1.3正方形的性质与判定第1课时（教学设计）数学北师大版九年级上册

1.3 正方形的性质与判定（第1课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版九年级上册数学第一章《特殊平行四边形》第三节“正方形的性质与判定”第1课时，内容包括：正方形的定义、性质及其证明。 2.内容解析 本节课是在学生系统学习了平行四边形、矩形和菱形的定义、性质及判定之后展开的，是对特殊平行四边形知识的深化与综合。本节课核心是正方形的概念与性质，其定义以平行四边形为基础，通过 “一组邻边相等” 和 “一个角是直角” 将其特殊化，性质则融合了矩形和菱形的特性，由定义推导而来；学习中贯穿从一般到特殊的思想，运用观察、猜想、验证、归纳的方法，且正方形处于平行四边形、矩形、菱形之后，是前三者知识的综合，又为后续复杂几何问题奠定基础，体现了知识的内在逻辑与递进关系。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解并掌握正方形的性质定理，能运用正方形的性质定理进行推导证明。 1.教学目标 （1）通过观察正方形图形、回顾平行四边形及特殊平行四边形的知识，能说出正方形的定义及与平行四边形、矩形、菱形的关系，发展数学抽象素养。​ （2）通过动手操作、测量、推理等活动探究正方形的性质，能准确表述正方形边、角、对角线的性质及对称性，发展逻辑推理和直观想象素养。​ （3）通过运用正方形的性质解决简单的计算和证明问题，能熟练运用性质进行相关操作，发展数学运算和逻辑推理素养。 2.目标解析 （1）学生完成相关学习后，能够在看到正方形图形时，迅速关联到平行四边形、矩形、菱形的知识，清晰且准确地阐述正方形的定义，明确指出正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形以及特殊的菱形，清楚说明其与这几种图形在概念上的包含与被包含关系。这表明学生已具备从众多图形概念中抽象出正方形本质特征及与其他图形关联的能力，数学抽象素养得到有效发展。​ （2）经过动手操作、测量和推理等活动，学生能够在不同的正方形实例中，准确且全面地说出正方形边（对边平行、四条边相等）、角（四个角都是直角）、对角线（互相垂直平分且相等、每条对角线平分一组对角）的性质，以及作为轴对称图形具有四条对称轴这一特征，并且能结合具体图形进行指向性说明。这体现出学生已形成对正方形性质的直观认识和逻辑理解，逻辑推理和直观想象素养得到提升。​ （3）当面对与正方形相关的简单计算（如求边长、对角线长、角度等）和证明（如证明线段相等、垂直等）问题时，学生能够快速识别问题所涉及的正方形性质，正确运用性质列出算式或推理过程，得出准确结果。这说明学生已具备运用正方形性质解决实际问题的能力，数学运算和逻辑推理素养得到进一步发展。 学生已学习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定，多数能掌握平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，矩形四个角为直角、对角线相等，菱形四条边相等、对角线互相垂直平分等核心知识，也初步理解从一般到特殊的图形研究思路，但部分学生对这几种图形的联系与区别理解不深，性质记忆存在混淆。教学中，学生可能难以清晰梳理正方形与平行四边形、矩形、菱形的包含关系，易孤立看待各图形；因正方形性质综合了矩形和菱形的性质，学生可能出现记忆遗漏，且在复杂问题中难以灵活选用合适性质；同时，将矩形和菱形的研究方法迁移到正方形探究中的能力不足，自主探究时易陷入困境。 1.通过制作图形关系思维导图，将平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义及特殊化条件进行梳理，用大括号或箭头明确它们之间的包含关系，同时，结合具体图形实例进行对比讲解，让学生直观感受它们的联系与区别，帮助学生建立系统的知识框架。​ 2.采用表格对比法，将正方形与矩形、菱形的性质在边、角、对角线方面进行罗列对比，突出正方形性质的综合性。通过典型例题和变式练习，让学生在运用中强化记忆，引导学生分析题目条件，明确需要调用的性质，如涉及对角线计算时，提醒学生同时考虑 “相等”“垂直平分” 等特性，逐步提升学生灵活运用性质解决问题的能力。​ 3.在探究正方形性质前，先引导学生回顾矩形和菱形的探究过程（观察→猜想→验证→归纳），明确研究图形性质的一般思路。然后，提供正方形实物或图形，让学生模仿之前的方法自主探究，教师在旁适时提示，帮助学生完成知识迁移，逐步培养自主探究能力。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：正方形的性质及推论的证明，正方形性质的综合应用。 1.复习回顾 提问：平行四边形的定义和性质是什么？​ 提问：矩形和菱形分别是怎样定义的？它们有哪些特殊性质？​ 引导学生用表格形式对比平行四边形、矩形、菱形的定义和性质。 （设计意图：通过复习已学知识，唤醒学生对平行四边形、矩形、菱形的记忆，为学习正方形的定义和性质做好铺垫，让学生在已有知识基础上自然过渡到新知识的学习，体现知识的连贯性和系统性。） （教学建议：在学生回答问题时，对于表述不完整或不准确的地方，教师要及时纠正和补充。表格可以提前准备好框架，让学生填写关键内容，提高复习效率。同时，可适当追问，如 “矩形和菱形的性质与平行四边形相比，特殊在哪里？” 加深学生对特殊平行四边形的理解。） 2.情景引入 问题1：观察下面的物体，你有什么发现？ 上面这些物品都是正方形的。正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 问题2：图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 追问：正方形是如何定义的呢？结合我们刚复习的平行四边形、矩形、菱形，大家觉得正方形和它们有什么联系与区别呢？引导学生观察讨论，引出本节课主题 —— 正方形的性质与判定（第 1 课时）。 （设计意图：从生活实际出发，让学生感受到数学与生活的密切联系，激发学生的学习兴趣。通过提问引发学生思考，促使学生主动将正方形与已学图形建立联系，为探究正方形的定义和性质奠定思维基础。） （教学建议：展示的图片要清晰、典型，能让学生一眼认出是正方形。在学生讨论时，教师要巡视指导，鼓励学生大胆发言，对于有价值的想法要给予肯定，对于偏离主题的讨论要及时引导回归。） 探究点1　正方形的定义 【问题1】 矩形如何变化成为正方形? 学生交流讨论后回答. 讨论结果：让矩形的一组邻边相等. 【问题2】 菱形如何变化成为正方形？学生交流讨论后回答. 讨论结果：让菱形的一个角是直角. 归纳总结： 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形. （设计意图：通过问题驱动学生思考，让学生在小组讨论中自主探究，经历从已知到未知的推理过程，从而深刻理解正方形定义的由来，培养学生的逻辑思维能力和合作探究精神。） （教学建议：在学生讨论过程中，教师要巡视各小组，对讨论有困难的小组给予适当提示，如 “可以从边和角的特点来考虑”。在总结定义时，要逐字逐句进行解释，强调 “平行四边形”“一组邻边相等”“一个角是直角” 这三个要素缺一不可。） 练一练 1.已知四边形 ABCD 是平行四边形，若要使它成为正方形，则需要增加的条件是（ A ）​ A. AB=BC 且∠A=90°​ B. AB=CD 且∠A=90°​ C. AB∥CD 且 AB=BC​ D. AB∥CD 且∠A=90° 探究点2　矩形的性质 1.议一议 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 【结论】1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. （教师组织学生讨论，证明所得结论） 【证明】 性质1：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四条边相等,四个角都是直角. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠A＝90°, AB＝BC.（正方形的定义） 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 四边形ABCD是矩形,（矩形的定义） 四边形ABCD是菱形.(菱形的定义) ∴ ∠A＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝ 90°, AB＝ BC＝CD＝AD. 性质2：如图,四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 求证：AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD. 证明：∵ 正方形ABCD是矩形, ∴ AO＝BO＝CO＝DO. ∵ 正方形ABCD是菱形. ∴ AC⊥BD. 归纳总结： 正方形的性质定理： 定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 几何语言：∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D, AB=BC=CD=AD. 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 几何语言：∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD，AC=BD, OA=OB=OC=OD. 练一练 2.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　B　) A．AC⊥BD B．AD＝AO C．DO＝CO D．∠DAO＝∠BAC 2.想一想 正方形有几条对称轴？ 【探究1】（学生动手操作，教师引导） 准备一张正方形纸片，折一折,观察并思考： 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 【结论】正方形是轴对称图形，对称轴有4条. 归纳总结： 正方形的对称性： 正方形既是轴对称图形（4条对称轴），也是中心对称图形. 3.议一议 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流． 【结论】 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. （设计意图：帮助学生理清正方形与其他特殊平行四边形之间的关系，使学生对正方形的定义有更全面、深入的理解，构建清晰的知识体系。）​ （教学建议：图示可以采用集合图的形式，直观明了地展示各图形之间的包含关系。让学生看着图示再次复述它们之间的关系，以检验学生的理解程度。） 练一练 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　A ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 典例分析 例1：如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC延长线上一点,且CE＝CF，则BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. （教师引导，学生分析） 根据正方形的性质可得BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边＂证明△BCE和△DCF全等，得出BE＝DF.延长BE交DF于点M，进而求出∠CBE+∠F＝90°，从而证得BE⊥DF. 解：BE＝DF,且BE⊥DF.理由如下： ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ BC＝DC,∠BCE ＝90°.（正方形的四条边相等,四个角都是 直角） ∴ ∠DCF＝180°-∠BCE＝180°-90°＝90°. ∴ ∠BCE＝∠DCF. 又∵ CE＝CF, ∴ △BCE≌△DCF, ∴ BE＝DF. 延长BE交DF于点M（图略）, ∵ △BCE≌△DCF , ∴ ∠CBE ＝∠CDF. ∵ ∠DCF ＝90°, ∴ ∠CDF +∠F ＝90°. ∴ ∠CBE+∠F＝90°, ∴ ∠BMF＝90°. ∴ BE⊥DF. 【点评】此题考察了正方形的性质以及全等三角形的应用，难度不大，注意掌握辅助线的作法和等量代换思想的应用. 例2：如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形，求证：∠ EAD＝∠ EDA＝15° . （教师引导，学生分析） 根据等边三角形的性质可得BE＝CE＝BC,∠EBC＝∠ECB＝60°，根据正方形的性质可得AB＝BC＝CD,∠ABC＝∠DCB＝90°，进而求得∠ABE和∠DCE的度数，证得△ABE，△DCE是等腰三角形，从而可以求出∠BAE和∠CDE的度数，从而可证得∠ EAD＝∠ EDA＝15°. 解：∵ △BCE是等边三角形， ∴ BE＝CE＝BC,∠EBC＝∠ECB＝60°. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝BC＝CD,∠ABC＝∠DCB＝90°. ∴ AB＝BE＝CE＝CD,∠ABE＝∠DCE＝30°， ∴ △ABE，△DCE是等腰三角形. ∴ ∠BAE＝∠BEA＝∠CDE＝∠CED＝（180°-30°）＝75°， ∴ ∠EAD＝∠EDA＝90°-75°＝15°. 【点评】此题考查了正方形和等边三角形的性质，根据已知角的度数逐步推出，难度不大. （设计意图：典型例题能帮助学生巩固所学的正方形性质，学会运用性质解决实际问题，培养学生的综合运用能力和逻辑推理能力。） （教学建议：在讲解例题前，可让学生先尝试独立完成，然后教师再进行讲解。讲解时，要引导学生分析题目条件，明确需要运用的正方形性质同时，要规范解题步骤，培养学生严谨的解题习惯。） 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 3.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形． a．两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等； c.一组邻边相等；d.有一个角是直角． 顺次添加的条件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c. 则其中正确的是(　　) A．仅① B．①② C．①③ D．②③ 4.一个正方形的对角线长为2 cm，则它的面积是（　　） A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2 5.如图，在正方形ABCD中,∠ADB＝ °,∠DAC °, ∠BOC＝ °. 6.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠EBC的度数是 . 7.如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长. 8.如图，点E，F是正方形的对角线AC上的两点，AE＝CF＝1，EF＝2，求四边形BEDF的周长． 参考答案 1.B　2.D 3.C 4.A　5. 45　45　90　6.22.5° 7.解：∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ ∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵ EF⊥AC， ∴ ∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵ ∠ECF＝45°， ∴ △EFC是等腰直角三角形， ∴ EF＝FC. ∵ ∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴ △ABE≌△AFE， ∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝FE, ∴ FC＝BE. 在Rt△ABC中， 由勾股定理得 ∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm， ∴ BE＝( －1) cm. 8.解：如图，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， BD＝AC，OD＝OB＝OA＝OC. ∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. ∴四边形BEDF为平行四边形． 又∵BD⊥EF， ∴四边形BEDF为菱形． ∴DE＝DF＝BE＝BF. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.） （教学建议：在布置练习时，要根据学生的实际情况，选择难度适中的题目，让学生能够体验到成功的喜悦。） (设计意图：课堂小结能帮助学生梳理本节课的知识脉络，巩固所学内容，培养学生的归纳总结能力。同时，让学生反思自己在学习过程中的收获和不足，为后续学习做好准备。) (教学建议：小结时，可采用提问的方式引导学生回顾，如 “本节课我们学习了正方形的哪些知识？”“正方形与矩形、菱形有什么关系？” 等。也可让学生以小组为单位进行总结，然后选代表发言，培养学生的合作交流能力。) 1.必做题：习题1.7第1-3题。 2.探究性作业：习题1.7第4题。 1.3正方形的性质与判定第1课时 1. 正方形的定义 2. 正方形的性质：（1）对称性；（2）性质定理 3. 核心思想：特殊与一般、类比 4. 例题区：（学生板演区域） 本节课大部分学生达成了理解正方形定义、掌握其性质及发展相关核心素养的目标，但少数学生在图形关系理解和性质灵活运用上有欠缺；情景引入激发了兴趣但部分学生参与度低，性质探究符合认知规律却时间紧张，练习巩固能巩固知识但难度梯度不足；针对学生综合运用知识困难的反馈，今后需加强知识联系、增加分层练习、关注学困生并优化教学语言。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$