精品解析：广东省深圳市南山实验学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

2023-2024学年广东省深圳市南山实验学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A. 4，5 B. 5，4 C. 4，4 D. 5，5 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 6. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 7. 如图，与位似，点为位似中心．已知，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　） A. 55° B. 65° C. 60° D. 75° 9. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 如图，正方形中，，点E是延长线上一点，点分别为边上的点，且，连接，过点M作与的平分线交于点F，连接分别与交于点G、H，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有个．（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 把分解因式为_______． 12. 一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．（结果保留） 13. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________． 14. 如图，点为正方形网格中的3个格点，则______． 15. 如图，在菱形中，，，M为对角线上一点（M不与点B、D重合），过点，使得，连接，则的最小值是______． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. （1）计算：； （2）化简求值：，其中． 四、解答题：本题共6小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是________名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____； （4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 18. 如图，直线与反比例函数相交于、． （1）连接、，求的面积； （2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式的解集． 19. 某服装店用4000元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用6300元钱购进第二批这种文化衫，所进的件数比第一批多40%，每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批文化衫的件数； （2）为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致．若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于4100元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？ 20. 如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点，请直接写出线段与数量关系 ，位置关系 ； 如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； 矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长． 21. 如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以为直径的交y轴于C，D两点，弦交y轴于点F，且点A的坐标为，． （1）求的半径； （2）动点P在的圆周上运动，连接，交于点N． ①如图1，当平分时，求的值； ②如图2，过点D作的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广东省深圳市南山实验学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘除，幂的乘方，合并同类项运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项正确，符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、无法计算，和不是同类项，故选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上各项运算法则是解题的关键． 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：将21500000用科学记数法表示为：． 故选：A． 4. 某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A. 4，5 B. 5，4 C. 4，4 D. 5，5 【答案】A 【解析】 【分析】将该组数据从小到大排列，根据中位数、众数得定义求解即可． 【详解】将该组数据从小到大排列得：1，2，3，3，4，4，5，5，5， ∴中位数为：4，众数为：5， 故选：A． 【点睛】本题考查中位数与众数的确定，理解中位数的确定方法以及众数的定义是解题关键． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定定理，利用判定方法判断即可求解. 【详解】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题． B、对角线互相垂直的平行四边形是正方形，是假命题． C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题． D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题． 故选： 6. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程． 【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为， ∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元 即2019年我国快递业务收入为亿元， ∴可列方程：， 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程． 7. 如图，与位似，点为位似中心．已知，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解 【详解】解：与位似，点为位似中心．已知， 与的相似比为 与的面积比为 故选D 【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，掌握位似比等于相似比是解题的关键． 8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　） A. 55° B. 65° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接CD， ∵∠A＝50°， ∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°， ∵E是边BC的中点， ∴OD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键． 9. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴的交点判断c的正负，再根据对称轴可判定b的正负，即可判定①；由抛物线与x轴有两个交点，则其对应一元二次方程的判别式大于零，可判断②；由图像可知当时，由图像可知，再结合函数解析式即可判定③；由图像可知，当时，由图像可知，即；当时，由图像可知，即，然后两式相加即可判定④；由题意可知：当时，函数有最大值，据此即可判定⑤． 【详解】解：①由函数图像可得：，由对称轴，即，则，则①错误； ②抛物线与x轴有两个交点，则其对应一元二次方程的判别式大于零，即，故②正确； ③由，则，当时，由图像可知，即，故③正确； ④由图像可知，当时，由图像可知，即；当时，由图像可知，即，两式相加可得，故④正确； ⑤由题意可知：当时，函数有最大值，即为最大，则，所以，即⑤正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解答本题的关键． 10. 如图，正方形中，，点E是延长线上的一点，点分别为边上的点，且，连接，过点M作与的平分线交于点F，连接分别与交于点G、H，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有个．（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题是考查了全等、相似、勾股定理的综合性题目，难度较大，合适选择辅助线是解答此题的关键． ①设交于O，在上截取，使得，连接，作于，证明，求出即可证明； ②根据题意证明，通过勾股定理求出，即可判断结论； ④根据求出，从而求出的值，即可计算三角形的面积； ③证明，根据相似三角形的性质求出各线段长，即可证明结论； ⑤根据勾股定理求出的长，即可判断结论． 【详解】解：如图，设交于O，在上截取，使得，连接，作于， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论①正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论④正确； ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，故结论③正确； 在中，， ， ， ，故结论⑤错误； 综上所述，正确结论有①②③④共4个． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 把分解因式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°， ∴扇形的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．熟记扇形的面积公式是解题的关键． 13. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案． 【详解】解：如答图，由第一次折叠得EF⊥AD，AE＝DE， ∴∠AEF＝90°，AD＝2AE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠DAB＝90°， ∴∠AEF＝∠D， ∴EF∥CD， ∴△AEN∽△ADM， ∴＝＝， ∴AN＝AM， ∴AN＝MN， 又由第二次折叠得∠AGM＝∠D＝90°， ∴NG＝AM， ∴AN＝NG， ∴∠2＝∠4． 由第二次折叠得∠1＝∠2， ∴∠1＝∠4． ∵AB∥CD，EF∥CD， ∴EF∥AB，∴∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3． ∵∠1＋∠2＋∠3＝∠DAB＝90°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2． 由第二次折叠得AG＝AD＝2． 由第一次折叠得AE＝AD＝×2＝1． 在Rt△AEG中，由勾股定理得EG＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键． 14. 如图，点为正方形网格中的3个格点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及解直角三角形，连接格点B、D．利用勾股定理先计算的长，根据等腰三角形的性质，再判定是直角三角形，最后根据直角三角形的边角间关系求出的正切值． 【详解】解：如图，连接格点B、D． ∵，， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，在菱形中，，，M为对角线上一点（M不与点B、D重合），过点，使得，连接，则的最小值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了菱形及平行四边形的性质、勾股定理以及最值问题，连接并延长交的延长线于P，可得四边形是平行四边形，可推出；作点B关于的对称点，当点A，N，在同一条线上时，最小，据此即可求解； 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴ 连接并延长交的延长线于P， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴当点M从点D向B运动时，点N从点C向点P运动，点N运动轨迹是线段， ， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 而最小，即：最小， 作点B关于的对称点，当点A，N，在同一条线上时，最小， 即：的最小值为， 连接 由对称得， ∴是等边三角形， 过点作于Q， ∴ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理得，， 即：的最小值为 故答案为： 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. （1）计算：； （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据有理数乘方，化简绝对值，特殊角的三角函数值，零次幂，进行计算即可求解； （2）根据分式的加法计算括号内的，同时将除法转化为乘法，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，分母有理化，掌握特殊角的三角函数值，零次幂，分式的运算法则是解题的关键． 四、解答题：本题共6小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是________名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀人数为____； （4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 【答案】（1）40；（2）54°，见解析；（3）75；（4）树状图见解析， 【解析】 【分析】（1）条形统计图中知B级12名，扇形统计图知B级占比30%，可得总人数； （2）计算出A级所占百分比，再乘以360°即可； （3）用A级所占百分比乘以全校总人数即可； （4）根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%， ∴12÷30%＝40（名）； （2）∵A组的频数为6， ∴A级的扇形圆心角α的度数为：×360°＝54°． ∵C级频数为：40－6－12－8＝14（人），据此补条形图； （3）该校八年级学生中成绩为优秀的有： （4）画树状图得 ∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为＝ 【点睛】熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键． 18. 如图，直线与反比例函数相交于、． （1）连接、，求的面积； （2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）的面积是9；（2）或． 【解析】 【分析】（1）把、代入解析式，求出m，n的值，可求得直线解析式，分别过点A．B向y轴引垂线，垂足分别是E、D，即可得到BD，AE，即可得到结果； （2）观察函数图象即可得到结果； 【详解】（1）、分别代入反比例函数中得，， ∴将、分别代入直线中得， ∴，解得， ∴直线解析式为，令得， ∴∴，分别过点A．B向y轴引垂线，垂足分别是E、D， ∴，， ∴． 答：的面积是9． （2）由题可知，反比例函数在一次函数上方时满足， ∵、， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确计算是解题的关键． 19. 某服装店用4000元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用6300元钱购进第二批这种文化衫，所进的件数比第一批多40%，每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批文化衫的件数； （2）为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致．若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于4100元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？ 【答案】（1）50件；（2）120元． 【解析】 【分析】（1）设第一批购进文化衫x件，根据数量=总价÷单价结合第二批每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据第二批购进的件数比第一批多40%，可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，根据利润=销售单价×销售数量-进货总价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其内的最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设第一批购进文化衫x件， 根据题意得： +10=， 解得：x=50， 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意， 答：第一批购进文化衫50件； （2）第二批购进文化衫（1+40%）×50=70（件）， 设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元， 根据题意得：（50+70）y﹣4000﹣6300≥4100， 解得：y≥120， 答：该服装店销售该品牌文化衫每件最低售价为120元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 20. 如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系 ，位置关系 ； 如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； 矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长． 【答案】相等，垂直； 不成立，，，理由见解析； ． 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得：，，，从而可得：，利用可证，利用全等三角形的性质即可求解； 根矩形的性质可证：、，据根据两边对应成比例且夹角相等证明，利用相似三角形的性质即可求解； 根据旋转的性质可分两种情况求解，当点在线段上时，证明，列比例式可得的长；当点在线段上时，仿照可解． 【详解】解：，， 理由如下： 如图所示， 在正方形和正方形中， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ， ， 故答案为：，； 不成立，，， 理由如下： 如图，由知，， ，，， ， ， ，即，， 又， ， ； 当点在线段上时，如图所示， 在中，，，则， 过点作于点， ，， ， ， ， 解得：，， 在中，， ， ； 当点在线段上时，如图所示， 过点作于点， ，， 由可得：，， 在中，， ， ； 综上所述，的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，涉及旋转性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中要分两种情况求解，正确画图和分类讨论是解题的关键． 21. 如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以为直径的交y轴于C，D两点，弦交y轴于点F，且点A的坐标为，． （1）求的半径； （2）动点P在的圆周上运动，连接，交于点N． ①如图1，当平分时，求的值； ②如图2，过点D作的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）5 （2）①50；②是， 【解析】 【分析】（1）连接，设圆的半径为r，在中，可得即可求的半径； （2）①连接和，由平分得和，进一步得到，再根据的性质即可求得答案； ②根据切线性质得，则有，即有，得，由，得，进一步得到，有，即可求得答案． 【小问1详解】 解：（1）如图1中，连接． ∵， ∴， 设， 在中，， ∴，解得r＝5， ∴的半径为5． 【小问2详解】 ①如图2中，连接，． ∵是直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②如图3中，连接，． ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、相似三角形的判断和性质和圆心角定理，熟练掌握三角形相似的判定，利用相似的性质并结合圆的性质是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案； （3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点． 则DG//AK， ∴△AEK∽△DEF， ∴， 设直线BC的解析式为y=kx+n， 将、代入则有：， 解得， ∴直线的表达式为， 当x=-1时，， 即K（-1，）， ∴． ∵． ∴ 设点，则F点坐标为（m，）， ∴． ∴， 当时，有最大值． （3）∵，，． ∴AC=，BC=，AB=5， ∴AC2+BC2=25=52=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵过点作直线，直线的表达式为， ∴直线的表达式为． 设点的坐标为． ①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M， ∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵NB=t-4，PN=， ∴， ∴QM=，PM=， ∴MN=+，， ∴点的坐标为． 将点的坐标为代入，得 ， 解得：，t2=0（舍去）， 此时点的坐标为． ②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M， ∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵NB=4-t，PN=， ∴， ∴QM=，PM=， ∴MN=+，， ∴点的坐标为． 将点的坐标为代入，得 ， 解得：，<0（舍去）， 此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $