精品解析：山东省临沂市沂水县2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年山东省临沂市沂水县九年级（上）期末数学模拟试卷 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件 C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着襄阳明天一定下雨 D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在不透明的甲口袋中装有32个红球和8个黑球，在不透明的乙口袋中装有48个红球，20个黑球和32个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两口袋中的球，从口袋中分别任意摸出一个球，下列说法正确的是（ ） A. 从甲口袋中摸到黑球概率较大 B. 从乙口袋中摸到黑球的概率较大 C. 从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率相等 D. 无法比较从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率 4. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 方程有一根为0 B. 方程的两根互为相反数 C. 方程的两根互为相反数 D. 方程无实数根 6. 如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的面积之比为4∶9，则AO：OD的比值为（ ） A 2∶3 B. 2∶5 C. 4∶9 D. 4∶13 8. 如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，函数和的图象分别是和．设点P在上，轴交l1于点A，轴交于点B，则△PAB的面积为（　　） A. 1 B. 4 C. D. 12. 如图，是的切线，A、B为切点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数），函数的图象为曲线．若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则的坐标是______，的取值范围是________． 14. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为________米．（结果可带根号） 15. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为_____________． 16. 如图在中，，，将绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到，设交边于D，连结，若是等腰三角形，则旋转角α的度数为_____. 三．解答题（共7小题） 17. 用指定的方法解方程： (1) (因式分解法) (2) (公式法) 18. 如图，在矩形中，点E是线段上的一点，且，连接，设． （1）尺规作图：将线段绕点B逆时针旋转α得到线段，连接交于点H，连接； （2）试判断与的数量关系，并给予证明． 19. “五一”小长假期间，小明和小华都准备在玉溪市的玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）、磨盘山国家森林公园（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）这四个景点中任选一个去游玩，每个景点被选中的可能性相同． （1）求小明去通海秀山公园的概率； （2）用树状图或列表的方法求小明和小华都去玉溪汇龙生态园的概率． 20. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是AB边上的一个动点，连接CE，点F在边AB的延长线上，且BF＝BE，连接DF交CE于点G，连接BG． （1）当点E是AB的中点时，求CE的长； （2）在（1）的条件下，求BG的长； （3）当BG时，请直接写出线段AF的长． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F． （1）求∠EOD的度数； （2）若r＝2，求阴影部分的面积． 22. 如图，点是直线与反比例函数图象两个交点，轴，垂足为点已知，连接． 求反比例函数和直线的表达式： 和的面积分别为求． 23. 如图1，用长为篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为． （1）直接写出y与x满足的函数关系式及x的取值范围________________________； （2）求菜园面积S最大值； （3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年山东省临沂市沂水县九年级（上）期末数学模拟试卷 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件 C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着襄阳明天一定下雨 D. 若两组数据平均数相同，则方差小的更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可． 【详解】A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意； B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意； C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意； D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质等内容，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及方差越小，数据越稳定． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据公式法求顶点坐标，直接代入公式求出即可． 【详解】解：∵a=，b=0，c=0， ∴；． ∴顶点坐标是：（0，0）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点坐标公式是解题关键． 3. 在不透明的甲口袋中装有32个红球和8个黑球，在不透明的乙口袋中装有48个红球，20个黑球和32个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两口袋中的球，从口袋中分别任意摸出一个球，下列说法正确的是（ ） A. 从甲口袋中摸到黑球的概率较大 B. 从乙口袋中摸到黑球的概率较大 C. 从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率相等 D. 无法比较从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式求出甲、乙两口袋中摸到黑球的概率即可得到答案． 详解】解：甲口袋中装有32个红球和8个黑球， 球的总个数为：个； 黑球的个数为：8个， 乙口袋中装有48个红球，20个黑球和32个白球， 球的总个数为：个， 黑球的个数为：20个， 从甲口袋摸到黑球的概率； 从乙口袋摸到黑球的概率 从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率相等， 故选：C． 4. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴，选项A正确，符合题意； 选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴选项C、D均错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 5. 下列说法不正确是（ ） A. 方程有一根为0 B. 方程的两根互为相反数 C. 方程的两根互为相反数 D. 方程无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．根据解一元二次方程求出根的取值，分别判断即可． 【详解】解：A、方程有一根为0，所以A选项的说法正确，不符合题意； B、方程的两根为，互为相反数，所以B选项的说法正确，不符合题意； C、方程的两根为，所以C选项的说法不正确，符合题意． D、，方程无实数根，所以D选项的说法正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 7. 如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的面积之比为4∶9，则AO：OD的比值为（ ） A. 2∶3 B. 2∶5 C. 4∶9 D. 4∶13 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：与位似，与的面积之比为， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似三角形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 8. 如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解． 【详解】如图，连接, ， 边长为的正方形内接于，即， ，，为的直径，， ，分别与相切于点和点， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的图形及性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据待定系数法进行求解即可． 【详解】解：设出抛物线方程， 由图象可知该图象经过点， 故， ， 故， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转：根据旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵点在轴， ∴绕原点O顺时针旋转后，落在轴的正半轴上，对应点的坐标为， 故选：B． 11. 如图，函数和的图象分别是和．设点P在上，轴交l1于点A，轴交于点B，则△PAB的面积为（　　） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点的横坐标为，用含有的代数式表示、，再利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】如图，延长、分别交轴，轴于点、，连接、， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为，点的纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上，点的纵坐标为， 点的横坐标为， 即， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点的横坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征用含有的代数式表示出、是解决问题的关键． 12. 如图，是的切线，A、B为切点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是的切线,可得,根据等边对等角可得，从而可得． 【详解】解：是的切线, ， , 故选：A 【点睛】本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是由是的切线,可得． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数），函数的图象为曲线．若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则的坐标是______，的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别求出函数过点时的值，可得结果． 【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴， ∴当函数过点时，， 当函数过点时，， ∴若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，的取值范围是：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是本题解题关键． 14. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为________米．（结果可带根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线解析式为， 把和代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 把代入得：， 则水面的宽度是米． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 15. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、，由，可知是直径且值为，可知，根据勾股定理逆定理可判断出是等腰直角三角形，求出，可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示：连接、、， ∵， ∴是直径， ∴， 根据网格图形可知： ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴所对的圆心角是90°， ∴的长为以为直径的圆周长的， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确的作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键． 16. 如图在中，，，将绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到，设交边于D，连结，若是等腰三角形，则旋转角α的度数为_____. 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分三种情况讨论求解. 【详解】∵绕C点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得， ③时，， 解得， 综上所述，旋转角α度数为或. 故答案为：或. 【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键. 三．解答题（共7小题） 17. 用指定的方法解方程： (1) (因式分解法) (2) (公式法) 【答案】（1）y＝2或y＝1；（2）x＝． 【解析】 【分析】（1）将y﹣3看做整体，利用因式分解法求解可得； （2）先整理一般式，再利用公式法求解可得． 【详解】解：（1）∵(y﹣3)2+3(y﹣3)+2＝0， ∴(y﹣3+1)(y﹣3+2)＝0， 即(y﹣2)(y﹣1)＝0， 则y﹣2＝0或y﹣1＝0， 解得：y＝2或y＝1； （2）方程整理为一般式得x2﹣3x﹣8＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣8， ∴△＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣8)＝41＞0， 则x＝． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，点E是线段上的一点，且，连接，设． （1）尺规作图：将线段绕点B逆时针旋转α得到线段，连接交于点H，连接； （2）试判断与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据作图过程即可解决问题； （2）根据旋转的性质得到，求得，根据平行的性质得到，过点作的垂线，求得，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：， 证明：过点作的垂线，如图， 将线段BA绕点B逆时针旋转α得到线段， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 又∵， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题是旋转综合题，考查了尺规作图，旋转的性质，矩形的性质，角平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19. “五一”小长假期间，小明和小华都准备在玉溪市的玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）、磨盘山国家森林公园（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）这四个景点中任选一个去游玩，每个景点被选中的可能性相同． （1）求小明去通海秀山公园的概率； （2）用树状图或列表的方法求小明和小华都去玉溪汇龙生态园的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率： （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）画出树状图，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小明去通海秀山公园的概率为：； 【小问2详解】 画出树状图如图： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小华都去玉溪汇龙生态园的情况只有1种， ∴． 20. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是AB边上的一个动点，连接CE，点F在边AB的延长线上，且BF＝BE，连接DF交CE于点G，连接BG． （1）当点E是AB的中点时，求CE的长； （2）在（1）的条件下，求BG的长； （3）当BG时，请直接写出线段AF的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长， （2）证明，结合（1）的结论，求得,进而勾股定理即可求得的长； （3）延长交于点，连接，连接，可得是等边三角形，由可得，列出比例式，进而可得，勾股定理求得，结合已知条件，求得，代入数值即可求得，根据即可求得 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是菱形，AB＝2，∠ABC＝60°， ∴,是等边三角形， ， ∵是AB的中点 ∴， 在中， （2）四边形是菱形 在与中， 在中， （3）如图，延长交于点，连接，连接， 四边形是菱形 ，， 是等边三角形 是等边三角形 中， 中， BG 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F． （1）求∠EOD的度数； （2）若r＝2，求阴影部分的面积． 【答案】（1）150° （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据，根据四边形内角和即可求解．求得； （2）根据阴影部分面积等于，即可求解． 【小问1详解】 解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F． ∴， ∠B＝60°， ， 【小问2详解】 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 的半径为r＝2，则， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分面积等于 ． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，四边形内角和定理，求扇形面积，解直角三角形，掌握切线长定理是解题的关键． 22. 如图，点是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点已知，连接． 求反比例函数和直线的表达式： 和的面积分别为求． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，直线AB为；（2） 【解析】 【分析】（1）先将点A（，4）代入反比例函数解析式中求出n值，进而得到点B的坐标，已知点A、点B坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式； （2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S1，S2的值，即可求出． 【详解】解：由点在反比例函数图象上， 反比例函数的解析式为 将点代入得 设直线的表达式为 解得 直线的表达式为； 由点坐标得点到的距离为 设与轴的交点为可得如图： 由点知点到的距离分别为，3 . 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，属于中考常考题型． 23. 如图1，用长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为． （1）直接写出y与x满足的函数关系式及x的取值范围________________________； （2）求菜园面积S的最大值； （3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为___________． 【答案】（1）（）；（2）448；（3） 【解析】 【分析】(1)利用两个宽一个长用篱笆60m，则2x+y=60，在求出y，利用墙长限制y即，则解不等式即可 (2) 先求出菜地配方得y,抛物线开口向下，求出抛物线对称轴，由x受限制，x=16时面积最大 (3)菜地的长与宽用的式子表示，求出菜地的面积S= 抛物线开口向下，种菜部分的面积随x的增大而减小，由，让抛物线对称轴在16的左边即可 【详解】解：（1） 由， ， ； 答案为：（） ． （2）， ， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，S随x增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为448； （3）菜地的宽，菜地的长为， 菜地面积S=， ，抛物线开口向下， 种菜部分的面积随x的增大而减小，由， 为此抛物线的对称轴x=， ∴， ∴， ∴． 答案为：． 【点睛】本题考查一次函数解析式与二次函数的应用问题，掌握一次函数解析式求法及二次函数的性质，会用二次函数解几何图形问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$