第一章 数学与我们同行 第1.3节 交流 表达-2024-2025学年七年级数学上学期培优全攻略（2024苏科新版）

苏科2024新版第一章 数学与我们同行 交流 表达 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.通过实例感悟数学的表达方式方法：文字叙述、图形图象、数学式子、表格列举等等； 2.培养提出问题，分析问题，解决问题，表达问题的能力. 3.提高自己的语言表达能力，与同学的沟通交流能力。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——如何学习数学？谢尔宾斯基地毯，是由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基于1916年提出的一种分形，是自相似集的一种。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：借助几何图形表达数学规律 1. 语言叙述法：就是用自己的话去概括； 2. 图形表示法：数学规律通过几何图形间的关系反应出来； 3. 数学表达式法： 如图，先画一个等边三角形，然后连接三条边的中点得到4个相同的三角形，将中间的三角形涂色，再对其余三个三角形进行同样的操作。 图2 图3 表达图2，图3中的数学规律，可以采用以下几种方式： 语言叙述法：图2中绿色三角形的面积是大三角形面积的 图形表示法： 数学表达式法： 知识点2：借助表格表达数学规律 表达有关变化的规律可以借助表格列举的方法，例如：室温下开水温度随时间变化的规律 时间/分钟 0 5 10 15 25 温度/℃ 98 71 55 45 35 时间/分钟 35 45 55 65 70 温度/℃ 28 24 22 22 22 知识点3：借助图像表达数学规律 活动二中关于室温下开水温度随时间变化的规律，也可以借助图象表达这一规律。 知识点：借助数学式子表达数学规律 表达一个量随着另一个量的变化规律，常常用一个数学式子表示更方便，例如按照下图所示的方式用火柴棒搭正方形。 火柴棒根数和正方形个数之间的关系可以借助一个数学式子表示，设正方形的个数为n, 需要火柴棒的根数为s,则 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型一：无限分下去怎么样？ 如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间的小三角形三边的中点得到图③；以此类推，可以得到图④、图⑤、…、图ⓝ． （1） 图②中有个三角形； （2） 按上面的方法继续下去，第n个图形中有个三角形； （3） 当图中的三角形达到2025个时，此时是第几个图形？ 题型二：探究火柴棒中的数学知识 如图，小明分别用火柴棒搭了1条、2条、3条“金鱼”，请你观察图形并解答下列问题： （1） 按照这种搭法，搭1条“金鱼”需要火柴棒多少根？搭2条“金鱼”需要火柴棒多少根？ （2） 按照这种搭法，搭n条“金鱼”需要火柴棒多少根？ （3） 小明说：“我用200根火柴棒照上述方法能搭33条金鱼．”小华说：“我用192根火柴棒照上述方法能搭32条金鱼．”他们俩说得对吗？请你通过计算说明理由． 题型三：探究折痕的奥秘 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到1条折痕（图中虚线），这条折痕将长方形分成了2个长方形；继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行． （1）连续对折4次，可以得到 多少条折痕，这些折痕将长方形分成了 多少个个长方形？ （2）连续对折100次，可以得到多少条折痕，这些折痕把长方形分成了多少个长方形？ （3）请你简要说明探究得到此结论的过程和方法． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 探究活动一： 用火柴棒按如图的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ … 火柴棒根数 5 9 13 ______ ______ … (1)按图示规律完成表格 (2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？ (3)搭第2024个图形需要多少根火柴棒？ 探究活动二： 用火柴棒按图中所示的方法搭图形． (1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 　     　根火柴棒；搭第n个图形需 根火柴棒； (2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形； (3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 探究活动三： 在日常生活中，我们经常要烧开水，下表是对烧水的时间与水的温度的记录： 时间（分） 温度（） 根据表格中的数据解答下列问题： (1)第5分钟，水的温度是______，从第______分钟开始，水的温度升高到； (2)从第分钟到第分钟，水的温度升高了多少？ (3)继续加热，请你估计在第分钟时，水的温度是多少？随着加热时间的增加，水的温度是否会一直上升？ 探究活动四： 提出问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 分析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究． 探究一：我们以两个长、宽、高分别是4、3、5的长方体为例进行分析．我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示．    (1)请计算图1、图2、图3中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（cm） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2） 图1 5 4 6 148 图2 10 4 3 164 图3 5 8 3 ____________ 根据上表可知，表面积最小的是____________所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”） (2)探究二：有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，现要用这4个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不方便，可以按照下列思路考虑： 在图1的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为____________； 在图2的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为____________； 在图3的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为 ____________； 综上所述，有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，要用这4个纸盒搭成一个大长方体的表面积最小为____________． (3)探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考： 将4分解质因数，得到，或两种情况，通过与小长方体的长宽高进行组合： 在时，搭成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小，表面积为____________（直接写出结果）． 类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题： 有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 拓展延伸：将168个棱长为的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表面积是____________． 探究活动五 风是地球上的一种空气流动现象，一般是由太阳辐射热引起的．风的测量多用电接风向风速计、轻便风速表、达因式风向风速计，以及用于测量农田中微风的热球微风仪等仪器进行．小力同学使用轻便风速表观测了某天连续12个小时风力变化的情况，并绘制下图 (1)上图反映了哪谁与谁之间的关系？ (2)A，B两点表示什么意思？ (3)什么时间范围内风力最大？此时风力为多少？ (4)简要描述8—12时风力变化的情况． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第一章 数学与我们同行 交流 表达 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.通过实例感悟数学的表达方式方法：文字叙述、图形图象、数学式子、表格列举等等； 2.培养提出问题，分析问题，解决问题，表达问题的能力. 3.提高自己的语言表达能力，与同学的沟通交流能力。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——如何学习数学？谢尔宾斯基地毯，是由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基于1916年提出的一种分形，是自相似集的一种。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：借助几何图形表达数学规律 1. 语言叙述法：就是用自己的话去概括； 2. 图形表示法：数学规律通过几何图形间的关系反应出来； 3. 数学表达式法： 如图，先画一个等边三角形，然后连接三条边的中点得到4个相同的三角形，将中间的三角形涂色，再对其余三个三角形进行同样的操作。 图2 图3 表达图2，图3中的数学规律，可以采用以下几种方式： 语言叙述法：图2中绿色三角形的面积是大三角形面积的 图形表示法： 数学表达式法： 知识点2：借助表格表达数学规律 表达有关变化的规律可以借助表格列举的方法，例如：室温下开水温度随时间变化的规律 时间/分钟 0 5 10 15 25 温度/℃ 98 71 55 45 35 时间/分钟 35 45 55 65 70 温度/℃ 28 24 22 22 22 知识点3：借助图像表达数学规律 活动二中关于室温下开水温度随时间变化的规律，也可以借助图象表达这一规律。 知识点：借助数学式子表达数学规律 表达一个量随着另一个量的变化规律，常常用一个数学式子表示更方便，例如按照下图所示的方式用火柴棒搭正方形。 火柴棒根数和正方形个数之间的关系可以借助一个数学式子表示，设正方形的个数为n, 需要火柴棒的根数为s,则 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型一：无限分下去怎么样？ 如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间的小三角形三边的中点得到图③；以此类推，可以得到图④、图⑤、…、图ⓝ． （1） 图②中有个三角形； （2） 按上面的方法继续下去，第n个图形中有个三角形； （3） 当图中的三角形达到2025个时，此时是第几个图形？ 【答案】（1）图②中有5个三角形；（2）第n个图形中有（4n-3）个三角形； （3）此时是第507个图形． 【分析】依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：（1）由所给图形可知，图①中三角形的个数为：1=1×4-3； 图②中三角形的个数为：5=2×4-3；图③中三角形的个数为：9=3×4-3； …，所以图n中三角形的个数为（4n-3）个．故图②中有5个三角形． （2）由（1）知，第n个图形中有（4n-3）个三角形． （3）令4n-3=2025，解得n=507，即第507个图形中有2025个三角形． 故此时是第507个图形． 题型二：探究火柴棒中的数学知识 如图，小明分别用火柴棒搭了1条、2条、3条“金鱼”，请你观察图形并解答下列问题： （1） 按照这种搭法，搭1条“金鱼”需要火柴棒多少根？搭2条“金鱼”需要火柴棒多少根？ （2） 按照这种搭法，搭n条“金鱼”需要火柴棒多少根？ （3） 小明说：“我用200根火柴棒照上述方法能搭33条金鱼．”小华说：“我用192根火柴棒照上述方法能搭32条金鱼．”他们俩说得对吗？请你通过计算说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）（2）观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2n+6； （3）分别将n=33和n=32代入6n+2即可确定答案． 【解答】解：（1）（2）由图形可知： 第一个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6=8； 第二个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6=14； 第三个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6=20； …； 第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6=2+6n 故答案为：8，14，2+6n. （2）由题意得：当n=33时，6n+2=200； 当n=32时，6n+2=194， 所以，小明的说法正确，小华的说法错误． 题型三：探究折痕的奥秘 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到1条折痕（图中虚线），这条折痕将长方形分成了2个长方形；继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行． （1）连续对折4次，可以得到 多少条折痕，这些折痕将长方形分成了 多少个个长方形？ （2）连续对折100次，可以得到多少条折痕，这些折痕把长方形分成了多少个长方形？ （3）请你简要说明探究得到此结论的过程和方法． 【答案】①15，16；②2n-1，2n；③答案见解答． 【分析】①对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可； ②再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数； ③由①②得出结论． 【解答】解：①由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕， 第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕， 所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕， 故答案为：15，16； ②由①的规律可得出，第n次对折，把纸分成2n部分，2n-1条折痕．故答案为：2n-1，2n； ③由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕， 第2次对折，把纸分成4=22部分，3=22-1条折痕， 第3次对折，把纸分成8=23部分，7=23-1条折痕， …， 以此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n-1条折痕． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 探究活动一： 用火柴棒按如图的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ … 火柴棒根数 5 9 13 ______ ______ … (1)按图示规律完成表格 (2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？ (3)搭第2024个图形需要多少根火柴棒？ 【答案】(1)(2)(3)8097根火柴棒 【分析】本题主要考查规律型：图形的变化类解答的关键是根据所给的图形分析出其规律； （1）根据所给的图形进行分析即可得出结果； （2）由（1）进行总结即可； （3）根据（2）所得的式子进行解答即可． 【详解】（1）第1个图形的火柴棒根数为：5， 第2个图形的火柴棒根数为：， 第3个图形的火柴棒根数为：， 第4个图形的火柴棒根数为：， 第5个图形的火柴棒根数为：， 故答案为：； （2）由（1）得：搭第个图形需要火柴棒根数为：． 答：第个图形需要火柴棒根数为：； （3）当时，，所以搭第2022个图形需要8097根火柴棒． 探究活动二： 用火柴棒按图中所示的方法搭图形． (1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 　     　根火柴棒；搭第n个图形需 根火柴棒； (2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形； (3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 【答案】(1)12；17；（5n＋2） (2)1012；不能 (3)110个 【分析】（1）依次求出图形中用的火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）先求出187根火柴搭成的是第几个图形，再根据图形中正方形个数变化的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）由所给图形可知， 第①个图形用的火柴棒根数为：7＝1×5＋2； 第②个图形用的火柴棒根数为：12＝2×5＋2； 第③个图形用的火柴棒根数为：17＝3×5＋2； …， 所以第n个图形用的火柴棒根数为（5n＋2）根． 故答案为：12，17，（5n＋2）． （2）解：（2）由（1）知， 当n＝202时， 5n＋2＝5×202＋2＝1012（根）， 即第202个图形用的火柴棒根数为1012根． 使用2023根火柴棒不能搭建完整的正方形组建的图形． 当5n＋2＝2023时， 解得n＝404.2， 因为n为正整数， 所以不能搭建完整的正方形组建的图形． 故答案为：1012，不能． （3）解：（3）令5n＋2＝187， 解得n＝37， 即第37个图形用的火柴棒根数为187根． 又因为第①个图形产生的正方形个数为：2＝1×3﹣1； 第②个图形产生的正方形个数为：5＝2×3﹣1； 第③个图形产生的正方形个数为：8＝3×3﹣1； …， 所以第n个图形产生的正方形个数为（3n﹣1）个， 当n＝37时， 3n﹣1＝3×37﹣1＝110（个）， 即第37个图形产生的正方形个数为110个， 所以使用187根火柴搭图形，图中会产生110个正方形． 探究活动三： 在日常生活中，我们经常要烧开水，下表是对烧水的时间与水的温度的记录： 时间（分） 温度（） 根据表格中的数据解答下列问题： (1)第5分钟，水的温度是______，从第______分钟开始，水的温度升高到； (2)从第分钟到第分钟，水的温度升高了多少？ (3)继续加热，请你估计在第分钟时，水的温度是多少？随着加热时间的增加，水的温度是否会一直上升？ 【答案】(1)，． (2)从第分钟到第分钟，水的温度升高了． (3)在第分钟时，水的温度是．随着加热时间的增加，水的温度不会一直上升． 【分析】（1）根据表格数据直接可得答案； （2）根据表格中的数据，用第分钟时的温度减去第分钟时，水的温度即可求解． （3）根据表格中的数据可知11分钟以后水的温度都是100℃，即可求解． 【详解】（1）第5分钟，水的温度是，从第分钟开始，水的温度升高到； 故答案为：，； （2）（），所以从第分钟到第分钟，水的温度升高了． （3）根据表格中的数据可知11分钟以后水的温度都是100℃， 所以在第15分钟时，水的温度是100℃． 随着加热时间的增加，水的温度不会一直上升． 探究活动四： 提出问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 分析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究． 探究一：我们以两个长、宽、高分别是4、3、5的长方体为例进行分析．我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示．    (1)请计算图1、图2、图3中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（cm） 宽（cm） 高（cm） 表面积（cm2） 图1 5 4 6 148 图2 10 4 3 164 图3 5 8 3 ____________ 根据上表可知，表面积最小的是____________所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”） (2)探究二：有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，现要用这4个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不方便，可以按照下列思路考虑： 在图1的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为____________； 在图2的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为____________； 在图3的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到的长方体，这个长方体的表面积为 ____________； 综上所述，有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，要用这4个纸盒搭成一个大长方体的表面积最小为____________． (3)探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考： 将4分解质因数，得到，或两种情况，通过与小长方体的长宽高进行组合： 在时，搭成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小，表面积为____________（直接写出结果）． 类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题： 有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 拓展延伸：将168个棱长为的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表面积是____________． 【答案】(1)158，图1 (2)236，248，236，236 (3)236，当时，达成的的大长方体最接近正方体，此时表面积最小；188 【分析】（1）根据表面积计算公式进行计算，即可得到结果； （2）根据摆放要求，按表面积计算公式计算即可； （3）根据探究规律，代入计算即可；仿照上面的解题思路，得出规律：当，时，达成的的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：；把168分解因数，根据规律求出的值代入计算即可． 【详解】（1）解：， ∴图1表面积最小， 故答案为：158，图1； （2）解：， ， ， ∴大长方体的表面积最小为236， 故答案为：236，248，236，236； （3）解：， 故答案为：236； 类比应用：由探究三可得： 当时，达成的的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：； 拓展延伸：， ∴当时，达成的的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：， 故答案为：188． 探究活动五 风是地球上的一种空气流动现象，一般是由太阳辐射热引起的．风的测量多用电接风向风速计、轻便风速表、达因式风向风速计，以及用于测量农田中微风的热球微风仪等仪器进行．小力同学使用轻便风速表观测了某天连续12个小时风力变化的情况，并绘制下图 (1)上图反映了哪谁与谁之间的关系？ (2)A，B两点表示什么意思？ (3)什么时间范围内风力最大？此时风力为多少？ (4)简要描述8—12时风力变化的情况． 【答案】(1)反映了风力随时间的变化而变化的关系，自变量是时间，因变量是风力 (2)A点表示8时风力为2级，B点表示17时风力为5级 (3)14—15时风力最大，此时风力为7级 (4)8—9时风力不断增大；9—10时风力保持不变；10—11时风力不断增大；11—12时风力逐渐减小 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）直接根据图象信息回答即可； （3）直接根据图象信息回答即可； （4）根据图象信息回答即可． 【详解】（1）上图反映了风力随时间的变化而变化的关系，自变量是时间，因变量是风力； （2）由图象可知，点表示8时的风力为2级；点表示17时的风力为5级； （3）由图象可知，14时至15时风力最大，此时风力为7级； （4）由图象可知，8时至9时风力不断增大，9时至10时风力保持不变，10时至11时风力不断增大，11时至12时风力逐渐减小． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$