精品解析：湖南省怀化市湖天中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试卷

湖天中学2024级高一入学考试试卷 数学 时量：70分钟 满分：100分 一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列等式成立的是（ ） A B. C. D. 2. 下列不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知点都在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程中，为实数，则该方程解的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 满足的的个数为（ ） A 0 B. 2 C. 3 D. 多于3个 7. 已知关于的不等式的解也是不等式的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上都不正确 8. 在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 9. 使式子有意义的的取值范围是__________. 10. 分解因式：___________. 11. 方程两根为，且，则____________. 12. 将4张长为、宽为长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积之和为，阴影部分的面积之和为，若，则的值为______. 三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文子说明､证明过程或演算步骤. 13. 计算； （1） （2）先化简，再求值：，其中. 14. 河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作、、、，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2. （1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）请把图2的条形统计图补充完整. （3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率. 15. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点. （1）求反比例函数和一次函数关系式； （2）设直线交轴于点C，点分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标. 16. 函数（为常数，）. （1）求出此函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）当时，此函数图象交轴于点A，B（点A在点B的左侧），交轴于点C，点P为轴下方图象上一点，过点P作轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值； （3）点，，连接MN，当此函数图象与线段MN恰有两个公共点时，求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖天中学2024级高一入学考试试卷 数学 时量：70分钟 满分：100分 一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列等式成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可判断A；利用指数的运算性质可判断BC；根据完全平方关系可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2. 下列不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组，再进行判断即可. 【详解】由. 故选：A 3. 如果，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开作差可得答案. 【详解】， ， 得， 可得. 故选：B. 4. 已知点都在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将横坐标代入计算出的值即可比较出它们的大小. 【详解】根据题意可知； ； ； 显然，即； 故选：C 5. 已知关于的一元二次方程中，为实数，则该方程解的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】判断的符号，进而判断根的个数. 【详解】因为， 所以关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. 故选：B 6. 满足的的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 多于3个 【答案】D 【解析】 分析】分、、讨论去绝对值可得答案. 【详解】当时，方程化简为，得（不符合题意的解要舍去）， 当时，，有无数个； 当时，方程化简为，解得； 综上所述：有无数个. 故选：D. 7. 已知关于的不等式的解也是不等式的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式可得，然后结合条件可得，且，即可得出答案. 【详解】由，解得，对于不等式， 若，则不等式的解集为，若，则不等式的解集为， 又不等式的解也是不等式的解， 所以，且， 所以. 故选：C. 8. 在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案 【详解】根据给出在上定义运算， 由得，解之得， 故该不等式的解集是． 故选：B 二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 9. 使式子有意义的的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负和分式的分母不能为0，求得的取值范围. 【详解】要使式子有意义，须有. 故答案为： 10. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据十字相乘法和提公因式法因式分解即可. 【详解】 . 故答案为：. 11. 方程的两根为，且，则____________. 【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求得答案. 【详解】∵方程的两根为， ∴，， 由题意得：；， ∵，∴，，故， 故答案为：-3. 12. 将4张长为、宽为的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积之和为，阴影部分的面积之和为，若，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可知内层正方形的边长为，可得，，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：内层正方形的边长为， 则空白部分的面积之和为， 阴影部分的面积之和为， 若，即， 整理可得，解得或， 且，可知，所以. 故答案为：3. 三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文子说明､证明过程或演算步骤. 13. 计算； （1） （2）先化简，再求值：，其中. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算、根式运算、三角函数等知识求得正确答案. （2）化简代数式，进而求得正确答案. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式， 当时，原式. 14. 河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作、、、，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2. （1）田老师抽查四个班级共征集到作品多少件？ （2）请把图2的条形统计图补充完整. （3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率. 【答案】（1）15件； （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据B班有5件作品，且对应的圆心角为求解； （2）结合（1）根据总件数和A，B，D班的件数求解； （3）利用古典概型的概率求解. 【小问1详解】 解：（件）， 即田老师抽查的四个班级共征集到作品15件； 【小问2详解】 C班级的作品数为：（件）， 把图2的条形统计图补充完整如下： 【小问3详解】 恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率. 不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下： 共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种， ∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为. 15. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点. （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）设直线交轴于点C，点分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1）反比例函数：；一次函数： （2）或 【解析】 【分析】（1）根据在反比例函数上，可求的值，在根据在一次函数上，可求. （2）根据四边形是平行四边形，可确定坐标的关系，再根据在反比例函数的图象上，可求的坐标. 【小问1详解】 因为过点，所以，所以反比例函数的关系式为：. 因为点在上，所以. 由，所以一次函数的关系式为：. 【小问2详解】 如图： 令，则，所以点坐标为. 因为点在一次函数上，可设点坐标为，又四边形为平行四边形，所以点坐标为. 又在上，所以，所以点坐标为或. 16. 函数（为常数，）. （1）求出此函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）当时，此函数图象交轴于点A，B（点A在点B的左侧），交轴于点C，点P为轴下方图象上一点，过点P作轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值； （3）点，，连接MN，当此函数图象与线段MN恰有两个公共点时，求出的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程直接求解即可， （2）由二次函数解析求出三点的坐标，则可求出直线的方程，设，则，然后表示出，化简后利用二次函数的性质可求出其最大值， （3）由题意可得轴，然后分和两种情况分析讨论即可 【小问1详解】 常数，， 函数图象的顶点坐标为. 【小问2详解】 当时，， 当时，，即， 当时，， 即，解得或， 点在点的左侧，， 设直线表达式为，则， 解得 ， 点为轴下方图象上一点，过点作轴交线段于点，设，则，其中， ， ， 二次函数图象开口向下，当时，函数有最大值为， 的最大值为. 【小问3详解】 点纵坐标相等， 连接后，轴， 根据题意，分两种情况： ①当时，抛物线开口向上， ∴，解得， 函数图象与线段恰有两个公共点 ∴有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， ， ，则，即， 此种情况不存在. ②当时，抛物线开口向下， ∴，解得， 函数图象与线段恰有两个公共点， ∴有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， ， ，则，即， 综上所述，当此函数图象与线段恰有两个公共点时，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的综合问题，考查二次函数最值的求法，第（3）问解题的关键是表示出线段的方程与抛物线方程联立，化简后再利用判别式大于零可求得结果，考查计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$