精品解析：北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期开学考试数学试题

2025届高三返校测试（数学） 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，B，由此能求出. 【详解】因为集合，，所以 . 故选：B. 2. 复数对应的点在复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，因此，复数对应的点在复平面内的第二象限. 故选：B. 3. 已知，则函数在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，即得斜率，然后表示出直线方程即可. 【详解】因为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为， 即. 故选：C 4. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，，不成立，故B错误； C：， 因为，所以，得，即，故C正确； D：当时，满足，，不成立，故D错误. 故选：C 5. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C. 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题． 6. 已知是等比数列，为其前项和，那么“”是“数列为递增数列”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 充分性：当，时，，无法判断其正负，显然数列为不一定是递增数列，充分性不成立； 必要性：当数列为递增数列时，，可得，必要性成立. 故“”是“数列为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：B. 【点睛】方法点睛：证明或判断充分性和必要性的常用方法：①定义法，②等价法，③集合包含关系法. 7. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把第2球投进的事件分拆成两个互斥事件的和，分别算出这两个互斥事件的概率即可得解. 【详解】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥， ，，则， 所以第2球投进的概率为. 故选：A 8. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围. 【详解】由，可得当时函数单调递增， 即， 当时，， 又函数在， 所以， 即的最大值为， 故选：C. 9. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值. 【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得. 故选：C 10. 已知数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论： ①对任意的，都有 ②数列可能为常数列 ③若，则当时， ④若，则数列为递减数列． 其中正确结论有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合数列递推式研究数列的单调性，逐项判断即可. 【详解】解：对于①，在数列中，，则， 又对于任意的都有，则，即， 即对于任意，都有， 所以的值不确定大小，故①项错误； 对于②，不妨设数列可能为常数列，则， 又，则，则， 即时，数列为常数列，故②项正确； 对于③，，则，因为数列中各项均为正数， 即，同理，当，都有， 又，即数列为递增数列， 即当时，，故③项正确. 对于④， 又，则，即， 同理，当，都有， 即， 即，即数列为递减数列，故④项正确； 故选：C. 【点睛】关键点睛：数列与不等式以及数列与单调性等问题，常利用作差法，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． 二、填空题 11. 若双曲线的一条渐近线方程为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，从而可求出的值. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，解得， 故答案为：2. 12. 数列是公差为等差数列，记的前项和为，且成等比数列，则_______；_______. 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】 由等比数列的性质得，解出的值，再结合等差数列的前项和公式可得结果. 【详解】因为数列是公差为的等差数列，成等比数列， 所以，即，解得； 所以， 故答案为：8，. 13. 在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是_____，的最大值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据投影向量的概念，可求得向量在向量上的投影向量的长度； 建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，表示出，利用二次函数的性质求得答案. 【详解】由题意可得 ， 即向量在向量上的投影向量的长度是 ； 如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系， 设 ，则 , 故 ， 则， 当时，取最大值为 ， 故答案为：； 14. 设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】 ①. -1; ②. . 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围. 【详解】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 15. 设函数 ①当时， _________； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围. 【详解】当时，， 所以， 所以， 令，可得 当时，， 所以或， 当或时，方程在上有唯一解， 当或时，方程在上的解为或， 当时，， 所以当时，， 当时，方程在上无解， 综上，当时，函数有两个零点， 当时，函数有两个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点， 因为恰有2个零点，所以或， 所以a的取值范围是. 故答案为：；. 三、解答题 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点． （1）求证：； （2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明平面ABCD，结合线面垂直的性质定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，可求得相关向量的坐标，从而求得平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【小问1详解】 证明：因为△PAD为正三角形，E为AD中点， 所以， 因为平面平面ABCD， 平面平面， 平面PAD， 所以平面ABCD． 因为平面ABCD， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，平面ABCD． 取BC中点F，连结EF, 因底面ABCD为矩形，E为AD中点， 所以, 所以EA，EF，EP两两垂直． 分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz， 则，，，， 所以，． 设平面PAC的法向量， 由，得， 令，得，， 所以， 平面ABCD的法向量可取． 设平面PAC与平面ABCD夹角大小为，可知为锐角， 则， 所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为． 17. 在中，. （1）求的大小； （2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①； 条件②； 条件③AB边上的高为. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系求出，即可得答案； （2）若选①②，根据求出A，由正弦定理求出a，再利用两角和的正弦公式求出，由三角形面积公式，即可求得答案；若选①③，根据求出A，再根据AB边上的高h求出b，下面解法同选①②；若选②③，根据条件可求出A的值不唯一，即可判断不合题意. 【小问1详解】 在中，，由正弦定理得， 由于，则， 由于，故； 【小问2详解】 若选①②，存在且唯一，解答如下： 由于，， 又，故，则； 又，故， 故； 若选①③，存在且唯一，解答如下： 由于，， AB边上的高h为，故 则，则； 又，故， 故； 若选②③，不唯一，解答如下： ，AB边上的高h为，故， 或，此时有两解，不唯一，不合题意. 18. 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下： 毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业 人数 200 560 14 128 98 假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立． （1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数； （2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望； （3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 （3） 【解析】 【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得； (2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得； (3)由方差的意义可得. 【小问1详解】 由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为． 【小问2详解】 由题意得，样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为． 用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3． 所以， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 ． 【小问3详解】 易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，求导，从而得到，，写出切线方程； （2）求导，令，，易得函数在区间（0，e]上的最小值为，方法1：分，，讨论求解；方法2：根据在区间（0，e]上存在极小值，由求解. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ， 令，， 则， 解，得， 与的变化情况如下： x （0，1） 1 （1，e） － 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以函数在区间（0，e]上的最小值为， 方法1： ①当时，.所以恒成立，即恒成立， 所以函数在区间（0，e]上是增函数，无极值，不符合要求， ②当时，因为，， 所以存在，使得 x （1，） （，e） － 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以函数在区间（1，e）上存在极小值，符合要求， ③当时，因为 所以函数在区间（1，e）上无极值. 取，则 所以存在，使得 易知，为函数在区间（0，1）上的极大值点. 所以函数在区间（0，e）上有极大值，无极小值，不符合要求 综上，实数a的取值范围是. 方法2： “在区间（0，e]上存在极小值”，当且仅当，解得. 证明如下： 当时， 因为，所以存在，使得 x （1，） （，e） － 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以函数在区间（1，e）上存在极小值. 所以实数a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题第二问在区间（0，e]是否存在极小值，转化为有不等零点且左负右正求解. 20. 已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围； （Ⅲ）设，，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）把点A坐标代入椭圆的方程得.由的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程. （Ⅱ）设直线l的方程为，，.联立直线l与椭圆C的方程可得关于x的一元二次方程.，进而解得k的取值范围. （Ⅲ）因为，，，，写出直线的方程，令，解得.点S的坐标为.同理可得：点T的坐标为.用坐标表示，，，代入，，得.同理.由（Ⅱ）得，，代入，化简再求取值范围. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆C：经过点， 所以解得. 由的面积为可知，， 解得， 所以椭圆C的方程为. （Ⅱ）设直线l的方程为，，. 联立，消y整理可得：. 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，解得. 因为，所以k的取值范围是. （Ⅲ）因为，，，. 所以直线的方程是：. 令，解得. 所以点S的坐标为. 同理可得：点T的坐标为. 所以，，. 由，， 可得：，， 所以. 同理 由（Ⅱ）得，， 所以 所以的范围是. 【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法. 21. 已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P. （1）当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由； （2）当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由； （3）当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】（1）集合B不具有性质P，集合具有性质P，理由见解析 （2）具有，理由见解析 （3）1333 【解析】 【分析】（1）根据集合S具有性质P的定义去判断已知集合是否满足定义，即可判断； （2）根据集合，任取，因为，说明，可得，即可说明，继而结合定义即可得结论； （3）设集合S有k个元素，可推出集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t（）个元素不超过1000，从而可得不等式，结合k为正整数，可得，再结合定义，即可确定答案. 【小问1详解】 当时，集合，， 则集合B不具有性质P，理由如下： 因为对于任意不大于n的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素， 使得成立； 集合具有性质P，理由如下： 因为可取，对于该集合中的任意一对元素， 都有； 【小问2详解】 当时，集合， 若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P，理由如下： 首先因为集合，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，故, 由于S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m， 使得对于S中的任意一对元素，都有， 对于上述正整数m，从集合中任取一对元素， 其中，则有， 故集合具有性质P. 【小问3详解】 设集合S有k个元素，由第（2）问可知，若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P， 任给，则x与中必有一个不超过1000， 所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000， 不妨设S中有t（）个元素不超过1000， 由集合S具有性质P可知存在正整数， 使得对于S中的任意一对元素，都有， 所以一定有， 又，故， 因此集合A中至少有t个元素不在子集S中， 故，即，结合k为正整数，可得， 当时，取， 则可知集合S中任意两个元素，都有， 即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素， 因此集合S中元素个数的最大值为1333. 【点睛】难点点睛：本题是关于集合新定义类题目，解答的难点在于要理解新定义，明确其内涵，并能根据其含义去解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三返校测试（数学） 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数对应的点在复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则函数在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 6. 已知是等比数列，为其前项和，那么“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论： ①对任意的，都有 ②数列可能为常数列 ③若，则当时， ④若，则数列为递减数列． 其中正确结论有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 若双曲线的一条渐近线方程为，则_________. 12. 数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且成等比数列，则_______；_______. 13. 在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是_____，的最大值是__________． 14. 设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 15. 设函数 ①当时， _________； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________． 三、解答题 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点． （1）求证：； （2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值． 17. 中，. （1）求的大小； （2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①； 条件②； 条件③AB边上的高为. 18. 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下： 毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业 人数 200 560 14 128 98 假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立． （1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数； （2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望； （3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明） 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围. 20. 已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求直线l斜率k的取值范围； （Ⅲ）设，，求的取值范围. 21. 已知集合.对于A一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P. （1）当时，试判断集合和否具有性质P?并说明理由； （2）当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由； （3）当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$