1.3　正方形的性质与判定 第1课时　课件+教案　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

3　正方形的性质与判定 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.了解正方形的概念及其与平行四边形、菱形、矩形之间的关系 抽象能力、推理能力 2.掌握正方形的性质,会用正方形的性质进行有关的计算与证明 模型观念、推理能力、运算能力、应用意识、几何直观 基础主干落实 新知要点 1.正方形的定义:有一组　邻边　相等,并且有一个角是　直角　的平行四边形.  2.正方形的性质 文字语言 符号语言 边 对边平行四边相等 ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=AD. 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. 对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 总结 正方形既是矩形又是菱形,具有矩形和菱形的所有性质 对点小练 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (C) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.每一条对角线平分一组对角 2.正方形的对角线等于4,则此正方形的面积等于(A) A.8 B.16 C.6 D.12 3.正方形的边长为5 cm,则周长为　20　cm,面积为　25　cm2.  重点典例研析 重点正方形的性质及应用(几何直观、推理能力) 【典例】(教材再开发·P21例1拓展)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC边上的点且BE=BF,连接CE,延长AB至G使得BG=BA,延长GF交CE于点H,求证:GH⊥CE. 【自主解答】∵四边形ABCD是正方形, ∴∠CBE=∠GBF=90°,AB=BC, ∵BG=AB,∴BG=BC, 在△BCE和△BGF中,, ∴△BCE≌△BGF(SAS), ∴∠BCE=∠G. ∵∠BCE+∠BEC=90°, ∴∠G+∠GEH=90°, ∴∠GHE=90°,∴GH⊥CE. 【举一反三】 1.(2024·贵阳乌当区质检)边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放,则△ABC的面积为　4　.  2.(2024·兰州期中)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O,B的坐标分别是(0,0),(2,0),则顶点C的坐标是　(1,-1)　.  3.(2022·贵阳中考节选)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,作BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.求证:△ABE≌△FMN. 【解析】在正方形ABCD中,有AD=DC=CB=AB,∠A=∠D=∠C=90°,BC∥AD, AB∥DC. ∵MF∥AD,∠A=∠D=90°,AB∥DC, ∴四边形ADFM是矩形, ∴AD=MF,∠AMF=∠MFD=90°, ∴∠BMF=∠NFM=90°,即∠BMO+∠OMF=90°,AB=AD=MF. ∵MN是BE的垂直平分线,∴MN⊥BE, ∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO, ∴∠MBO=∠OMF,即∠ABE=∠FMN. 在△ABE和△FMN中,, ∴△ABE≌△FMN(ASA). 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念、运算能力)如图,小红用四根长度相等的木条制作能够活动的学具,她先把活动学具做成图1所示的菱形,并测得∠B=60°,对角线AC=2 cm,接着把活动学具做成图2所示的正方形,则图2中对角线AC的长为 (B) A.2 cm B.2cm C.cm D.4 cm 2.(4分·几何直观、运算能力)如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠DCE的度数是　112.5°　.  3.(4分·几何直观、推理能力、运算能力) (2024·六盘水水城区期中)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BA,BC的中点.若BD=2,则EF的长是　1　.  4.(8分·几何直观、推理能力、运算能力)如图,正方形ABCD的边长是4,BE=CE,DF=3CF.证明:∠AEF=90°. 【证明】连接AF, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠C=∠D=90°. ∵正方形ABCD的边长是4,BE=CE,DF=3CF, ∴BE=CE=2,CF=1,DF=3. 由勾股定理得, AE2=AB2+BE2=42+22=20, EF2=CE2+CF2=22+12=5, AF2=AD2+DF2=42+32=25, 又∵AE2+EF2=AF2, ∴△AEF是直角三角形,即∠AEF=90°. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 五” 学科网（北京）股份有限公司 $$3　正方形的性质与判定 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.了解正方形的概念及其与平行四边形、菱形、矩形之间的关系 抽象能力、推理能力 2.掌握正方形的性质,会用正方形的性质进行有关的计算与证明 模型观念、推理能力、运算能力、应用意识、几何直观 基础主干落实 重点典例研析 素养当堂测评 基础主干落实 新知要点 1.正方形的定义:有一组__________相等,并且有一个角是__________的平行四边形.  2.正方形的性质 文字语言 符号语言 边 对边______四边______ ∵四边形ABCD是正方形,∴________________. 角 四个角都是_____ ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 对角线 对角线______且互 相__________ ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. 对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 总结 正方形既是矩形又是菱形,具有矩形和菱形的所有性质 　邻边　 　直角　 平行 相等 AB=BC=CD=AD 直角 相等 垂直平分 对点小练 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( ) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.每一条对角线平分一组对角 2.正方形的对角线等于4,则此正方形的面积等于( ) A.8 B.16 C.6 D.12 3.正方形的边长为5 cm,则周长为________cm,面积为________cm2.  C A 　20　 　25　 重点典例研析 重点正方形的性质及应用(几何直观、推理能力) 【典例】(教材再开发·P21例1拓展)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC边上的点且BE=BF,连接CE,延长AB至G使得BG=BA,延长GF交CE于点H,求证:GH⊥CE. 【自主解答】∵四边形ABCD是正方形,∴∠CBE=∠GBF=90°,AB=BC, ∵BG=AB,∴BG=BC, 在△BCE和△BGF中,,∴△BCE≌△BGF(SAS), ∴∠BCE=∠G. ∵∠BCE+∠BEC=90°,∴∠G+∠GEH=90°,∴∠GHE=90°,∴GH⊥CE. 【举一反三】 1.(2024·贵阳乌当区质检)边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放, 则△ABC的面积为_______.  　4　 2.(2024·兰州期中)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O,B的坐标 分别是(0,0),(2,0),则顶点C的坐标是__________.  　(1,-1)　 3.(2022·贵阳中考节选)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,作BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.求证:△ABE≌△FMN. 【解析】在正方形ABCD中,有AD=DC=CB=AB,∠A=∠D=∠C=90°,BC∥AD, AB∥DC. ∵MF∥AD,∠A=∠D=90°,AB∥DC,∴四边形ADFM是矩形, ∴AD=MF,∠AMF=∠MFD=90°, ∴∠BMF=∠NFM=90°,即∠BMO+∠OMF=90°,AB=AD=MF. ∵MN是BE的垂直平分线,∴MN⊥BE,∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO, ∴∠MBO=∠OMF,即∠ABE=∠FMN. 在△ABE和△FMN中,,∴△ABE≌△FMN(ASA). (10分钟·20分) 1.(4分·模型观念、运算能力)如图,小红用四根长度相等的木条制作能够活动的 学具,她先把活动学具做成图1所示的菱形,并测得∠B=60°,对角线AC=2 cm,接着 把活动学具做成图2所示的正方形,则图2中对角线AC的长为 ( ) A.2 cm B.2cm C.cm D.4 cm 素养当堂测评 B 2.(4分·几何直观、运算能力)如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E, 使AE=AC,则∠DCE的度数是___________.  　112.5°　 3.(4分·几何直观、推理能力、运算能力) (2024·六盘水水城区期中)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BA,BC的中点. 若BD=2,则EF的长是_______.  　1　 4.(8分·几何直观、推理能力、运算能力)如图,正方形ABCD 的边长是4,BE=CE,DF=3CF.证明:∠AEF=90°. 【证明】连接AF, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠C=∠D=90°. ∵正方形ABCD的边长是4,BE=CE,DF=3CF, ∴BE=CE=2,CF=1,DF=3. 由勾股定理得, AE2=AB2+BE2=42+22=20,EF2=CE2+CF2=22+12=5,AF2=AD2+DF2=42+32=25, 又∵AE2+EF2=AF2,∴△AEF是直角三角形,即∠AEF=90°. 本课结束 $$