精品解析：四川省乐山第一中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷

乐山一中高2026届高一（下）4月月考数学测试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数在复平面内对应点关于实轴对称，且，则（    ） A. 2 B. 0 C. D. 2. 平面向量与的夹角为，，，则( ) A. B. C. D. 3. 已知，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 记的内角所对的边分别为，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 5. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，某登山队在山脚 处测得山顶的仰角，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000米后到达处，又测得山顶的仰角，则山高为（ ） A. 米 B. 1000米 C. 米 D. 米 7. 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ） A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A. ，有唯一解 B ，无解 C. ，有两解 D. ，有唯一解 11. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 12. 在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的面积是 B. 若，则的外接圆半径是 C. 若，则 D. 的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知i为虚数单位，若复数是实数，则实数m值为__________. 14. 若两点、，点在直线上，且，则点的坐标为____. 15. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，其面积为，则__________． 16. 设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知复数，i为虚数单位. （1）求和； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值. 18. 已知向量 （1）若三点共线，求实数的值； （2）若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． 19. 如图，为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B的路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． （1）求A，N之间的距离（用字母表示）； （2）若，，，，，求M，N之间的距离． 20. 如图，在平行四边形中，，垂足为P. （1）若，求的长； （2）设，，，，求x和y的值. 21. 如图，在等腰直角中，，，点在线段上. (Ⅰ) 若，求的长； （Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值. 22. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乐山一中高2026届高一（下）4月月考数学测试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则（    ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称特点得到，再利用复数乘法运算即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且， 所以， 所以. 故选：A. 2. 平面向量与的夹角为，，，则( ) A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出的值，再结合向量的模长公式即可得到结果. 【详解】因为，则 由已知， 则 故选:C． 3. 已知，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，向量在向量方向上的投影向量为. 故选：A 4. 记的内角所对的边分别为，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，再根据面积公式列式可求出结果. 【详解】由，得. 设边上的高为， 因为，所以， 即边上的高为. 故选：D 5. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，两边平方求出，，分别求出，再根据向量夹角得计算公式即可得解. 【详解】由，得， 则，所以， 由，得， 所以， ， 所以. 故选：B. 6. 如图所示，某登山队在山脚 处测得山顶的仰角，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000米后到达处，又测得山顶的仰角，则山高为（ ） A. 米 B. 1000米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先求出 的度数，在中运用正弦定理求出 的长度，然后在 中求出 的长度即可 【详解】 在 中， 故选：B 7. 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ） A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形. 故选：D 8. 在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，再化简得解. 【详解】解：∵， 由余弦定理得，所以， 而 故选：C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断C选项；解方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，若，不妨取，则，但，B错； 对于C选项，若，则，故，C对； 对于D选项，若，则，解得，D错. 故选：AC. 10. 在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A. ，有唯一解 B ，无解 C. ，有两解 D. ，有唯一解 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B，C，D选项. 【详解】解：选项A，，已知三边三角形确定，有唯一解，A正确； 选项B，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误； 选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误； 选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确. 故选：AD. 11. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可得，进而可得，判断A；设，利用，，共线可求，进而可判断B；根据，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断C． 【详解】对于A：根据， 故，故A正确； 对于B：设，则 ，又， ，，三点共线，， 且，，故，故B错误； 对于D：由于，故， ，故D正确； 对于C， ， ， ，故C正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解. 12. 在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的面积是 B. 若，则的外接圆半径是 C. 若，则 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A、B、C选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D选项用角表示出结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断. 【详解】因为，角的平分线交于，所以，，所以，， 由正弦定理得， 所以， 所以，故A正确； 因为，所以，设的外接圆半径是，由正弦定理，，所以，故B错误； 因为，由正弦定理，因为和互补，所以，所以，故C正确； 设，则， 因为， 所以 若，则， 若，则 ，令，， ，当且仅当，即或时，则或，故或（舍去）， 综上：当为等边三角形时，的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知i为虚数单位，若复数是实数，则实数m的值为__________. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】先化简复数z，然后根据虚部为0可得. 【详解】因为为实数， 所以，所以 故答案为： 14. 若两点、，点在直线上，且，则点的坐标为____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，可得或，代入向量的坐标公式，直接求得点的坐标. 【详解】设 根据，可得或， 当时， ， 即 ，解得 ， ； 当 ， 即，解得 ， 故答案为：或. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题型，一个易错点是，根据条件可知或，不要漏掉一种情况. 15. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，其面积为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，求得，最后结合正弦定理，即可求解. 【详解】由三角形的面积公式，可得，解得， 又由余弦定理，可得，即， 又由正弦定理，可得， 故. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力． 16. 设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，令 ，，从而得出有共线，结合题设推出 ，当且仅当时， 取最大值2，此时面积最大，则O到的距离最远，此时 取到最小值，即可求解. 【详解】如图示，是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且， 由题意得： ， 令 ，则三点共线 ，则三点共线 故有共线， 由题意与垂直,, 知,且为定值， 在中， ，当且仅当时， 取最大值2， 此时面积最大，则O到的距离最远，而， 故当且仅当即 关于y轴对称时，最小， 此时O到的距离为 ， 所以 ,故 ，即的最小值为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：根据向量的线性运算，可令 ， ，从而得出共线,由此根据题设可推出，即当且仅当即 关于y轴对称时，最小，从而问题可解. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知复数，i为虚数单位. （1）求和； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值. 【答案】（1），；（2），． 【解析】 【分析】（1）利用复数的运算法则求出，由此能求出和． （2）由复数是关于的方程的一个根，得到，整理得，由此能求出实数，． 【详解】解：（1）复数 ， ，． （2）复数是关于的方程的一个根， ， ，， ， 解得，． 【点睛】本题考查复数的模、共轭复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 18. 已知向量 （1）若三点共线，求实数的值； （2）若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算以及共线满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量垂直以及向量相等满足的坐标关系可得，，，由向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，，即，解得； 【小问2详解】 由，，， ， 若四边形为矩形，则，即，解得； 由，得，解得，， 所以． 19. 如图，为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B的路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． （1）求A，N之间的距离（用字母表示）； （2）若，，，，，求M，N之间的距离． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，在中利用正弦定理求解作答. （2）在中由正弦定理求出，结合（1）的结论，再在中利用余弦定理求解作答. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，即， 所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，即， 因此，而，，，，， 则，由（1）得， 在中，，由余弦定理得 ， 所以MN之间的距离为． 20. 如图，在平行四边形中，，垂足为P. （1）若，求的长； （2）设，，，，求x和y的值. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）化简得到，得到答案. （2），根据三点共线，故，，得到，解得答案. 【详解】解：（1）， 解得. （2）因为，设 所以①， 又因为，，， 所以， 由可知， 展开化简得到，② 联立①②解得，. 21. 如图，在等腰直角中，，，点在线段上. (Ⅰ) 若，求的长； （Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值. 【答案】(Ⅰ)或（Ⅱ）当时， 的面积的最小值为 【解析】 【详解】解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2, 由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°, 得MP2-4MP+3=0, 解得MP=1或MP=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°, 在△OMP中,由正弦定理, 得=, 所以OM=, 同理ON=. 故S△OMN=OM·ON·sin∠MON =× = = = = = =. 因为0°≤α≤60°, 30°≤2α+30°≤150°, 所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1, 此时△OMN的面积取到最小值. 即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4. 22. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$