专题2.15 绝对值贯穿有理数的经典考法【八大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版2024）

专题2.15 绝对值贯穿有理数的经典考法【八大题型】 【苏科版2024】 【题型1 根据绝对值的非负性求值】 1 【题型2 根据字母的取值范围化简绝对值】 2 【题型3 利用绝对值的定义判断结论正误】 2 【题型4 利用绝对值的意义求字母取值范围】 3 【题型5 利用绝对值的性质化简求值】 4 【题型6 利用绝对值的意义分类讨论问题】 4 【题型7 利用分类讨论思想解决多绝对值问题】 4 【题型8 绝对值中最值问题】 5 知识点：绝对值 （1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； （2） 绝对值可表示为： 或 ； （3） ； ； （4）是重要的非负数，即，非负性. 【题型1 根据绝对值的非负性求值】 【例1】（23-24七年级·四川成都·期中）若，则 ． 【变式1-1】（23-24七年级·全国·单元测试）若|a|+|b|=|a+b|，则a、b满足的关系是 ． 【变式1-2】（23-24七年级·广东汕头·期末）已知，则 ． 【变式1-3】（23-24七年级·上海黄浦·期中）若，则= ． 【题型2 根据字母的取值范围化简绝对值】 【例2】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若满足方程，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级·广西贵港·期中）有理数在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式的结果是（   ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级·广东广州·期中）如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【变式2-3】（23-24七年级·广东湛江·期中）已知，，，化简 ． 【题型3 利用绝对值的定义判断结论正误】 【例3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（　　） ①若，，则；②若，则B为AC的中点；③化简；④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若，，点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若，则最小值为12134． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】（23-24七年级·重庆·期中）下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-2】（23-24七年级·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 【变式3-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法： ①化简一共有8种不同的结果； ②化简一共有8种不同的结果； ③若，（为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型4 利用绝对值的意义求字母取值范围】 【例4】（23-24七年级·浙江杭州·期中）若的值是一个定值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式4-1】（23-24七年级·上海徐汇·阶段练习）已知：，则a的取值范围是 【变式4-2】（23-24七年级·天津河西·期中）当取最小值时，x的取值范围是 ，最小值是 ． 【变式4-3】（23-24七年级·四川绵阳·期中）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是 ． 【题型5 利用绝对值的性质化简求值】 【例5】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知有理数，，满足，且，则 ． 【变式5-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝ ． 【变式5-2】（23-24七年级·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 【变式5-3】（23-24七年级·山东·课后作业）图表示数在线四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s.若 | p－r |=10，  | p－s |=12，| q－s |=9，则 | q－r |=？（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【题型6 利用绝对值的意义分类讨论问题】 【例6】（23-24七年级·河南平顶山·阶段练习）已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 【变式6-1】（23-24七年级·浙江·期末）已知a，b，c为有理数，且，，则的值为（    ） A．1 B．或 C．1或 D．或3 【变式6-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知，则值为多少（     ） A．1或﹣3 B．1或﹣1 C．﹣1或3 D．3或﹣3 【变式6-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ． 【题型7 利用分类讨论思想解决多绝对值问题】 【例7】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【变式7-1】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【变式7-2】（23-24七年级·浙江宁波·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：    (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______．    (4)若，，，，，则式子的最小值为______． 【变式7-3】（23-24七年级·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【题型8 绝对值中最值问题】 【例8】（23-24七年级·四川南充·期末）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么，，计算结果最小的是（　　　） A． B． C． D．根据，，的值才能确定 【变式8-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式8-2】（23-24七年级·湖南长沙·期中）若，则代数式在的最小值是(   ) A． B． C． D．一个与有关的整式 【变式8-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知a，b，c为3个自然数，满足，其中，则的最大值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.15 绝对值贯穿有理数的经典考法【八大题型】 【苏科版2024】 【题型1 根据绝对值的非负性求值】 2 【题型2 根据字母的取值范围化简绝对值】 3 【题型3 利用绝对值的定义判断结论正误】 5 【题型4 利用绝对值的意义求字母取值范围】 10 【题型5 利用绝对值的性质化简求值】 12 【题型6 利用绝对值的意义分类讨论问题】 15 【题型7 利用分类讨论思想解决多绝对值问题】 18 【题型8 绝对值中最值问题】 25 知识点：绝对值 （1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； （2） 绝对值可表示为： 或 ； （3） ； ； （4）是重要的非负数，即，非负性. 【题型1 根据绝对值的非负性求值】 【例1】（23-24七年级·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，由，可得，，进而由非负数的性质得到，，即可求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握两个非负数的和为，这两个非负数均为是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24七年级·全国·单元测试）若|a|+|b|=|a+b|，则a、b满足的关系是 ． 【答案】a、b同号或a、b有一个为0或同时为0 【详解】∵|a|+|b|=|a+b|， ∴a、b满足的关系是a、b同号或a、b有一个为0，或同时为0， 故答案为a、b同号或a、b有一个为0，或同时为0． 【变式1-2】（23-24七年级·广东汕头·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得、b的值，然后将转化为的形式可求得. 【详解】∵ ∴－2=0，=0 解得：a=2， === 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出、b的值. 【变式1-3】（23-24七年级·上海黄浦·期中）若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，利用非负数的性质求出a与b的值，代入所求式子中拆项后，抵消即可求出值是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得： ∴ ， 故答案为：． 【题型2 根据字母的取值范围化简绝对值】 【例2】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若满足方程，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答. 【详解】当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以 故选D 【点睛】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键. 【变式2-1】（23-24七年级·广西贵港·期中）有理数在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并同类项即可得到结果. 【详解】解：由数轴可得a<0，b<0，c>0，且 ∴a-b<0，a+b<0，b-c<0 ∴ = = = 故选C 【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值、有理数的大小比较，解答此题的关键是明确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答. 【变式2-2】（23-24七年级·广东广州·期中）如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是线段的倍分关系，化简绝对值，整式的加减运算，由可得，结合可得，，，再进一步解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴ ， ，，， ，，， ， ． 故答案为： 【变式2-3】（23-24七年级·广东湛江·期中）已知，，，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据题意求出，得到，，，即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ，，， 则原式． 故答案为：． 【题型3 利用绝对值的定义判断结论正误】 【例3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（　　） ①若，，则；②若，则B为AC的中点；③化简；④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若，，点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若，则最小值为12134． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】①不知道表示的数字无法确定的值；②根据线段的中点的定义，以及中点公式进行判断；③根据点在数轴上的位置，化简绝对值，进行判断；④根据两点间的距离公式，以及两点之间线段最短，进行判断；⑤根据两点间的距离公式，列方程计算进行判断；⑥根据，得到，推出，，，得到当时，有最小值，进而求出最小值即可． 【详解】解：①不知道表示的数字无法确定的值，故①错误； ②∵， ∴为的中点，故②正确； ③由图可知：， ∴，故③错误； ④∵数轴上点M到A，B，C距离之和最小， ∴点M与点B重合；故④正确； ⑤设点表示的数为， 当点在点左边时，依题意有：， 解得： 当点在点右边时，依题意有：， 解得：； 综上，点表示的数为或5，故⑤错误； ⑥∵， ∴， ∴，，， ∴当时：有最小值为，故⑥正确； 综上：正确的是②④⑥，共3个； 故选A． 【点睛】本题考查整式的加减，方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及绝对值的意义和根据数轴上点的位置判断式子的符号，是解题的关键． 【变式3-1】（23-24七年级·重庆·期中）下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①由题意可得，，则中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由可得中有一个值为负数，求解即可；③根据化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得或，分别求解即可；⑤根据题意可得异号，分两种情况求解即可． 【详解】解：①由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时， 当时， 故①正确； ②由和得中有一个值为负数， ∴，， ∴， 故②错误； ③当时，，， 则，此时最大值为7，最小值为 当时，， 则 故③正确； ④由可得或 当时，与矛盾，舍去； 当时，，且 解得或 则， 故④正确； ⑤由题意可得异号， 当，时，，， 由可得，即符合题意，此时 则 当，时，， 由可得，即，与矛盾，舍去， 综上 故⑤正确； 正确的个数为4 故选：C 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 【变式3-2】（23-24七年级·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，， 当，，时，原式； 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：①⑤． 【变式3-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法： ①化简一共有8种不同的结果； ②化简一共有8种不同的结果； ③若，（为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】①由于的结果分别有2种，则的结果共有种；②根据的取值范围化简绝对值可得当时，；当时，；当时；当时，；则的结果共有4种；③根据题意可得，再由求出的值即可 【详解】解：①的结果有两种，的结果有两种，的结果有两种， 的结果共有种，故①说法正确； 当时， ； 当时， ； 当时， 当时，； 的结果共有4种情况，故②说法错误； ③ 解得，或（舍去） 故③说法正确， ∴正确的说法有2个， 故选：C 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握绝对值的性质、一元二次方程的解法是解题的关键 【题型4 利用绝对值的意义求字母取值范围】 【例4】（23-24七年级·浙江杭州·期中）若的值是一个定值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据a的范围，分情况利用绝对值的代数意义化简，使其值为常数，即可得到a的范围． 【详解】解：当a＜时，4-5a＞0，1-3a＞0， 原式=2a+4-5a+1-3a=-6a+5，当a时不合题意； 当≤a≤时，4-5a≥0，1-3a≤0， 原式=2a+4-5a+3a-1=3，符合题意； 当a＞时，4-5a＜0，1-3a＜0， 原式=2a+5a-4+3a-1=10a-5，不合题意， 综上，满足题意a的范围为或． 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值的化简以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式4-1】（23-24七年级·上海徐汇·阶段练习）已知：，则a的取值范围是 【答案】 【分析】利用绝对值的意义进行求解即可得到答案 【详解】解：因为， 所以， 因为一个非负数的绝对值等于它本身， 所以，a的取值范围是， 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是掌握一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 【变式4-2】（23-24七年级·天津河西·期中）当取最小值时，x的取值范围是 ，最小值是 ． 【答案】 5 【分析】表示数轴上到-2与3的距离之和，可得出最小值以及x的取值范围； 【详解】表示数轴上到-2与3的距离之和， 当x的取值范围为时，取得最小值， ，最小值为5； ∴x的取值范围为时有最小值，最小值为5. 故答案为；5. 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义在数轴上求最小值是解题的关键. 【变式4-3】（23-24七年级·四川绵阳·期中）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义， 表示数轴上两点间的距离，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 表示点x到 ，，，四点间距离的和， ∴当x在和之间是距离和最小， 最小值为 ， ∴ , 故答案为． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义： 表示数轴上两点间的距离，利用数形结合的思想是解题的关键． 【题型5 利用绝对值的性质化简求值】 【例5】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知有理数，，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】当时，则结合已知条件得到，不合题意舍去，从而＜ 可得＜再化简代数式即可得到答案． 【详解】解：当时，则 ， ， ，所以不合题意舍去， 所以＜ ， ＜ 故答案为： 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，绝对值的化简，同时考查去括号，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键． 【变式5-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝ ． 【答案】2 【分析】因为、、都为整数，而且，所以与只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出． 【详解】解：、、为整数，且， 有，或，， ①若，， 则，， ， ， ②，， 则，， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是绝对值的化简，解题的关键是掌握两个相反数的绝对值相等是解题的重点，灵活对绝对值的化简进行变形． 【变式5-2】（23-24七年级·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 【变式5-3】（23-24七年级·山东·课后作业）图表示数在线四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s.若 | p－r |=10，  | p－s |=12，| q－s |=9，则 | q－r |=？（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】A 【分析】根据数轴可知p＜q＜r＜s，根据绝对值的性质得：p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，所以q-r=-7，根据绝对值的性质，得出|q-r|的值． 【详解】观察数轴可得，p＜q＜r＜s， ∵|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9， ∴p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9， ∴p=r-10，p=s-12， ∴r-10=s-12， ∴s=r+2， ∴q-s=q-r-2=-9， ∴q-r=-7， ∴|q-r|=7． 故选A． 【点睛】本题主要考查绝对值性质的运用．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，将式子化简，即可求解． 【题型6 利用绝对值的意义分类讨论问题】 【例6】（23-24七年级·河南平顶山·阶段练习）已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】由，，可得、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得、、的符号有三种情况（，，或，，或，，），再根据绝对值的性质分三种情况求得的值即可解答 【详解】∵，， ∴、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴，，或，，或，，， 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ 综上，当，时， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到、、的符号有三种情况（，，或，，或，，）是解决问题的关键 【变式6-1】（23-24七年级·浙江·期末）已知a，b，c为有理数，且，，则的值为（    ） A．1 B．或 C．1或 D．或3 【答案】A 【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得． 【详解】∵ ∴a，b，c中应有奇数个负数 ∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负 ∵ ∴a，b，c的符号为1负2正 令，， ∴，， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键． 【变式6-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知，则值为多少（     ） A．1或﹣3 B．1或﹣1 C．﹣1或3 D．3或﹣3 【答案】A 【详解】试题分析：根据绝对值的性质及连乘法则，可判断出x、y、z的符号，再根据正负性即可求值. 解：∵， ∴， ∴x、y、z的符号为三负或两正一负. 当x、y、z均为负值时， 原式＝（－1）+（－1）+（－1）＝－3； 当x、y、z为两正一负时， 原式＝1+1+（－1）＝1； ∴值为1或－3. 故选A. 点睛：本题涉及的知识有绝对值、有理数的乘法.解题的关键在于要利用已知条件结合绝对值的性质、有理数连乘法则判断出x、y、z的符号，同时要注意利用分类讨论思想. 【变式6-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，能够确定且是解题的关键． 【详解】解：方程， ，即， 或， 或， 方程始终存在四个不同的实数解， ，， 且， ， 故答案为：1． 【题型7 利用分类讨论思想解决多绝对值问题】 【例7】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【答案】B 【分析】可得，从而可得 ；然后根据选项判断，，的符号，进行化简即可求解． 【详解】解： 是的中点， ， ； A． 在的左边，，，， ， 故此项不符合题意； B． 在与之间时，，，， ， 故此项符合题意； C．在与之间时，，，， ， 故此项不符合题意； D．在的右边时，，，， ， 故此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键． 【变式7-1】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和． 【详解】 ， 或， 或， 当时，等价于，即， 或， 或； 当时，等价于，即， 或， 或， 故或或或， 所有满足条件的数的和为：． 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏． 【变式7-2】（23-24七年级·浙江宁波·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：    (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______．    (4)若，，，，，则式子的最小值为______． 【答案】(1)1或 (2) (3)4 (4)54 【分析】（1）由题意易得，然后求解即可； （2）由题意易得，然后化简绝对值即可； （3）由数轴可知，然后可得，，，则有，进而问题可求解； （4）由题意易得，然后根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴或； （2）解：由题意得：， ∴； 故答案为； （3）解：由数轴可知：， ∵，，， ∴，，， ∴ ； 故答案为4； （4）解：∵，，，，， ∴ ， 根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小； ∴当时，则原式，此时当时，有最小值95； 当时，则原式，此时当时，有最小值59； 当时，则原式，此时当时，有最小值54； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 综上所述：当时，式子的最小值为54； 故答案为54． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、整式的加减运算及有理数的加减运算，熟练掌握各个运算及数轴上的动点问题是解题的关键． 【变式7-3】（23-24七年级·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； （3）表示的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出、的值． 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． （3）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在与之间时（含端点）， 当在左侧时，到的距离大于， 当在右侧时，到的距离大于， 则在上述两种情况时， ∴， 同理：， 又∵，、为非负整数， ∴可得： ， ， ， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， ∴满足，或， 时，， 解得：（舍去）， 故， 即，，，， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解； 解方程组 时，， 解得：， 时，， ∴， 时，， 解得：（舍去）， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解， 综上：或或或． 【题型8 绝对值中最值问题】 【例8】（23-24七年级·四川南充·期末）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么，，计算结果最小的是（　　　） A． B． C． D．根据，，的值才能确定 【答案】C 【分析】根据有理数，，在数轴上的对应点的位置，确定a-b，a-c，b-c的正负，计算出x、y、z的值，比较大小即可． 【详解】解：根据，，在数轴上的对应点的位置可知， a-b＜0，a-c＜0，b-c＞0， ， ， ， ，∴， ，∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上的点表示数的大小和绝对值的意义，体现了数形结合思想，根据数轴判断出，，的大小，根据绝对值的意义进行计算化简，再用求差法比较的大小是解题关键． 【变式8-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有多少个，最小的值是多少． 【详解】解：∵，， ∴a、b、c为两个负数，一个正数， ∵，，， ∴， 分三种情况讨论， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， ∴，，则． 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论． 【变式8-2】（23-24七年级·湖南长沙·期中）若，则代数式在的最小值是(   ) A． B． C． D．一个与有关的整式 【答案】C 【分析】根据x的范围化简为30-x，再结合x的范围，求得它的最小值即可. 【详解】∵， ∴x-p≥0，x-15≤0，x-p-15≤0， ∴ 故当x=15时，的最小值为30-15=15， 故答案为C. 【点睛】本题考查的是绝对值的解法，根据题干判断出绝对值符号里的式子的正负是解题的关键. 【变式8-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知a，b，c为3个自然数，满足，其中，则的最大值是 ． 【答案】1346 【分析】先化简绝对值，再根据方程取非负整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b，c为3个自然数， 要想取最大值，a应该取最小值0， 代入得，， 当b=1时，c最大，最大值为673， ， 故答案为：1346． 【点睛】本题考查了绝对值化简和不定方程求非负整数解，解题关键是根据题意化简绝对值并确定a、b、c的最值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$