精品解析：2024年河南省周口市郸城县终极押题模拟联考三模数学试题

2024年河南省普通高中招生考试数学终极A卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 将61700000这个数用科学记数法表示为（ ） A. 6.17×10 B. 6.17×10 C. 6.17×10 D. 0.617×10 4. 如图所示，直线与相交于O点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程（a是常数， ）的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定有没有实数根 7. 如图，AB、BC为的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. 100° B. 118° C. 124° D. 130° 8. 将分别标有“我”“爱”“数”“学”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别．随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，则b的最小值为（　　） A. 0 B. C. D. 2 10. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数 拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示．(温馨提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时， 拉力与之间的函数表达式为 C. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 为调研大众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的 倍少人，若使用超市塑料袋的为人，则使用自带环保袋的人数为______．（用含的代数式表示） 12. 不等式组：的解集是_______． 13. 小敏对若干名青少年进行最喜爱的运动项目问卷调查后，绘制成如图所示的扇形统计图．已知最喜爱足球的人数比最喜爱篮球的人数多50人，最喜爱足球和最喜爱篮球所占的圆心角的度数分别为， ，则参加这次问卷调查的总人数为_____人． 14. 如图，P是外一点，与相切于点A，，则的周长为__________ ． 15. 如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE⊥AD于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若AB＝6，BC＝8，当△CPF为直角三角形时，AE的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B. ，C.，D.，下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________， ________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？ 18. 如图，已知和线段 ，点M，N在射线， 上． （1）尺规作图：作的角平分线和线段 的垂直平分线，交于点P，保留作图痕迹，不写作图步骤； （2）连接、，过P作，，垂足分别为点C和点D，求证：，请补全下列证明． 证明：∵P在线段 的垂直平分线上， ∴，（ ） P在的角平分线上，，， ∴，（ ） 请补全后续证明． 19. 某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． （1）求k的值； （2）求当时，y与x之间的函数表达式； （3）若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 20. 交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点 ，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由 向 匀速驶来，测得此车从 处行驶到 处所用的时间为4秒，并测得，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，） 21. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，枣庄某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？ 22. 2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为 元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动． 如图1，将：矩形纸片沿对角线 剪开，得到 和 ．并且量得，． 【操作发现】 （1）将图1中的 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使，得到如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，则四边形的形状是 ． （2）创新小组将图1中的 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接 、，得到四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． 【实践探究】 （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将 沿着 方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，如图4所示，连接，试求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省普通高中招生考试数学终极A卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可． 【详解】解：∵-2＜-＜0＜1， ∴最小的数是-2， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能根据实数的大小比较法则比较数的大小是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图进行判断即可． 【详解】它的俯视图如下图所示： 故选：C． 【点睛】考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． 3. 将61700000这个数用科学记数法表示为（ ） A. 6.17×10 B. 6.17×10 C. 6.17×10 D. 0.617×10 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同. 【详解】将61700000用科学记数法表示为. 故答案是A. 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本形式是解决本题的关键. 4. 如图所示，直线与 相交于O点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可求，从而可求，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了补角的定义，对顶角的定义，理解定义是解题的关键． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可． 【详解】原式 故选：C 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据运算法则将分式转化为同分母是解题关键 6. 一元二次方程（a是常数， ）的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定有没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据得判断即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 7. 如图，AB、BC为的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. 100° B. 118° C. 124° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案． 【详解】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC ∵ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 8. 将分别标有“我”“爱”“数”“学”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别．随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用画树状图或列表法求概率，根据题意画树状图得出所有等可能的结果数，再找出抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“数学”的结果数为2， ∴抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的概率 ． 故选B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，则b的最小值为（　　） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值，解题的关键是先求出直线的解析式为：，求出顶点坐标为，根据二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，得出，根据二次函数的最值求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上， ∴， 即， ∴当时，b取最小值． 故选：C． 10. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数 拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示．(温馨提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时， 拉力与之间的函数表达式为 C. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A错误； 当时，设所在直线的函数表达式为 ， 则 解得 ，故选项B错误； 当石块下降的高度为时，即时， ， ， 故选项C错误； 当即3=， 解得， 石块距离水底的距离为， 故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 为调研大众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的 倍少人，若使用超市塑料袋的为 人，则使用自带环保袋的人数为______．（用含 的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列代数式，解题关键是理解题意． 先根据题意得出自带环保袋的人数和使用超市塑料袋人数的数量关系，再根据使用超市塑料袋的人数，即可用代数式表示自带环保袋的人数． 【详解】解：根据题意得：使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的 倍少人， 即使用自带环保袋的人数 使用超市塑料袋人数， 若使用超市塑料袋的为 人， 则使用自带环保袋的人数． 故答案为：． 12. 不等式组：的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 13. 小敏对若干名青少年进行最喜爱的运动项目问卷调查后，绘制成如图所示的扇形统计图．已知最喜爱足球的人数比最喜爱篮球的人数多50人，最喜爱足球和最喜爱篮球所占的圆心角的度数分别为， ，则参加这次问卷调查的总人数为_____人． 【答案】600 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图的意义，扇形统计图表示各个部分所占整体的百分比．由统计图可知，“最喜爱足球”的人数占调查人数的，“最喜爱篮球”的人数占调查人数的，因此“最喜爱足球”比“最喜爱篮球”多的人数占调查人数的，即可求出答案． 【详解】解：（人）， 故答案为：600． 14. 如图，P是外一点，与相切于点A，，则的周长为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据与相切于点A可得，由勾股定理求出，即可求出的周长． 【详解】解：如图，连接，与相切于点A， ， ，， ∴在中， ， ∴的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理，熟练运用切线的性质是解题的关键． 15. 如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE⊥AD于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若AB＝6，BC＝8，当△CPF为直角三角形时，AE的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据△CBF为直角三角形，即∠CFP为直角，从而证明∠CFD+∠PFA＝90°，得∠CFD＝∠BAC，证得△CDF∽△CBA，根据相似三角形的性质计算得到DF的长度，再用AD长度减去DF后根据轴对称的性质可得AE的长． 【详解】解：①当∠CFP＝90°时， ∵△PCF为直角三角形， ∴∠CFP＝90°， ∴∠CFD+∠PFA＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠CAB+∠PAF＝90°， ∵PE⊥AD，点A与点F关于PE对称， ∴PE＝PA，EF＝EA， ∴∠PFA＝∠PAF， ∴∠CAB＝∠CFD， 在△CBA和△CDF中 ∴△CBA∽△CDF， ∴， ∵AB＝CD＝6，BC＝8， ∴， 即DF＝ ， ∴AE＝（AD﹣DF） ＝（8﹣） ＝ ． ②当∠PCF＝90°时， ∵∠ACB＝∠CAF，∠B＝∠ACF＝90°， ∴△ACB∽△FAC， ∴＝， ∴AF＝， ∴AE＝AF＝ 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定及轴对称的性质，解答本题的关键是能够从复杂的图形中获得基本图形的相似，从而列出等式求线段长度． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和整式的混合运算，熟练掌握负指数幂、零指数幂运算和整式的混合运算法则是解题的关键． （1）先利用负指数幂、零指数幂运算再进行加法即可； （2）先利用完全平方公式和单项式乘多项式计算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B. ，C.，D.，下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________， ________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？ 【答案】（1），86，40 （2）八年级， 理由：因为八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以八年级成绩较好； （3）估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键． （1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出、，用“1”分别减去其它组所占百分比可得的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级 组有：（人）， 组有：（人）， 把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88，故中位数； 在被抽取的七年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数； ，故． 故答案为：，86，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人． 18. 如图，已知和线段 ，点M，N在射线， 上． （1）尺规作图：作的角平分线和线段 的垂直平分线，交于点P，保留作图痕迹，不写作图步骤； （2）连接、，过P作，，垂足分别为点C和点D，求证：，请补全下列证明． 证明：∵P在线段 的垂直平分线上， ∴，（ ） P在的角平分线上，，， ∴，（ ） 请补全后续证明． 【答案】（1） 的角平分线和线段 的垂直平分线，如图所示． （2） 证明：∵P在线段 的垂直平分线上， ∴，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） P在的角平分线上，，， ∴，（角平分线上的点到角的两边距离相等）， ∵和为直角三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线和角平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）根据 证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线基本作图，角平分线和垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 19. 某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． （1）求k的值； （2）求当时，y与x之间的函数表达式； （3）若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】（1）2 （2） （3） 解：把分别代入和，得 和， ， ∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用正比例函数解析式求法得出即可； （2）利用反比例函数解析式求法得出即可； （3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：点在的图象上， ， ； 【小问2详解】 解：设当时，与 之间的函数表达式为; 点在的图象上 ∴当时，与 之间的函数表达式为； 【小问3详解】 略 20. 交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路 旁选取一点 ，在公路 上确定点 ，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路 上由 向 匀速驶来，测得此车从 处行驶到 处所用的时间为4秒，并测得 ，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】米，速度为米/秒 【解析】 【分析】根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出轿车的速度，由此即可求解． 【详解】解：，，， ∴， ∵，则，， ∴在中，， ∴， ∵从 处行驶到 处所用的时间为4秒， ∴轿车的速度是（米/秒）. 【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理与实际问题，掌握勾股定理解直角三角形是解题的关键． 21. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，枣庄某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）足球的单价为60元，篮球的单价为90元 （2）116个 【解析】 【分析】（1）设足球的单价为 元，则篮球的单价为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x的值，即得出答案； （2）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意可列出关于x的一元一次不等式，解出m的解集，即得出答案． 【小问1详解】 设足球的单价为 元，则篮球的单价为元． 依题意得：， 解得：， ∴． 答：足球的单价为60元，篮球的单价为90元． 【小问2详解】 设购买篮球个，则购买足球个， 依题意得：， 解得：． 又∵为正整数， ∴的最大值为116． 答：学校最多可以购买116个篮球． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 22. 2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当时，该商家获得的利润最大，； 【解析】 【分析】（1）根据图形找点代入求解即可得到答案； （2）根据数量乘以利润单价得到解析式，结合函数性质求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 将点，代入得， ， 解得：， ∴， 且有：，即：， ∴； 【小问2详解】 解：设利润为w，由题意可得， ， ∵， ∴当时，该商家获得的利润最大，； 【点睛】本题考查求一次函数解析式，二次函数解决销售利润问题，解题的关键是根据题意得到等量关系式． 23. 综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动． 如图1，将：矩形纸片 沿对角线 剪开，得到 和 ．并且量得，． 【操作发现】 （1）将图1中的 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使，得到如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，则四边形的形状是 ． （2）创新小组将图1中的 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接 并延长至点G，使，连接 、，得到四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． 【实践探究】 （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将 沿着 方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，如图4所示，连接，试求的值． 【答案】（1）菱形； （2）四边形是正方形，证明如下： 在图1中，∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴， ， ∴， 在图3中，由旋转知，， ∴， ∴， ∵点D，A，B在同一条直线上， ∴， 由旋转知，， ∵点F是的中点， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）先证，再证，则，得，然后证四边形是平平行四边形，即可得结论； （2）先证，再证，，进而证四边形是平菱形，即可得出结论； （3）先证，再求出 、的长，然后求出、的长，即可求解． 【详解】解：（1）在图1中， ∵ 是矩形 的对角线， ∴ ， ， ∴， 在图2中，由旋转知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形， 故答案为：菱形； （2）略 （3）在 中，，， ∴， ∴，， ∴， 由（2）结合平移知，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $