ． ， ， 当点Ｐ在点Ｅ的左边时，， 当点Ｐ在点Ｅ的右边时，． 综上所述，当或或时，的面积会等于10， 故答案为或或． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ， ， ， 故点到直线的距离为． 考点讲练9：垂心 【精讲题】（18-19八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法：①三角形任何两边之差小于第三边；②等腰三角形两腰上的高相等；③若 ≥1，则x＝2；④三角形的三条高不一定交于三角形内一点．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【思路点拨】根据三角形三边关系对①进行判断；根据等腰三角形的性质对②进行判断；解一元一次不等式对③进行判断；根据三角形高的定义对④进行判断． 【规范解答】①三角形任何两边之差小于第三边是正确的； ②等腰三角形两腰上的高相等是正确的； ③若≥1，则x≥2．原来的说法错误； ④三角形的三条高不一定交于三角形内一点是正确的． 故选B． 【考点评析】考查了三角形的三边关系、三角形的高线的定义及等腰三角形的性质，解一元一次不等式,解题关键是熟记其相关定义和性质. 【举一反三练1】（23-24八年级上·北京西城·期中）在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角 【答案】D 【思路点拨】根据锐角三角形的三条高交点在三角形内部，直角三角形的三条高交点为直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线交点在三角形外部，判断即可． 【规范解答】解：∵三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部， ∴是钝角三角形， ∵， ∴与一个锐角一个钝角，具体谁是钝角无法确定， 故选：D． 【举一反三练2】（22-23八年级上·全国·课后作业） (1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据三角形高的画法画图即可； （2）根据（1）所作图形进行求解即可． 【规范解答】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部． 【考点评析】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键． 考点讲练10：根据三角形中线求长度 【精讲题】（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【答案】(1)； (2)17 【思路点拨】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ， 的周长为10， ， ， ， 的周长 【举一反三练1】（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，，G为的中点，延长交于E．点F为上的一点，于H．下列判断正确的有（   ） （1）是的角平分线；（2）是边上的中线；（3）为边上的高；（4）和面积相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和对边相交的交点之间的线段．正确理解定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、中线、高线的概念逐项分析即可． 【规范解答】解：∵， ∴是的角平分线，故（1）正确． 无法判断，故不是边边上的中线，故（2）错误． ∵， ∴为边上的高，故（3）正确， ∵G是的中点， ∴和面积相等，故（4）正确． 故选：B． 【举一反三练2】（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【规范解答】（1）解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． （3）解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 考点讲练11：根据三角形中线求面积 【精讲题】（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分面积（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查三角形中线的性质，理解和掌握三角形中线分三角形得到的两个三角形面积相等是解题的关键． 三角形的中线分得的两个三角形面积相等，由此可知，，，由此即可求解． 【规范解答】解：∵点，，分别为，，的中点，且， ∴， ， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三练1】（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)作边上的高线，垂足为D； (2)在边上取一点E，连接，使得平分的面积； (3)的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【思路点拨】本题主要考查了画三角形的高，画三角形中线，求三角形面积． （1）根据三角形高的画法作图即可； （3）只需要令为的中点即可； （3）直接利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：的面积为． 故答案为：8． 【举一反三练2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是的中点，，则的值为 ． 【答案】48 【思路点拨】本题考查三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【规范解答】解：连结， ∵点F是的中点， ∴，即． ∵点E是的中点， ∴，即， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为48． 考点讲练12：重心的概念 【精讲题】（2020·江苏镇江·二模）如图，是的中线，且，将绕点旋转得到，则 ．的面积 ．    【答案】 2 18 【思路点拨】根据是的中线，且CG=2DG可得点G为△ABC的重心，得到CD=3GD=6，DE=GD=GC=2，再利用勾股定理逆定理证明BG⊥CE，根据中线的性质，得S△ACD=S△BCD，可求△BCD的面积． 【规范解答】解：∵是的中线，且CG=2DG， ∴点G为△ABC的重心， ∴CD=3GD=6， 根据旋转的性质得：DE=GD=GC=2， ∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5， ∴BG2+GE2=BE2，即BG⊥CE， ∵CD为△ABC的中线， ∴S△ACD=S△BCD， ∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=2S△BCD=2××BG×CD=18cm2． 故答案为：2，18． 【考点评析】本题考查重心的概念和性质，旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【举一反三练1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键．根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答． 【规范解答】解：①三角形的角平分线是线段，故原说法错误； ②锐角三角形的三条高线都在三角形内部，故原说法错误； ③三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，故原说法错误； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形，故正确． 故选：A． 【举一反三练2】（22-23七年级下·河北保定·期中）下列正确的有（    ） ①同旁内角互补：②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②三角形的三条角平分线的交点在三角形内；④三角形三条中线的交点在三角形内；⑤三角形的三条高线的交点在三角形内； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】根据平行线的性质，点到直线的距离，三角形角平分线的，中线，高线的交点逐项分析判断即可求解． 【规范解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，故①错误： ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故②错误； ②三角形的三条角平分线的交点在三角形内，正确； ④三角形三条中线的交点在三角形内，正确； ⑤三角形的三条高线的交点不一定在三角形内，故⑤错误； 故选：B． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，三角形角平分线的，中线，高线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点讲练13：三角形角平分线的定义 【精讲题】（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【思路点拨】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【规范解答】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 ∴ 又 故正确；   故正确； 故错误； 故答案为：①②③． 【举一反三练1】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【规范解答】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，符合题意的有4个， 故选：C 【举一反三练2】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形中，，点E为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的性质，角平分线是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，由，可得； （2）由，可得，由是的角平分线，可得，由，可得，由，可得，即，求解作答即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴的度数为． 考点讲练14：利用网格求三角形面积 【精讲题】（22-23八年级上·内蒙古兴安盟·开学考试）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点、的坐标分别为． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)将向右平移个单位长度，然后再向下平移个单位长度，得到，画出平移后的． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用点、的坐标建立直角坐标系； （2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点得到； （3）用个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【规范解答】（1）解：如图，建立平面直角坐标系； （2）如图，为所作； （3）． 【举一反三练1】（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上． (1)在图①中，在右侧找到格点，使； (2)在图②中，画出，使； (3)在图③中，画射线，使平分四边形的面积． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【思路点拨】（）取格点，连接，由网格可得，，即，故点即为所求； （）取格点，由网格可得，，即，故即为所求； （）取格点，画射线，由网格可得，即射线即为所求． 本题考查了网格作图，根据网格特点求出图形的面积是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，射线即为所求． 【举一反三练2】（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)写出，，的坐标； (2)在图中画出平移后的； (3)求的面积． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)的面积为3.5 【思路点拨】本题考查点的平移规律，平移基本作图，割补法求三角形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）根据点的平移规律写出，，的坐标即可解题； （2）根据（1），，的坐标描出点，，，再顺次连接，即可解题； （3）利用割补法即可求出的面积． 【规范解答】（1）解：由平移可得，，，． （2）解：平移后的如图所示． （3）解：， 的面积为． 考点讲练15：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【思路点拨】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【规范解答】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【考点评析】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 【举一反三练1】（20-21七年级下·广东惠州·期中）如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求： （1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案． （2）通过上面的设计，可以看出至少需再加 根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用． （3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是． 【答案】（1）答案见解析；（2）三；（3）三角形的稳定性． 【规范解答】解：（1）如图所示（答案不唯一） （2）至少要三根 故答案为：三； （3）三角形的稳定性． 【举一反三练2】（18-19八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【规范解答】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 考点讲练16：四边形的不稳定性 【精讲题】（19-20七年级·全国·假期作业）如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？ 归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______； ②四边形木架的形状______说明四边形没有______． 【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性； 图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定； 图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性； 归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ． 【思路点拨】①根据三角形的稳定性进行解答即可； ②根据四边形的不稳定性进行解答即可． 【规范解答】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性； 图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定； 图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性； 归纳： ①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ． 故答案为： 是三角形， 稳定性； ②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ． 故答案为： 四边形， 稳定性 ． 【考点评析】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单． 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)三角形的稳定性 (3)四边形的不稳定性 【思路点拨】本题考查了两点确定一条直线，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键 【规范解答】（1）两个钉子把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线； （2）有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子，利用的是三角形具有稳定性； （3）三个边长相同的四边形做成的挂衣架是运用四边形的不稳定性的性质 【举一反三练2】（20-21八年级上·山西朔州·阶段练习）赵师傅在做完门框后，为防止变形，按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的两根木条），其中运用的几何原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 【答案】D 【思路点拨】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【规范解答】赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性． 故选：D． 【考点评析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【答案】C 【思路点拨】分别作出锐角三角形，钝角三角形，直角三角形的三条高线进行判断，就可以得到． 本题主要考查三角形的高的概念，能正确作出三角形的三条高是解题的关键． 【规范解答】解：A.锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误； B.钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，三条高所在的直线相较于一点，这个点再三角形的外部，故错误； C.直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确； D.能确定C正确，故错误． 故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】B 【思路点拨】根据“三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高”对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题主要考差了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 【规范解答】解：于点D， 中，是边上的高，故A不符合题意， ，线段是边上的高，故B选项符合题意； 于点F， 是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到的距离是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形的面积； 根据三角形面积的不同计算方法列式求解即可． 【规范解答】解：因为 所以，即， ∴，即点C到的距离是， 故选：D． 4．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，为的中线，E为中点，，面积等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形的中线的性质，解题的关键在于理解三角形中线能将三角形分为面积相等的两个三角形．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形解答即可． 【规范解答】解：为的中线，， ， E为中点， ． 故选：B． 5．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，的面积是1，是的中线，，，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据题意得到，则，同理可得． 【规范解答】解：∵的面积是1，是的中线， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中 ，分别是边上的高和中线．若，则的面积是      【答案】 【思路点拨】本题主要考查了三角形中线和高的定义，根据三角形中线的定义得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：∵是的中线， ∴， ∵是的高，且， ∴， 故答案为：10． 7．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴线段是中边上的高， 故答案为：． 8．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 ．    【答案】3 【思路点拨】本题考查了三角形中线的性质，根据中线的意义可得等底同高，即，同理可得，进而求解即可． 【规范解答】∵是的中线， ∴， ∴等底同高，即， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 9．（14-15七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于D，若，，，则 ． 【答案】32 【思路点拨】本题考查了坐标与图形性质，关键是根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积是解题关键．作三角形的高线，根据坐标求出、、的长，利用面积法可以得出． 【规范解答】解：过作轴于，过作轴于， ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：_______， _______，_______； (2)画出平移后三角形； (3)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【思路点拨】本题考查平移作图、平移性质求坐标及网格中求三角形面积等，数形结合，熟练掌握图形平移是解决问题的关键． （1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标； （2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案； （3）在网格中，数形结合，间接表示出，代值计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示： 则、、， 将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度， 、、， 故答案为：； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：如图所示： ． 11．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，中， (1)画出边上的中线； (2)画出 边上的高 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【思路点拨】本题考查了作图——三角形的中线和高，根据相关定义正确作图即可． （1）根据三角形中线的定义作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可． 【规范解答】（1）解：如图，中线即为所求作； （2）解：如图，高即为所求作． 12．（21-22八年级上·广西南宁·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．    (1)如图1，在中，，则长为 　 　； (2)如图2，在中，，则的高与的比是 　 　； (3)如图3，在中，，点D，P分别在边上，且，垂足分别为点E，F．若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【思路点拨】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握利用等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，且， ∴， 又∵， ∴， 即． 13．（18-19八年级上·全国·单元测试）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．    (1)若，，，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗? 【答案】(1)最大值为19，最小值为3 (2) 【思路点拨】此题考查了三角形的三边关系，关键是确定取最值时木棒的位置及围成四边形时满足的条件． （1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围． 【规范解答】（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为、、、． ，，， ， 要求的最小值，即将绕顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点从左到右依次为、、、． ，，， ． 综上，的最大值是19，最小值是3． （2）要围成四边形，则的取值范围为：． 14．（22-23八年级上·吉林长春·开学考试）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点A移动到点，点B、C的对应点分别是点． (1)的面积是 ； (2)画出平移后的； (3)线段在平移到过程中扫过的区域面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)17 【思路点拨】本题主要考查作图﹣平移及平移的性质，熟练掌握平移的性质及割补法求三角形的面积是解题关键． （1）利用割补法求解可得； （2）由点A及其对应点得出平移方式为：先向左移5格，再向下移2格，据此作出点B和点C的对应点，再顺次连接即可得； （3）根据平移变换的性质可得答案． 【规范解答】（1）解：的面积是； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：根据图形得：线段在平移到过程中扫过的区域为平行四边形， 则面积为： 培优题真题汇编练 15．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是边上任意一点，分别是的中点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接，由点是的中点，则，，故，所以，根据点是的中点的，点是的中点得，从而求解，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【规范解答】连接，如图所示， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故选：． 16．（23-24八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断④． 【规范解答】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 综上，符合题意的有3个， 故选：B 17．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且（阴影部分），则的面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查三角形的中线及三角形的面积，利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到，再利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到，，从而得到的值．解题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，三角形的面积等于底与高的乘积的一半． 【规范解答】解：∵点是的中点，（阴影部分）， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， ∴的面积等于． 故选：B． 18．（20-21七年级下·江苏·期中）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【思路点拨】由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴①， 同理，∵，， ∴，， ∴， ∴②， 由①-②得：． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换． 19．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，先根据的面积求得，再由三角形中线的定义即可求出． 【规范解答】解：边上的高，，的面积是， ，即， ， 是边上的中线， ， 故答案为：8． 20．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）若a，b，c为的三边，化简： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了三角形三边之间的关系，绝对值化简，合并同类项，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，以及合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数相加减；根据三角形三边之间的关系得出，则，再化简绝对值，最后合并同类项即可． 【规范解答】解：∵a，b，c为的三边， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 21．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，是边上的中线，在中，是边上的中线，若，则的面积为 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，根据三角形的中线的性质，得的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半，由此即可解决问题． 【规范解答】解：∵是的中线， ∴； ∵是的中线， ∴． 故答案为：12． 22．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是 ．    【答案】9 【思路点拨】本题考查的三角形的中线与三角形的面积之间的关系，考查了底不等而高相同的两个三角形的面积关系，连接，设，利用及中点，分别表示四边形的面积与的面积，利用的面积最大，四边形的面积最大，是解决问题的关键． 【规范解答】解：连接，    ∵， 设，则， ∵为的中点， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴，则， ∴四边形的面积， ∴的面积最大，四边形的面积最大， ∴当时，的面积最大，四边形的面积最大， 此时四边形的面积， 故答案为：9． 23．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是 ．    【答案】 【思路点拨】连接，．由题意中的线段的比和，可推出，，从而可求出，．结合中点的性质即得出，从而可求出，进而得出，最后即得出，最后即可求出． 【规范解答】解：如图，连接，．    ∵，， ∴，． 又∵， ∴，． ∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即, ∴， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题考查线段的中点的性质，线段的n等分点的性质，与三角形的高有关的计算问题．正确的连接辅助线是解题关键． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长． 【答案】(1)16 (2)11 【思路点拨】（1）根据三角形的中线的概念计算； （2）根据三角形的周长公式得到，，进而求出． 本题主要考查了三角形中线的定义和性质，熟练掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：是 的中线，， ， 是的中线， ； （2）解：是 的中线， ， 与的周长差为3， ， ， 的周长为37，， ， ， ． 25．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长-当的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 26．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)的周长为11或13 (2) 【思路点拨】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【规范解答】（1）解：， ，即， 由于c是偶数，则或6， 当时，的周长为， 当时，的周长为． 综上所述，的周长为11或13． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 27．（23-24八年级上·广东广州·开学考试）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点、点，交于点，，且．    (1)当时，______． (2)证明：平分． (3)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点做于点．在点的运动过程中，、、之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 【答案】(1)32.5 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据平行线的性质可得，根据可得，进而得出的度数； （2）由（1）得，根据角平分线的定义即可得出结论； （3）根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可得，再根据，即可得到，再由即可得到结论． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：32.5； （2）证明：由（1）得：， 平分； （3）解：， 证明：， ， 平分， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 在中，， ， ，即， ， ． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点，利用角的和差关系进行推算，是解题的关键． 28．（20-21七年级下·江苏苏州·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′． 根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全△A′B′C′； (2)请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD； (3)利用格点在图中画出AC边上的高线BE； (4)找△ABF（要求各顶点在格点上，F不与点C重合），使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点F共_______个． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)6 【思路点拨】（1）利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点A′，C′，再依次连接即可． （2）找到AC边的中点即可画出图形． （3）取格点T，连接BT交AC的延长线于点E，线段BE即为所求． （4）利用等高模型，找到AB两侧与点C到AB距离相等的点即可． 【规范解答】（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）如图，线段BD即为所求． （3）如图，线段BE即为所求． （4）如图，满足条件的点F有6个． 【考点评析】本题考查作图-平移变换，中线，高，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用等高模型解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$