第一章 数学与我们同行 第1.2节 活动 思考-2024-2025学年七年级数学上学期培优全攻略（2024苏科新版）

苏科2024新版第一章 数学与我们同行 活动 思考 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.通过一“形”和一“数”两个活动，了解学习数学的一般方法：思考，讨论，动手实验等； 2.学会遇到问题尝试从不同角度寻求解决问题. 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——如何学习数学？1.“没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。” ——牛顿 2. 著名教育家苏霍姆林斯基说过：“手和脑之间有着干丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更明智，脑使手得到发展，使它变为思维的工具和镜子。”可见学生的思维是从动作开始的，切断动作与思维的关系，思维就得不到发展。因此教学中，要根据教学内容和学生的认知规律，抓住学生思维的特点，为学生提供丰富的情境材料，从学生喜闻乐见的实情、实物、实例入手，充分激发学生的思考兴趣，有效理解知识点，发现数学规律。 3.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：从图形的角度，动手操作分析问题 1.图形的折叠过程有如下特性：重叠的长度相等；重叠的角度相等；对应点的连线被折痕垂直平分。 2.动手操作，是数学学习的一种非常重要方法。 3.研究数学问题，可以从图形的角度分析解决。 知识点2：从“数量”的角度，动脑思考研究问题 1. 月历中包含很多的数学知识，研究月历中几个数之间的数量关系，可以从以下几个方面分析： （1） 与同行前后数的关系：相差1 （2） 与同列上下数的关系：相差7 2.在人类文明的发展过程中，图形和数字是人们表达和传递信息的重要载体. 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型一：物品包装中的数学知识探究 火柴盒的长、宽、高分别是5cm、3cm和2cm,将4盒火柴包装在一起，动手试一试，动脑想一想，怎样包装最节省包装材料？ 题型二：探究月历中的数学知识 图1是某年10月的月历． (1)如图1所示，用一个框竖着框住三个数，若被框住的三个数的和为60，则这三个数分别为______． (2)如图1所示，若任意画一个十字框，框住五个数，设这五个数为，，，，，具体见图2，若，则的值为______． (3)（2）中画的十字框中，是否存在的值，使得？请说明理由． 题型三：动手折叠等边三角形 （1） 用一张长方形的纸片折叠一个等边三角形； （2） 用一张正方向的纸片折叠一个等边三角形。 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 探究活动一： 玩具店有三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与图中的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？ 探究活动二： “四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”： 请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号． 四巧板 探究活动三： 如图，七巧板由图中标号为“”、“”、“”、“”、“”、“”、“”的七块板组成，七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被称为“东方魔板”，它虽然仅有七块板组成，但用它们可以拼出各种各样的图形.请你按下列要求画出所拼的图，图中往上标号： ①用其中的四块板拼成一个三角形； ②用其中的五块板拼成一个正方形. 探究活动四： 美国著名的数学科普作家马丁•加德纳，他的妙趣横生的科普作品《哈哈!灵机一动》让无数读者为数学着谜，下面的问题改编自马丁•加德纳的文集. 最早的器具型趣题无疑是古代中国的七巧板（由如图1的七块板组成的，完整图案为一正方形）游戏，它可以引出一些不平凡的数学问题，例如用一副七巧板可拼出多少种凸多边形（图形均在各边所在的直线的同侧）？1942年，中国浙江大学的两位数学家王福春和熊全治，证明了用一副七巧板只能拼出13种凸多边形. 图2中给出了其中的一种凸六边形，请你参考图1，在图2中画出七巧板中的七块. 探究活动五： 如图是2023年8月的月历： (1)图1和图2在月历中框出4个代表日期的数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系； (2)已知本月框出的4个代表日期的数字之和是88，那么最小的日期对应的是星期几？ 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第一章 数学与我们同行 活动 思考 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.通过一“形”和一“数”两个活动，了解学习数学的一般方法：思考，讨论，动手实验等； 2.学会遇到问题尝试从不同角度寻求解决问题. 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——如何学习数学？1.“没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。” ——牛顿 2. 著名教育家苏霍姆林斯基说过：“手和脑之间有着干丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更明智，脑使手得到发展，使它变为思维的工具和镜子。”可见学生的思维是从动作开始的，切断动作与思维的关系，思维就得不到发展。因此教学中，要根据教学内容和学生的认知规律，抓住学生思维的特点，为学生提供丰富的情境材料，从学生喜闻乐见的实情、实物、实例入手，充分激发学生的思考兴趣，有效理解知识点，发现数学规律。 3.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：从图形的角度，动手操作分析问题 1.图形的折叠过程有如下特性：重叠的长度相等；重叠的角度相等；对应点的连线被折痕垂直平分。 2.动手操作，是数学学习的一种非常重要方法。 3.研究数学问题，可以从图形的角度分析解决。 知识点2：从“数量”的角度，动脑思考研究问题 1. 月历中包含很多的数学知识，研究月历中几个数之间的数量关系，可以从以下几个方面分析： （1） 与同行前后数的关系：相差1 （2） 与同列上下数的关系：相差7 2.在人类文明的发展过程中，图形和数字是人们表达和传递信息的重要载体. 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型一：物品包装中的数学知识探究 火柴盒的长、宽、高分别是5cm、3cm和2cm,将4盒火柴包装在一起，动手试一试，动脑想一想，怎样包装最节省包装材料？ 【答案】选用A型材料最省钱，要用36元 【分析】首先分析有几种包装方法，然后再分别计算每种方法所用包装材料面积，最后比较一下即可． 【详解】解：一共有五种包装方法，如下图所示： 包装方法1：（3×5+3×8+5×8）×2 =（15+24+40）×2 =79×2 =158（平方厘米）； 包装方法2：（12×5+12×2+5×2）×2 =（60+24+10）×2 =94×2 =188（平方厘米）； 包装方法3：（20×3+20×2+3×2）×2 =（60+40+6）×2 =106×2 =212（平方厘米）； 包装方法4：（6×10+6×2+10×2）×2 =（60+12+20）×2 =92×2 =184（平方厘米）； 包装方法5： （6×5+6×4+5×4）×2 =（30+24+20）×2 =74×2 =148（平方厘米）； 故答案为：148平方厘米 题型二：探究月历中的数学知识 图1是某年10月的月历． (1)如图1所示，用一个框竖着框住三个数，若被框住的三个数的和为60，则这三个数分别为______． (2)如图1所示，若任意画一个十字框，框住五个数，设这五个数为，，，，，具体见图2，若，则的值为______． (3)（2）中画的十字框中，是否存在的值，使得？请说明理由． ，框住五个数，设这五个数为，，，，，具体见图2，若，则的值为______． (3)（2）中画的十字框中，是否存在的值，使得？请说明理由． 【答案】(1)13，20，27；(2)12；(3)不存在，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． (1)设这三个数中间的数为，则另外两个数分别为，，根据被框住的三个数的和为60，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据各数之间的关系，可得出，，， ，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； (3)假设存在，根据，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再利用求出该值大于31，即可得出假设不成立，即不存在的值，使得． 【详解】（1）解：设这三个数中间的数为，则另外两个数分别为，． 根据题意得，解得． 所以，． 故答案为：13，20，27． （2）观察图1可知： ，，， 所以． ． 故答案为：12． （3）不存在． 理由如下： 假设存在，由（2）得， 解得．所以． 因为，所以假设不成立． 所以不存在的值，使得． 题型三：动手折叠等边三角形 （1） 用一张长方形的纸片折叠一个等边三角形； （2） 用一张正方向的纸片折叠一个等边三角形。 【详解】（1） （2） 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 探究活动一： 玩具店有三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与图中的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？ 【答案】选用A型材料最省钱，要用36元 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，方案选择问题，全选A型板时，要与的正方形全等，需满足所选A型板中小正方形的总数与的正方形中小正方形的总数相等． 【详解】解：拼成的正方形全等的图案： 用A型板12块，每块3元，花费（元）， 用B型板12块，每块4元，花费（元）， 用C型板9块，每块5元，花费（元）． 所以，选用A型材料最省钱，要用36元． 探究活动二： “四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”： 请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号． 四巧板 【答案】见解析 【分析】根据要求动手操作，画出图形即可． 【详解】解：分割线如图所示： 探究活动三： 如图，七巧板由图中标号为“”、“”、“”、“”、“”、“”、“”的七块板组成，七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被称为“东方魔板”，它虽然仅有七块板组成，但用它们可以拼出各种各样的图形.请你按下列要求画出所拼的图，图中往上标号： ①用其中的四块板拼成一个三角形； ②用其中的五块板拼成一个正方形. 【答案】①图见解析；②图见解析． 【分析】解此题要熟悉七巧板的结构：五个等腰直角三角形，有两个全等三角形；一个正方形；一个平行四边形： ①用其中的四块板拼成一个三角形，需有一个正方形，一个较大的等腰直角三角形和两个较小的等腰直角三角形； ②用其中的五块板拼成一个正方形，用到图中的五块即可． 【详解】七巧板的结构为：五个等腰直角三角形，有两个全等三角形；一个正方形；一个平行四边形 ①四块板拼成一个三角形如图所示：    ②五块板拼成一个正方形如图所示：    探究活动四： 美国著名的数学科普作家马丁•加德纳，他的妙趣横生的科普作品《哈哈!灵机一动》让无数读者为数学着谜，下面的问题改编自马丁•加德纳的文集. 最早的器具型趣题无疑是古代中国的七巧板（由如图1的七块板组成的，完整图案为一正方形）游戏，它可以引出一些不平凡的数学问题，例如用一副七巧板可拼出多少种凸多边形（图形均在各边所在的直线的同侧）？1942年，中国浙江大学的两位数学家王福春和熊全治，证明了用一副七巧板只能拼出13种凸多边形. 图2中给出了其中的一种凸六边形，请你参考图1，在图2中画出七巧板中的七块. 【答案】答案见解析． 【分析】利用七巧板的性质结合已知图形作图即可． 【详解】如图所示： 探究活动五： 如图是2023年8月的月历： (1)图1和图2在月历中框出4个代表日期的数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系； (2)已知本月框出的4个代表日期的数字之和是88，那么最小的日期对应的是星期几？ 【答案】(1) (2)星期五 【分析】本题考查看来日历的实际问题，列代数式表达式以及整式的加法运算， （1）先根据题意，得，即； （2）把，代入，化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 那么 故a、b、c、d之间的关系为； （2）解：设最小的日期为，则记， 依题意， ∵ ∴把，代入 得 解得 ∴时，所对应是星期五 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$