精品解析：2024年江苏省镇江市中考数学试题

镇江市2024年初中学业水平考试数学试卷 本试卷共6页，共28题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．） 1. 的绝对值等于________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 负数的绝对值等于它的相反数，由此计算即可． 【详解】解：，即的绝对值等于100， 故答案为：100． 2. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 3. 一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查众数，关键是掌握众数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，延长即可得到答案． 【详解】解：数据：1、1、1、2、5、6的众数为1． 故答案为：1 4. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．观察原式，发现公因式为；提出后，即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为： 5. 等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 6. 如图， 的边 的垂直平分线交 于点，连接 ．若 ，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出 ． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解： ，， ， 在 的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 7. 点、在一次函数的图像上，则_______（用“”、“ ”或“”填空）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 8. 小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为________环． 【答案】7.5 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图和中位数，熟练掌握中位数的定义和计算方法是关键．根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】解：射击成绩从小到大重新排列为：4，5，7，8，9，10， 中位数为． 故答案为：7.5 9. 如图， 是 的内接正n边形的一边，点C在 上，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正 边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的 ，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于 的方程，解方程即可． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：9． 11. 如图，四边形为平行四边形，以点为圆心， 长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长________（结果保留 ）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 12. 对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值 随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 13. 早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 14. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 15. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．再根据问卷调查方法即可求解． 【详解】解：A、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意； B、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意； C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意； D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意； 故选：B． 16. 如图，小杰从灯杆 的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ） A. 4.5米 B. 4米 C. 3.5米 D. 2.5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 17. 甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量 （单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题． 由图象知甲、乙两车行驶 百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案． 【详解】解：由图象知：甲、乙两车行驶 百公里时，甲车耗油，乙车耗油， 由题意得：． 故选：B． 18. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则 的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为： ，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出 ，即可得到 的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线 绕点逆时针旋转 ， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为： ， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线 上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是 或． 故选：C． 三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握它们的解法是解题的关键． （1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出其公共部分即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以， 得． ． 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）解： 解不等式①，得 ． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集是． 21. 如图，， ． （1）求证： ； （2）若 ，则 __________°． 【答案】（1） 证明：在 和 中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用 即可证得 ； （2）先根据三角形内角和定理求出 的度数，再根据全等三角形的性质即可得出 的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ， 由（1）知 ， ， 故答案为：20． 22. 3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上． （1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________； （2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样， 洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为、、， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种， 抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为． 23. 有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图： （1）__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）； （2）求实践组摸到黄球的频率； （3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？ 【答案】（1），； （2）； （3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了频率分布直方图，概率的计算公式，解题关键是正确判断． （1）直接判断得图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数； （2）用频率公式可得； （3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：实践组摸到黄球的频率； 【小问3详解】 解：实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 24. 如图，将 沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边 上，折痕为 ，点 在边 上， 经过点、．若 ，判断与 的位置关系，并说明理由． 【答案】 解：与 相切． 理由：连接 ． ∵， ∴． ∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边 上， ∴． ∴． ∴． ∴由 ，得，即 ． ∴与 相切． 【解析】 【分析】连接 ，由等腰三角形的性质得，再由折叠的性质得，进而证明，则 ，因此 ，然后由切线的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数 的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． （1）求 和 的值； （2）已知四边形 是正方形，连接，点 在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求 和 的值；分两种情况求 的坐标． （1）把的坐标代入 ，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解： 一次函数 的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； 【小问2详解】 解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当 在反比例函数的图象右半支上， 设 的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当 在反比例函数的图象左半支上， 设 的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上 的坐标为或． 26. 图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在 上，已知，，点D、F、G、J在 上，、、、均与所在直线平行，，．点N在 上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时 、 重合，点、 、 、 、 、在 上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与 之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【解析】 【分析】（1）； （2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果； （3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2） 、、、均与所在直线平行， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）如图， 作于， ， ，， ， 设，则，， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段 上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 【答案】（1），， （2）①6；②且；③4 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． （1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标； （2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点， 的坐标可得出， 关于对称轴对称，由此可得出的值； ②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段 上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，， 三点的二次函数不存在，由此可得且； ③，根据二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解： 二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得 或 ， ，； 【小问2详解】 解：①由题知，该函数过点，，， 函数的解析式为：， 函数的对称轴为直线， ，， 点， 关于对称轴对称， ， ， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为： ， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段 上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，， 三点的二次函数不存在， 且； ③，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 28. 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在 的边 、 上， ，仅用一把无刻度的直尺作、的中点． 操作：如图2，连接、 交于点P，连接 交于点M，延长 交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由 可得 及 ，所以，．所以，．同理，由 及 ，可得，．所以．所以，则， ，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得 ； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是 的中位线．请在线段上作出一点Q，使得 （要求用两种方法）． 【答案】[实践操作] （1）①如图， 点 即为所求作的点； ②如图， 点 即为所求作的点； （2）如图， 作法一、 作法二、 点 ， 即为所求作的点； [探索发现]（3）如图， 作法一、 作法二、 作法三、 作法四、 作法五、 点 即为所求的点． 【解析】 【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在上方任取一点，得到 ，与交于点，交于点，连接 ，交于点 ，作射线交，分别于 ， ，点 即为所求点； ②作射线交于点 ，作射线 交于点 ，点 即为所求； （2）根据上述作法，有两种作法； [探索发现]如作法一，根据相似可知，连接 ，交于点 ，则 ，即点 是 的三等分点之一，由此可以得出过点 作的平行线；同理可得点 是的三等分点之一，则 ，即点 为所求作点． 【详解】略 【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部分中 ， 为中点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇江市2024年初中学业水平考试数学试卷 本试卷共6页，共28题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．） 1. 的绝对值等于________． 2. 使分式有意义的的取值范围是________． 3. 一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为________． 4. 分解因式：________． 5. 等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为________． 6. 如图， 的边 的垂直平分线交 于点 ，连接 ．若 ，，则________． 7. 点、在一次函数的图像上，则_______（用“”、“ ”或“”填空）． 8. 小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为________环． 9. 如图， 是 的内接正n边形的一边，点C在 上，，则________． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 11. 如图，四边形为平行四边形，以点 为圆心， 长为半径画弧，交边于点E，连接 ，，，则的长________（结果保留 ）． 12. 对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是________（填写序号）． 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 13. 早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 14. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命 16. 如图，小杰从灯杆 的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ） A. 4.5米 B. 4米 C. 3.5米 D. 2.5米 17. 甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量 （单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 18. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点 ，将直线l绕点 逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 21. 如图，， ． （1）求证： ； （2）若 ，则 __________°． 22. 3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上． （1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________； （2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率． 23. 有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图： （1）__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）； （2）求实践组摸到黄球的频率； （3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？ 24. 如图，将 沿过点 的直线翻折并展开，点 的对应点落在边 上，折痕为 ，点 在边 上， 经过点 、 ．若 ，判断与 的位置关系，并说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数 的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． （1）求和的值； （2）已知四边形 是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 26. 图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在 上，已知，，点D、F、G、J在 上，、、、均与所在直线平行，，．点N在 上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时 、 重合，点 、 、 、 、 、 在 上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与 之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段 上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 28. 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在 的边 、 上， ，仅用一把无刻度的直尺作、的中点． 操作：如图2，连接、 交于点P，连接 交于点M，延长 交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由 可得 及 ，所以，．所以，．同理，由 及 ，可得，．所以．所以，则， ，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得 ； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是 的中位线．请在线段上作出一点Q，使得 （要求用两种方法）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $