精品解析：江苏省宿迁市宿迁文昌高级中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

2024宿迁文昌高级中学高一开学考试数学试题 数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题（24分） 1. 4算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程组，则代数式的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 5. 如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 米 D. 米 6. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形； 第二步：分别取、的中点M、N，连接； 第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E； 第四步：过点E作，交的延长线于F. 则所作图形中是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形和 7. 如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在反比例函数（，）的图象上，，过点C作，交反比例函数于点D，且，则k的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（24分） 9. 分解因式： _______ ． 10. 若扇形圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为_________． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________________． 12. 已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为_______． 13. 如图，已知六边形是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是______． 14. 如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象、的图象于点A、B，若的面积为5，则______. 15. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线.则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则.其中正确的是______ 16. 如图所示，在矩形中，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长度为_________． 三、解答题（102分） 17. （1）计算： （2）化简： 18. （1）解方程：； （2）解不等式组，并在数轴上表示解集：． 19. 如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接． （1）求证：四边形平行四边形； （2）满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 20. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某校开展了校园安全知识抽检活动．从七、八年级分别随机抽取50名学生参与抽检，并对检测情况（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：①七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示； 并且80≤x＜90这一组的具体成绩为：80，82，84，84，86，86，88，88，88，88． ②七、八年级检测成绩的平均数、中位数如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 七年级 81.4 m 八年级 87.2 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级抽测学生中，80分以上有______人，m值为______，并补全频数分布直方图； （2）七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠前，并简要说明理由； （3）该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数81.4分的人数． 21. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； （2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 22. 如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）已知，，点为的内心，求的长． 23. 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档与的长分别为和，且它们互相垂直，座杆的长为．点A、、在同一条直线上，且．（参考数据：，， （1）求车架档的长； （2）求车座点E到车架档的距离（结果精确到）． 24. 定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． （1）①如图1，在中，，D上任意一点，则与____ “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则____． （2）若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． （3）如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是该抛物线上的一个动点， ①若中有一个内角是的3倍，求点P坐标． ②若抛物线上的点P在第二象限且直线与y轴和直线分别交于点D和点E，若，，的面积分别为，，，且满足，求点P的横坐标． 26. 【新知阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． （1）①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________. 【新知运用】 （2）如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”； （3）如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 新知拓展】 （4）如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024宿迁文昌高级中学高一开学考试数学试题 数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题（24分） 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案. 【详解】4的算术平方根是2. 故选：C 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 3. 已知方程组，则代数式的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得，据此求出代数式的值即可； 【详解】由题意可得：，两式相加得， 所以 故选：D． 4. 粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，题意列方程即可． 【详解】设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 根据题意得：． 故选：B． 5. 如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于D， 由题意得：米，， 则米，， 在中，则（米）， 可得（米）， 所以点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 6. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形； 第二步：分别取、的中点M、N，连接； 第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E； 第四步：过点E作，交的延长线于F. 则所作图形中是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形和 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形的边长为，结合线段中点特点得到，，由勾股定理可得，进而可得，再利用黄金矩形的定义进行判断即可得出答案. 【详解】设正方形的边长为， 、N为、的中点， ，， ， 由画图可知：， 对于矩形，，不是黄金矩形； 对于矩形，，是黄金矩形； 对于矩形，，不是黄金矩形； 对于矩形，，是黄金矩形； 矩形和是黄金矩形. 故选：D 7. 如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点G在以E为圆心，为半径的圆上运动，当D、G、E共线时，此时DG的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时DG的最小值． 【详解】若将沿所在直线折叠，得到， 可知，可得， 因为E是直角边的中点，则， 可知点G在以E为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， 因为，当且仅当D、G、E共线时，即G与重合时，取得最小值， 又因为，此时DG的值最小， 且D是斜边AC的中点，即DE是的中位线，可得， 此时，所以DG的最小值为4． 故选：C． 8. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在反比例函数（，）的图象上，，过点C作，交反比例函数于点D，且，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作轴于H，过点D作于T，过点C作于G，先证明，则可得，设，，则，再证明，，可得，再根据方程求出m即可解决问题. 【详解】如图，过点C作轴于H， 过点D作于T，过点C作于G， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴，， ∵，∴， ∴，， ∴，∴， ∴，∴， 设，，则，∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，∵D，C在反比例函数上， ∴，解得，∴， ∴. 故选：A． 二、填空题（24分） 9. 分解因式： _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】 ， 故答案为：． 10. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】借助扇形的弧长公式计算即可得. 【详解】扇形的弧长． 故答案为：． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 可得，解得且． 故答案为：且． 12. 已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】先解方程得出，，再根据三角形的三边关系得出等腰三角形的腰为4，底边长为2，最后求出三角形的周长即可． 【详解】，因式分解得：， 所以，， 因为，所以等腰三角形的腰长为2时，不能构成三角形， 所以等腰三角形的腰为4，底边长为2， 所以三角形的周长为． 故答案为：10． 13. 如图，已知六边形是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据题意可证明，进而可得到答案． 【详解】如图，连接，， 因为六边形是的内接正六边形， 则，可知， 即F，O，C三点共线， 又因为，则为等边三角形， 可知，则，则， 所以， 故答案为：． 14. 如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象、的图象于点A、B，若的面积为5，则______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意可得：，结合的面积，即可得出结果. 【详解】设，且，则 故，， ∵面积，∴. 故答案为：10 15. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线.则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则.其中正确的是______ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】借助抛物线与y轴交点位置可判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为可判断③；由二次函数的性质可判断④． 【详解】对①：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线交y轴于正半轴，∴， ∵对称轴为直线，即，∴， ∴，故结论①正确； 对②：∵抛物线对称轴直线，且当时，， ∴时，，即，故结论②正确； 对③：∵对称轴为直线，∴，∴， ∴，故结论③正确； 对④：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴，故结论④不正确， ∴正确的是①②③. 故答案为：①②③ 16. 如图所示，在矩形中，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长度为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】设与相交于点O，由四边形为矩形可得，，，，由勾股定理可得，再分两种情况讨论，当点在线段上及当点在线段延长线上，进行求解即可． 【详解】如图，设与相交于点O， 因为四边形为矩形，，，，， 则， ①当点在线段上，则，可得， 若将矩形折叠，使点B落在射线上， 则，， 因为，则， 可得，即，解得， 又因为∥，则， 可得，即，解得， 所以； ②当点线段延长线上，如图， 若将矩形折叠，使点B落在射线上，， 则，， 因为，则， 可得，即，解得， 又因为∥，则， 可得，即，解得， 所以； 综上所述：的长度为或． 故答案为：或． 三、解答题（102分） 17. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算； （2）先进行完全平方公式和平方差公式的运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 18. （1）解方程：； （2）解不等式组，并在数轴上表示解集：． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【解析】 【分析】（1）先根据等式的基本性质变形得到，再开立方，最后解一元一次方程即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，求其公共部分，即可求得整个不等式组的解集． 【详解】（1）， 变形，得：， 开立方，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 对于①，去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 对于②，去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 则不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集如下： 19. 如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，即可得出结论； （2）当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可． 【小问1详解】 由于四边形为平行四边形， ，即，， ， ，， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 当时，四边形是矩形，理由如下： 四边形为平行四边形， ， ， ，结合（1）的结论， 四边形是矩形 20. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某校开展了校园安全知识抽检活动．从七、八年级分别随机抽取50名学生参与抽检，并对检测情况（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：①七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示； 并且80≤x＜90这一组的具体成绩为：80，82，84，84，86，86，88，88，88，88． ②七、八年级检测成绩的平均数、中位数如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 七年级 81.4 m 八年级 87.2 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级抽测学生中，80分以上有______人，m值为______，并补全频数分布直方图； （2）七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠前，并简要说明理由； （3）该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数81.4分的人数． 【答案】（1）28，85，直方图见解析 （2）七年级学生甲名次靠前；理由见解析 （3）336人 【解析】 【分析】（1）根据数据统计中各个分组的人数与调查总人数的关系可求出的人数，进而补全频数分布直方图； （2）根据七、八年级学生成绩的中位数进行判断即可； （3）求出七年级学生成绩超过81.4分的人数所占的百分比，进而求出相应的人数． 【小问1详解】 根据频数分布直方图可知，七年级抽测学生中，80分以上有（人）， 将七年级抽测的50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是85，即， 七年级抽测的50名学生的成绩在的人数为（人），补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 七年级学生成绩的中位数是8，八年级学生成绩的中位数是8，而七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是8， 所以七年级学生甲名次靠前； 【小问3详解】 （人）， 答：该校七年级600名中成绩超过平均数81．的大约有336人． 21. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； （2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 因为一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同， 所以从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是. 【小问2详解】 设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下： 甲 乙 A B C A B C 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种， 所以甲获胜的概率为． 22. 如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，． （1）求证：是切线； （2）已知，，点为的内心，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 连接， 的平分线交于点G， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； 【小问2详解】 连接，， 点为的内心， 平分，平分， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 23. 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档与的长分别为和，且它们互相垂直，座杆的长为．点A、、在同一条直线上，且．（参考数据：，， （1）求车架档的长； （2）求车座点E到车架档的距离（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可． （2）过点作，在中，利用三角函数求，即可得到答案． 【小问1详解】 在中，，， 则， 所以车架档的长是. 【小问2详解】 过点作，垂足为， 因为， 可得， 所以车座点到车架档的距离约是． 24. 定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． （1）①如图1，在中，，D是上任意一点，则与____ “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则____． （2）若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． （3）如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 【答案】（1）①是；② （2） （3）的值为4或 【解析】 【分析】（1）①由题意得 ，，由融通三角形定义即可得出结论；②在线段上取点G，使，连接，证明全等于，得出，即可证明； （2）在线段上取点G，使，连接，由（1）可得全等于，设，由等腰三角形的性质证出，由三角形内角和即可求解； （3）分两种情况：当时；当时进行讨论，分别计算出的长即可得． 【小问1详解】 ①∵， ∴ ， ∵， ∴与是“融通三角形”； ②如图，在线段上取点G，使，连接， ∵， ∴全等于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 由题意可得：， 在线段上取点G，使，连接， 由（1）可知全等于， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴融通角是； 【小问3详解】 分两种情况：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴符合题意， ∴； 当时，过点D作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴符合题意， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为4或. 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是该抛物线上的一个动点， ①若中有一个内角是的3倍，求点P坐标． ②若抛物线上的点P在第二象限且直线与y轴和直线分别交于点D和点E，若，，的面积分别为，，，且满足，求点P的横坐标． 【答案】（1） （2）①或 ；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点即可求解． （2）①由点的坐标得，，则中有一个内角是的3倍，即为，再分类求解即可． ②由三个三角形得高相同，则面积比等于底的比，,当时，则，即可求出答案． 【小问1详解】 由抛物线经过点，，所以抛物线表达式为：． 小问2详解】 ①由抛物线的表达式可知，点，由点的坐标得， 在中， 所以，故， 则中得一个内角是的3倍，即为， 则存在为直角的情况， 由于，则的外接圆除了和抛物线交于点外，不可能再出现点，故该情况不存在， 当为直角时，设点，过点作平行于轴的直线，过点作平行于轴的直线，相交于点， ∵，∴， 中，，解得， 又∵在抛物线上， ∴，解得或(舍去)， 即点； 当为直角时，设点，过点作平行于轴的直线，过点作平行于轴的直线，相交于点， ∵，∴， 中，，解得， 又∵在抛物线上， ∴，解得或(舍去)， 故点； 综上，点的坐标为：或； ②设直线的表达式为， 分别代入点、， 得：，解得，故， 设点， 直线的表达式为，由点的坐标得， 解得： 解得直线的表达式为， 联立直线和直线的表达式得： ，解得， ∵三个三角形的高相同，则面积比等于底的比， 而三个底共线， 则， 当时，则，又, 整理得：，即，解得：（舍去）或 则点P的横坐标为． 26. 【新知阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． （1）①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________. 【新知运用】 （2）如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”； （3）如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【新知拓展】 （4）如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案. 【答案】（1）①是，②或 （2）证明见解析 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求解即可；②根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形角平分线的性质，得到，通过三角形外角性质和三角形和差关系即可求解； （3）根据题意可分为两种情况；当时，过点作于，结合勾股定理求解；当时，利用三角函数、结合相似三角形的判定和性质求解即可； （4）过点作于，，交的延长线于，设，根据和可得，证明全等于，可得，进而分和讨论，分别求出的长即可. 【小问1详解】 ①若，， 则， 是“准直角三角形”； ②已知是“准直角三角形”， 且， 若，则，则； 若，，则， 故的度数为或； 【小问2详解】 在中，，是的角平分线， ， ， ， 是“准直角三角形”； 【小问3详解】 当时，如图，过点D作于， 在中，，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ； 当时， ，， ， ， ， ，即， ， 综上所述，或； 【小问4详解】 过点C作于F，，交的延长线于E， 设， ，， ，， ，， ， 全等于， ， 当， ， ， 由（3）得：， 设，，则， ，则 则； 当时， ， ， ， ， ， 则，， 故的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$