精品解析：2024年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学中考模拟数学试题

湖南师大附中博才实验中学2024年中考练习卷·数学 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是． 故选：D． 2. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可； 本题考查的是中心对称图形概念，正确掌握相关定义是解题关键； 【详解】A．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140 967万人，比上年末减少208万人．140 967用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此求解即可． 【详解】解：140 967=1.40967×105， 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式、开平方、单项式的乘法和减法，熟练掌握相关运算的运算法则，并能准确运用其求解是解题的关键． 运用完全平方公式、开平方、单项式的乘法和减法进行计算，即可得出结论． 【详解】、，故此选项计算正确，符合题意． 、，故此选项计算错误，不符合题意． 、，故此选项计算错误，不符合题意． 、，故此选项计算错误，不符合题意． 故选：． 5. 如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解； 【详解】， , 又 故选择：C 【点睛】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质得到 是解题的关键． 6. 某气象局预报称：“明天本市的降水概率为70%”.这句话指的是（ ） A. 明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 B. 明天本市70%的地方下雨，30%的地方不下雨 C. 明天本市一定下雨 D. 明天本市下雨的可能性是70% 【答案】D 【解析】 【分析】降水概率是指降水这件事的可能性，根据概率的意义作答即可． 【详解】明天本市的降水概率为70%，这句话指的是明天本市下雨的可能性是70%． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生的可能性大小． 7. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴（米）， 故选：A． 8. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一． 如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形． 如果桥顶到水面的距离 米， 桥拱的半径米， 此时水面的宽（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，连接，根据垂径定理可知，在中，利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解． 【详解】解：连接，如图所示． ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等． 【详解】解：由作图可知，， ，， 故． 故选：A． 10. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ） A. 体内血乳酸浓度和时间是变量 B. 当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过 C. 采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳 D. 运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可求解，理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 、体内血乳酸浓度和时间均是变量，该说法正确，故选项不合题意； 、当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过，该说法正确，故选项不合题意； 、采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳，原说法错误，故选项符合题意； 、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，该说法正确，故选项不合题意； 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 12. 函数 的自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件即分母不为0，据此列式作答，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 13. 如图，直线和直线相交于，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据函数图像比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，观察函数图像得到在点的左边，直线都在直线的上方，据此求解． 【详解】解：∵直线和直线相交于， ∴观察图像可知：关于的不等式的解集为． 故答案为：． 14. 已知扇形的半径为，扇形的圆心角是，则该扇形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】∵扇形的圆心角为120°，其半径为3， ∴S扇形==3π． 故答案为3π． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 15. 如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设正六边形的中心是O，其一边是，连接、、、，交于M，根据 ，，推出和 都是等边三角形，推出四边形是菱形，得到， ，根据，得到，即可得出结论． 【详解】设正六边形的中心是O，其一边是，连接、、、，交于M，如图所示： ∵，， ∴ 是等边三角形， ∴； 同理，， 是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ， ∵ ，， ∴， ∴， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形，正三角形，菱形．添加辅助线，熟练掌握正六边形性质，正三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正弦定义，等腰三角形性质，是解此题的关键． 16. 如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______． 【答案】丙，丁，甲，乙 【解析】 【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可． 【详解】解：丙先选择：1，2，3，4． 丁选：5，7，9，11，13． 甲选：6，8． 乙选：10，12，14． ∴顺序为丙，丁，甲，乙． （答案不唯一） 【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、零指数幂，负整数指数幂运算法则是解题关键． 分别根据二次根式的性质化简、零指数幂，负整数指数幂运算法则以及特殊角三角函数值代入进行运算求值即可． 【详解】 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，主要是需要熟练应用平方差公式和完全平方公式，关键在于对整式形式的正确判断，并且运用公式化简整理之后代数求值． 【详解】解：， ， ， ． 当时， 原式， ， ． 19. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角 的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为 （2）检查点和之间的距离为 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可； （2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【小问1详解】 解：如图，根据题意得，，， ， ． 在中，， ． 答：行进路线和所在直线的夹角为． 【小问2详解】 过点A作，垂足为． ， ， ． , 在中， ， ． , 在 中，， ， ． 答：检查点和之间的距离为． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 20. “让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，共同创造人类更加美好的未来！”11月8日上午，国家主席习近平向2023年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，为携手推动构建网络空间命运共同体提供了重要指引。与会人士纷纷表示，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈向新阶段进一步指明了方向。为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，某高校计划在图书馆引进计算网络书籍，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（．网络安全，．计算软件计算，、计算数学，．通信技术）数据后，绘制出两幅不完整的统计图． （1）本次抽样调查的样本容量是_____； （2）请补全条形统计图； （3）求出扇形统计图中类型所对应的扇形的圆心角的度数； （4）请你估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型的学生人数． 【答案】（1） （2） 类型的人数为（人）， 类型的人数为（人）， 补全统计图如下： （3） （4） 人． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，还考查了样本估计总体等知识，读懂题意，正确计算是解题的关键． （1）用类型A的人数除以对应的百分比即可得到答案； （2）求出D类型和C类型的人数，再补全统计图即可； （3）利用周角的度数乘以D类型的百分比即可得到答案； （4）用总人数乘以样本中类型的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人） ∴本次抽样调查的样本容量是， 故答案为： 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ， ∴扇形统计图中类型所对应的扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 （人） ∴估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型的学生人数为 人． 21. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得 ，连． （1）求证： （2）若，求 的度数． 【答案】（1） 证明： 为中点， ， 在和 中， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ． 22. 加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过 元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】（1）甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是 元/个、 元/个 （2）最少需要购买甲种分类垃圾桶个 【解析】 【分析】（1）设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个，根据“用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列出分式方程，求解即可； （2）设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，根据“用不超过 元的资金”列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个， 由题意可知：， 解得， 经检验是所列方程的根且符合题意 （元/个） 答：甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是 元/个、 元/个； 【小问2详解】 解：设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个， 由题意可知：， 解得， 答：最少需要购买甲种分类垃圾桶个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 23. 如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC. (1)求证：AB＝BC； (2)若AB＝2，AC＝2，求▱ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA， ∵∠BAC=∠DAC， ∴∠BAC=∠BCA， ∴AB=BC； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC；（2）连接BD交AC于O，易证四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD=BD，根据勾股定理求出OB的长，即可得BD的长，利用▱ABCD的面积=AC•BD，即可求得答案． 【详解】解：（1）略 （2）解：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD=BD， ∴ ∴BD=2OB=2， ∴▱ABCD的面积=AC•BD=×2×2=2． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；菱形面积的计算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 24. 若定义纵坐标与横坐标平方的差为常数的点为“晨点” （1）当这个常数为时，下列函数存在“晨点”的请划“”，不存在的请划“”． ①（ ） ②（ ） ③（ ） （2）若二次函数有且只有一个“晨点”，且点关于该二次函数的“晨点”的对称点恰好也是“晨点”（与二次函数的“晨点”的常数相等），求这个二次函数的解析式； （3）已知，，其中，“晨点”在轴上，直线和直线上的另一个“晨点”分别为，，若四边形能组成平行四边形，且有四边形面积不超过，则四边形周长是否存在最大值，如果存在，请求出最大值，如果不存在请说明理由． 【答案】（1）；； （2） （3）四边形的周长最大值为8 【解析】 【分析】（）根据定义列式：，逐一代入判断，即可求解； （2）设二次函数存在常数为的“晨点”，则，根据二次函数有且只有一个“晨点”，得到方程只有一个实根，利用判别式可知，则该二次函数的“晨点”坐标为，设点关于该二次函数的“晨点”的对称点坐标为，根据中点公式得到，根据也是常数为的“晨点”，得到，将代入，即可求解； （3）设，由是“晨点”，得到常数为：，代入法求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，设，，结合直线和直线上的另一个“晨点”分别为，，得到：，，进而得到，，代入得，，由四边形能组成平行四边形，根据中点公式得到，解得：，，得到：，，，，是矩形，得到，，由，解得：，代入，即可求解， 【小问1详解】 解：①，即：， ∵， ∴无实根， ∴不存在常数为1的“晨点”， ②，即：， 当时，函数随的增大而减小，随的增大而增大，两个函数必然存在交点， ∴存在常数为1的“晨点”， ③，即：， ∵， ∴无实根， ∴不存在常数为1的“晨点”， 故答案为：；；， 【小问2详解】 解：设二次函数存在常数为的“晨点”，则，即：， ∵二次函数有且只有一个“晨点”， ∴方程只有一个实根， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 在中，当时，， ∴该二次函数的“晨点”坐标为， 设点关于该二次函数的“晨点”的对称点的坐标为， 则：，即：， ∵也是常数为的“晨点”， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：， 【小问3详解】 解：设， ∵是“晨点”， ∴常数为：， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线和直线上的另一个“晨点”分别为，， ∴设，，则：，， 整理得：，， ∵，， ∴，， ∴，， 当四边形能组成平行四边形时，，整理得：， ∵， ∴，且， ∴，， 则：，，，， ∴是矩形， ∴，， ∴，解得：， ∴边形的周长， ∴四边形的周长最大值为8． 25. 如图，内接于，、分别是的边、上的高，的弦经过点、，连接、、、，已知 与 互补． （1）求证：； （2）求证： ； （3）①记、四边形的面积依次为、，若满足，试判断四边形的形状，并说明理由， ②当的面积为时，其中，试用含的式子表示． 【答案】（1） 证明：与 互补， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，，如图1所示： 与 互补， 点、、、在同一个圆上， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即是等腰三角形， ； （3）①四边形是矩形， 理由如下： 过点作，如图所示： 由可得，则， 由（1）知，， ， ，则，即， ， 由（2）知， ， ， ， ， ， 由得到，， ， 由得到， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 是矩形； ② 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，进而得出； （2）连接，，可推出，，从而得出，进而得出，从而，从而得出 ； （3）①可推出，，，，进而推出，从而，从而得出四边形是平行四边形，进一步得出结果； ②作于，由勾股定理得出，结合得出，从而，根据相似三角形的判定与性质得到代值可得出，进而得出，进而得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②作于，如图2所示： ， ， ， 的面积为， ， ， ， ， ， ，， ，即，则， ， ，则， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆综合，涉及相似三角形的判定和性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识，解决问题的关键灵活地运用有关几何知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中博才实验中学2024年中考练习卷·数学 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 3. 2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140 967万人，比上年末减少208万人．140 967用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则 （ ） A. B. C. D. 6. 某气象局预报称：“明天本市的降水概率为70%”.这句话指的是（ ） A. 明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 B. 明天本市70%的地方下雨，30%的地方不下雨 C. 明天本市一定下雨 D. 明天本市下雨的可能性是70% 7. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一． 如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形． 如果桥顶到水面的距离 米， 桥拱的半径米， 此时水面的宽（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　） A. B. C. D. 10. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ） A. 体内血乳酸浓度和时间是变量 B. 当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过 C. 采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳 D. 运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 12. 函数 的自变量的取值范围是________． 13. 如图，直线和直线相交于，则关于的不等式的解集为______． 14. 已知扇形的半径为，扇形的圆心角是，则该扇形面积为________． 15. 如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为_______． 16. 如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角 的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 20. “让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，共同创造人类更加美好的未来！”11月8日上午，国家主席习近平向2023年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，为携手推动构建网络空间命运共同体提供了重要指引。与会人士纷纷表示，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈向新阶段进一步指明了方向。为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，某高校计划在图书馆引进计算网络书籍，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（．网络安全，．计算软件计算，、计算数学，．通信技术）数据后，绘制出两幅不完整的统计图． （1）本次抽样调查的样本容量是_____； （2）请补全条形统计图； （3）求出扇形统计图中类型所对应的扇形的圆心角的度数； （4）请你估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型的学生人数． 21. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得 ，连． （1）求证： （2）若，求 的度数． 22. 加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过 元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 23. 如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC. (1)求证：AB＝BC； (2)若AB＝2，AC＝2，求▱ABCD的面积． 24. 若定义纵坐标与横坐标平方的差为常数的点为“晨点” （1）当这个常数为时，下列函数存在“晨点”的请划“”，不存在的请划“”． ①（ ） ②（ ） ③（ ） （2）若二次函数有且只有一个“晨点”，且点关于该二次函数的“晨点”的对称点恰好也是“晨点”（与二次函数的“晨点”的常数相等），求这个二次函数的解析式； （3）已知，，其中，“晨点”在轴上，直线和直线上的另一个“晨点”分别为，，若四边形能组成平行四边形，且有四边形面积不超过，则四边形周长是否存在最大值，如果存在，请求出最大值，如果不存在请说明理由． 25. 如图，内接于，、分别是的边、上的高，的弦经过点、，连接、、、，已知 与 互补． （1）求证：； （2）求证： ； （3）①记、四边形的面积依次为、，若满足，试判断四边形的形状，并说明理由， ②当的面积为时，其中，试用含的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $