第一单元圆·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月20日 目 录 【课内精选一】对称轴与轴对称图形 3 【课内精选二】等长转化问题 4 【课内精选三】等积转化问题 4 【课内精选四】半圆的面积 5 【课内精选五】拼接法求阴影部分的面积 6 【奥数拓展一】圆与图案设计 8 【奥数拓展二】半径直径与周长的关系 9 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长其一 10 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长其二 11 【奥数拓展五】含圆的组合图形周长其三 12 【奥数拓展六】圆周滚动问题其一 13 【奥数拓展七】圆周滚动问题其二 14 【奥数拓展八】割补法求阴影部分的面积 16 【奥数拓展九】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理） 17 【奥数拓展十】整体法求阴影部分面积 18 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】对称轴与轴对称图形。 在我们学过的平面图形中，哪些是轴对称图形?分别有几条对称轴? 解析： 长方形：两条对称轴； 正方形：四条对称轴； 等腰三角形：一条对称轴； 等边三角形：三条对称轴； 等腰梯形：一条对称轴； 圆：无数条对称轴 同学们可以在纸上画出上面几个图形的对称轴。 【专项训练】 1.平行四边形一定是轴对称图形吗?它什么时候可以成为轴对称图形呢? 2.画出下面图形的对称轴。 3.画出下面不规则五角星的对称轴。 【课内精选二】等长转化问题。 用一根铁丝可以围成一个长21.4厘米、宽10厘米的长方形(接头处不计)，如果将这根铁丝改围成一个圆形，这个圆形的半径是多少? 【专项训练】 1.用一根绳子可以围成一个长10米、宽5.7米的长方形(接头处不计)，如果将这根绳子改围成一个圆形，这个圆形的直径是多少米? 2.晨晨用一根线围成一个长方形，长与宽的和是18.84厘米，如果将这根线改围成一个圆形，这个圆形的半径是多少? 3.王大爷用一批篱笆可以围成一个直径是10米的羊圈，现在他想把篱笆改围成一个面积最大的长方形(含正方形)羊圈，新羊圈的边有多长? 【课内精选三】等积转化问题。 如图，圆的周长是24厘米，圆的面积等于长方形的面积，求图中阴影部分的周长是多少厘米? 【专项训练】 1.图中圆的面积等于长方形的面积，圆的周长是30厘米，求图中阴影部分的周长是多少厘米? 2.圆的面积计算公式是通过把圆转化成长方形推导出来的，如图所示，把一个圆转化成长方形后，长方形的周长比圆的周长多8厘米，长方形的周长是多少厘米? 3.铭铭把一张圆形纸片平均分成若干等份，然后拼成一个近似的长方形，已知这个长方形的周长是41.4厘米，求圆形纸片的半径。 【课内精选四】半圆的面积。 有一个半圆形的零件如图所示，周长是25.7厘米，求这个半圆形零件的面积。 【专项训练】 1.一个半圆形的周长是51.4厘米，求这个半圆形的面积。 2.一个半圆的半径是7厘米，求它的周长和面积。 3.如图所示，这个圆的周长是17.85厘米，求它的面积。 【课内精选五】拼接法求阴影部分的面积。 图中的3个圆完全一样，面积都是150平方厘米，求阴影部分的面积。 【专项训练】 1.图中的3个圆完全一样，面积都是85平方厘米，求阴影部分的面积。 2.图中每个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。 3.图中每个圆的半径都是6厘米，求阴影部分的面积。 【奥数拓展一】圆与图案设计。 给你两个完全相同的圆，设计一个只有两条对称轴的图形。 【专项训练】 1.请你利用一个圆和一个正方形，设计一个有四条对称轴的图形。 2.画两个圆，使组成的图形有无数条对称轴。 3.如图所示，4×4的方格中至少要再将几个白正方形格涂黑，才能使得着色的图 形为轴对称图形.请在图中画出涂黑的方格。 【奥数拓展二】半径直径与周长的关系。 如图所示，在1个大圆内有3个小圆，其直径之和等于大圆的直径，请问：大圆周长与这3个小圆周长之和，哪个长，为什么? 【专项训练】 1.如图所示，从A点到C点，沿着大圆周走近还是沿着小、中圆周走近? 2.两只蚂蚁比赛，一只跑内圈2个半圆，另一只跑外圈一个半圆，如图所示，如果它们的速度相同，谁会赢?为什么? 3.已知线段AB长30厘米，如图所示，求图中所有圆的周长和。 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长其一。 图1是一个零件的横截面，求这个横截面的周长(单位：厘米)。 【专项训练】 1.求下面这个图形的周长(单位：厘米)。 2.如右图，求图形的周长(单位：厘米)。 3.如图所示，这是一个大型的花坛，大圆的半径是7米，请你算出涂色部分的周长。 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长其二。 把3根底面直径为6厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆一圈至少要用多长的铁丝(接头处长8厘米)? 【专项训练】 1.把3根底面半径为4厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆两圈至少要用多长的铁丝(接头处不计)? 2.图中两个完全相同的圆紧靠在一起，半径都是2.5厘米.求阴影部分的周长。 3.有4段同样的圆木，横截面圆的半径是10厘米，用绳子将它们捆起来(如图所示)，只需要捆1圈，打结处需要15厘米的绳子，那么，共需要多少厘米长的绳子? 【奥数拓展五】含圆的组合图形周长其三。 求右图阴影部分的周长(单位：厘米)。 【专项训练】 1.图中的两个圆完全一样，半径为20厘米，求这个组合图形的周长。 2.图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C，AE=4米，点B是 AE的中点，那么阴影部分的周长是多少米?(π取3) 3.一个正方形、一个半圆、两个扇形拼成了如图的图形，如果正方形的边长是100厘米，那么这个图形的周长是多少厘米?(π取3.14) 【奥数拓展六】圆周滚动问题其一。 如图所示，A圆的半径为3厘米，B圆的半径为4厘米，如 果A圆不动，B圆沿A圆的圆周滚动，当B圆滚到原处时，B 圆自身滚动了多少圈? 【专项训练】 1.有A、B两个圆，A圆的半径为2厘米，B圆的半径为5厘米，如果A圆不动，B圆沿A圆的圆周滚动，当B圆滚到原处时，B圆自身滚动了多少圈? 2.有甲、乙两个圆，甲圆的半径为a厘米，乙圆的半径为b厘米，如果甲圆不动，乙圆沿甲圆滚动到原处，乙圆自身转动的圈数是多少? 3.正方形ABCD的边长正好等于1元硬币的周长，正方形不动，将硬币沿着正方形的边滚动(如图所示)，当硬币第一次回到原处，它自转了几圈?(提示：用一个硬币做一次滚动实验，注意从正方形的一边滚到了另一条边硬币自转了几圈) 【奥数拓展七】圆周滚动问题其二。 如图所示，一条直线上放着一个长方形，它长8厘米、宽6厘米，对角线恰好是 10厘米，让这个长方形每次顺时针旋转90°，连续旋转四次后A点到了E点的位置，求 A点走过的路程总长(圆周率取3)。 【专项训练】 1.等边三角形ABC的边长是9厘米，现在将三角形沿着一条直线翻滚10次(如图 所示)，求A点经过的路程长。 2.有一只狗被拴在一间小房子的墙角上(如图所示)，这间小房子的底面是一个边 长为6米的正方形，拴小狗的绳长20米，小狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针 跑，最多可跑多少米? 3.一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形 的周长是多少厘米(π取3.14)? 【奥数拓展八】割补法求阴影部分的面积。 如图1所示，正方形的边长为8厘米，A和B分别是两条边长的中点，求阴影部分的面积。 【专项训练】 1.学校的大标语上要画出如下图所示(图形阴影部分)的标点符号——逗号。已知 其中大圆半径为10厘米，则这个“逗号”的面积为多少平方厘米?(其中圆周率 取3.14) 2.求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 3.如图所示，这是一个扇形和半圆相交组成的图形，半圆的半径是5厘米，求阴影部分的面积。 【奥数拓展九】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理）。 有一块正方形的草地(如图所示),边长是4米，A、C两个顶点处各拴一只羊， 每只羊的羊绳长4米，那么，两只羊都能吃到草的区域面积是多少? 【专项训练】 1.图中阴影部分甲的面积比乙的面积多28平方厘米，AB长40厘米，CB垂直于 AB，求BC的长。 2.如图所示，求阴影部分甲比阴影部分乙的面积小多少平方厘米?(单位：厘米) 3.如图所示，边长为2厘米的正方形中有一个半圆和一个直角扇形，两个阴影部分的面积之差为多少平方厘米?(π取3.14) 【奥数拓展十】整体法求阴影部分面积。 右图中的阴影部分面积是25平方厘米，求圆环的面积。 【专项训练】 1.数学实践活动课上，小芳在一张圆形纸片内画了一个直角三角形，如图所示，如果直角三角形的面积是40平方厘米，那么圆形纸片的面积是多少平方厘米? 2.下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求环形的面积。 3.如图所示，涂阴影的三角形的面积是30平方厘米，圆的面积是多少平方厘米? 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 19 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8月 20 日 2 / 19 目 录 【课内精选一】对称轴与轴对称图形 .................................................................................... 3 【课内精选二】等长转化问题 ................................................................................................ 4 【课内精选三】等积转化问题 ................................................................................................ 4 【课内精选四】半圆的面积 .................................................................................................... 5 【课内精选五】拼接法求阴影部分的面积 ............................................................................ 6 【奥数拓展一】圆与图案设计 ................................................................................................ 8 【奥数拓展二】半径直径与周长的关系 ................................................................................ 9 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长其一 .......................................................................... 10 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长其二 .......................................................................... 11 【奥数拓展五】含圆的组合图形周长其三 .......................................................................... 12 【奥数拓展六】圆周滚动问题其一 ...................................................................................... 13 【奥数拓展七】圆周滚动问题其二 ...................................................................................... 14 【奥数拓展八】割补法求阴影部分的面积 .......................................................................... 16 【奥数拓展九】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理） ..................................................17 【奥数拓展十】整体法求阴影部分面积 .............................................................................. 18 3 / 19 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】对称轴与轴对称图形。 在我们学过的平面图形中，哪些是轴对称图形?分别有几条对称轴? 解析： 长方形：两条对称轴； 正方形：四条对称轴； 等腰三角形：一条对称轴； 等边三角形：三条对称轴； 等腰梯形：一条对称轴； 圆：无数条对称轴 同学们可以在纸上画出上面几个图形的对称轴。 【专项训练】 1.平行四边形一定是轴对称图形吗?它什么时候可以成为轴对称图形呢? 2.画出下面图形的对称轴。 3.画出下面不规则五角星的对称轴。 4 / 19 【课内精选二】等长转化问题。 用一根铁丝可以围成一个长 21.4厘米、宽 10厘米的长方形(接头处不计)，如果 将这根铁丝改围成一个圆形，这个圆形的半径是多少? 【专项训练】 1.用一根绳子可以围成一个长 10米、宽 5.7米的长方形(接头处不计)，如果将这 根绳子改围成一个圆形，这个圆形的直径是多少米? 2.晨晨用一根线围成一个长方形，长与宽的和是 18.84厘米，如果将这根线改围 成一个圆形，这个圆形的半径是多少? 3.王大爷用一批篱笆可以围成一个直径是 10米的羊圈，现在他想把篱笆改围成 一个面积最大的长方形(含正方形)羊圈，新羊圈的边有多长? 【课内精选三】等积转化问题。 如图，圆的周长是 24厘米，圆的面积等于长方形的面积，求图中阴影部分的周 长是多少厘米? 5 / 19 【专项训练】 1.图中圆的面积等于长方形的面积，圆的周长是 30厘米，求图中阴影部分的周 长是多少厘米? 2.圆的面积计算公式是通过把圆转化成长方形推导出来的，如图所示，把一个圆 转化成长方形后，长方形的周长比圆的周长多 8厘米，长方形的周长是多少厘米? 3.铭铭把一张圆形纸片平均分成若干等份，然后拼成一个近似的长方形，已知这 个长方形的周长是 41.4厘米，求圆形纸片的半径。 【课内精选四】半圆的面积。 有一个半圆形的零件如图所示，周长是 25.7厘米，求这个半圆形零件的面积。 6 / 19 【专项训练】 1.一个半圆形的周长是 51.4厘米，求这个半圆形的面积。 2.一个半圆的半径是 7厘米，求它的周长和面积。 3.如图所示，这个 4 1 圆的周长是 17.85厘米，求它的面积。 【课内精选五】拼接法求阴影部分的面积。 图中的 3个圆完全一样，面积都是 150平方厘米，求阴影部分的面积。 【专项训练】 1.图中的 3个圆完全一样，面积都是 85平方厘米，求阴影部分的面积。 7 / 19 2.图中每个圆的半径都是 5厘米，求阴影部分的面积。 3.图中每个圆的半径都是 6厘米，求阴影部分的面积。 8 / 19 【奥数拓展一】圆与图案设计。 给你两个完全相同的圆，设计一个只有两条对称轴的图形。 【专项训练】 1.请你利用一个圆和一个正方形，设计一个有四条对称轴的图形。 2.画两个圆，使组成的图形有无数条对称轴。 3.如图所示，4×4的方格中至少要再将几个白正方形格涂黑，才能使得着色的图 形为轴对称图形.请在图中画出涂黑的方格。 9 / 19 【奥数拓展二】半径直径与周长的关系。 如图所示，在 1个大圆内有 3个小圆，其直径之和等于大圆的直径，请问：大圆 周长与这 3个小圆周长之和，哪个长，为什么? 【专项训练】 1.如图所示，从 A点到 C点，沿着大圆周走近还是沿着小、中圆周走近? 2.两只蚂蚁比赛，一只跑内圈 2个半圆，另一只跑外圈一个半圆，如图所示，如 果它们的速度相同，谁会赢?为什么? 3.已知线段 AB长 30厘米，如图所示，求图中所有圆的周长和。 10 / 19 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长其一。 图 1是一个零件的横截面，求这个横截面的周长(单位：厘米)。 【专项训练】 1.求下面这个图形的周长(单位：厘米)。 2.如右图，求图形的周长(单位：厘米)。 11 / 19 3.如图所示，这是一个大型的花坛，大圆的半径是 7米，请你算出涂色部分的周 长。 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长其二。 把 3根底面直径为 6厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆一圈至少要用 多长的铁丝(接头处长 8厘米)? 【专项训练】 1.把 3根底面半径为 4厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆两圈至少要 用多长的铁丝(接头处不计)? 2.图中两个完全相同的圆紧靠在一起，半径都是 2.5厘米.求阴影部分的周长。 12 / 19 3.有 4段同样的圆木，横截面圆的半径是 10厘米，用绳子将它们捆起来(如图所 示)，只需要捆 1圈，打结处需要 15厘米的绳子，那么，共需要多少厘米长的绳 子? 【奥数拓展五】含圆的组合图形周长其三。 求右图阴影部分的周长(单位：厘米)。 【专项训练】 1.图中的两个圆完全一样，半径为 20厘米，求这个组合图形的周长。 13 / 19 2.图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点 A和点 C，AE=4米，点 B是 AE的中点，那么阴影部分的周长是多少米?(π取 3) 3.一个正方形、一个半圆、两个扇形拼成了如图的图形，如果正方形的边长是 100 厘米，那么这个图形的周长是多少厘米?(π取 3.14) 【奥数拓展六】圆周滚动问题其一。 如图所示，A圆的半径为 3厘米，B圆的半径为 4厘米，如 果 A圆不动，B圆 沿 A圆的圆周滚动，当 B圆滚到原处时，B 圆自身滚动了多少圈? 14 / 19 【专项训练】 1.有 A、B两个圆，A圆的半径为 2厘米，B圆的半径为 5厘米，如果 A圆不动， B圆沿 A圆的圆周滚动，当 B圆滚到原处时，B圆自身滚动了多少圈? 2.有甲、乙两个圆，甲圆的半径为 a厘米，乙圆的半径为 b厘米，如果甲圆不动， 乙圆沿甲圆滚动到原处，乙圆自身转动的圈数是多少? 3.正方形 ABCD的边长正好等于 1元硬币的周长，正方形不动，将硬币沿着正方 形的边滚动(如图所示)，当硬币第一次回到原处，它自转了几圈?(提示：用一个 硬币做一次滚动实验，注意从正方形的一边滚到了另一条边硬币自转了几圈) 【奥数拓展七】圆周滚动问题其二。 如图所示，一条直线上放着一个长方形，它长 8厘米、宽 6厘米，对角线恰好是 10厘米，让这个长方形每次顺时针旋转 90°，连续旋转四次后 A 点到了 E 点的 位置，求 A点走过的路程总长(圆周率取 3)。 15 / 19 【专项训练】 1.等边三角形 ABC 的边长是 9厘米，现在将三角形沿着一条直线翻滚 10 次(如 图 所示)，求 A点经过的路程长。 2.有一只狗被拴在一间小房子的墙角上(如图所示)，这间小房子的底面是一个边 长为 6米的正方形，拴小狗的绳长 20米，小狗从 A点出发，将绳子拉紧顺时针 跑，最多可跑多少米? 3.一个边长为 100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形 的周长是多少厘米(π取 3.14)? 16 / 19 【奥数拓展八】割补法求阴影部分的面积。 如图 1 所示，正方形的边长为 8 厘米，A和 B分别是两条边长的中点，求阴影 部分的面积。 【专项训练】 1.学校的大标语上要画出如下图所示(图形阴影部分)的标点符号——逗号。已知 其中大圆半径为 10厘米，则这个“逗号”的面积为多少平方厘米?(其中圆周率 取 3.14) 2.求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 17 / 19 3.如图所示，这是一个扇形和半圆相交组成的图形，半圆的半径是 5厘米，求阴 影部分的面积。 【奥数拓展九】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理）。 有一块正方形的草地(如图所示),边长是 4米，A、C两个顶点处各拴一只羊， 每 只羊的羊绳长 4米，那么，两只羊都能吃到草的区域面积是多少? 【专项训练】 1.图中阴影部分甲的面积比乙的面积多 28平方厘米，AB长 40厘米，CB垂直于 AB，求 BC的长。 18 / 19 2.如图所示，求阴影部分甲比阴影部分乙的面积小多少平方厘米?(单位：厘米) 3.如图所示，边长为 2厘米的正方形中有一个半圆和一个直角扇形，两个阴影部 分的面积之差为多少平方厘米?(π取 3.14) 【奥数拓展十】整体法求阴影部分面积。 右图中的阴影部分面积是 25平方厘米，求圆环的面积。 19 / 19 【专项训练】 1.数学实践活动课上，小芳在一张圆形纸片内画了一个直角三角形，如图所示， 如果直角三角形的面积是 40平方厘米，那么圆形纸片的面积是多少平方厘米? 2.下图中阴影部分的面积是 40平方厘米，求环形的面积。 3.如图所示，涂阴影的三角形的面积是 30平方厘米，圆的面积是多少平方厘米? 1 / 23 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8月 20 日 2 / 23 目 录 【课内精选一】对称轴与轴对称图形 .................................................................................... 3 【课内精选二】等长转化问题 ................................................................................................ 4 【课内精选三】等积转化问题 ................................................................................................ 5 【课内精选四】半圆的面积 .................................................................................................... 6 【课内精选五】拼接法求阴影部分的面积 ............................................................................ 7 【奥数拓展一】圆与图案设计 ................................................................................................ 9 【奥数拓展二】半径直径与周长的关系 .............................................................................. 10 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长其一 .......................................................................... 11 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长其二 .......................................................................... 12 【奥数拓展五】含圆的组合图形周长其三 .......................................................................... 13 【奥数拓展六】圆周滚动问题其一 ...................................................................................... 15 【奥数拓展七】圆周滚动问题其二 ...................................................................................... 16 【奥数拓展八】割补法求阴影部分的面积 .......................................................................... 18 【奥数拓展九】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理） ..................................................20 【奥数拓展十】整体法求阴影部分面积 .............................................................................. 21 3 / 23 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】对称轴与轴对称图形。 在我们学过的平面图形中，哪些是轴对称图形?分别有几条对称轴? 解析： 长方形：两条对称轴； 正方形：四条对称轴； 等腰三角形：一条对称轴； 等边三角形：三条对称轴； 等腰梯形：一条对称轴； 圆：无数条对称轴 同学们可以在纸上画出上面几个图形的对称轴。 【专项训练】 1.平行四边形一定是轴对称图形吗?它什么时候可以成为轴对称图形呢? 解析： 不一定，当此平行四边形为长方形、正方形或菱形时，是轴对称图形，否则不是 轴对称图形。 2.画出下面图形的对称轴。 解析： 3.画出下面不规则五角星的对称轴。 4 / 23 解析： 【课内精选二】等长转化问题。 用一根铁丝可以围成一个长 21.4厘米、宽 10厘米的长方形(接头处不计)，如果 将这根铁丝改围成一个圆形，这个圆形的半径是多少? 解析： (21.4+10)×2=62.8(厘米) 62.8÷3.14÷2=10(厘米) 答：这个圆形的半径是 10厘米。 【专项训练】 1.用一根绳子可以围成一个长 10米、宽 5.7米的长方形(接头处不计)，如果将这 根绳子改围成一个圆形，这个圆形的直径是多少米? 解析：(10+5.7)×2=31.4(米)，31.4÷3.14=10(米) 2.晨晨用一根线围成一个长方形，长与宽的和是 18.84厘米，如果将这根线改围 成一个圆形，这个圆形的半径是多少? 解析：18.84×2=37.68(厘米)，37.68÷3.14÷2=6(厘米) 3.王大爷用一批篱笆可以围成一个直径是 10米的羊圈，现在他想把篱笆改围成 一个面积最大的长方形(含正方形)羊圈，新羊圈的边有多长? 解析：10×3.14=31.4(米)，31.4÷4=7.85(米) 5 / 23 【课内精选三】等积转化问题。 如图，圆的周长是 24厘米，圆的面积等于长方形的面积，求图中阴影部分的周 长是多少厘米? 解析： 24+24× 4 1 =30(厘米) 答：图中阴影部分的周长是 30厘米。 【专项训练】 1.图中圆的面积等于长方形的面积，圆的周长是 30厘米，求图中阴影部分的周 长是多少厘米? 解析： 30+30÷4=37.5(厘米) 所以，阴影部分的周长是 37.5厘米。 2.圆的面积计算公式是通过把圆转化成长方形推导出来的，如图所示，把一个圆 转化成长方形后，长方形的周长比圆的周长多 8厘米，长方形的周长是多少厘米? 解析： 8+3.14×8=33.12(厘米) 6 / 23 所以，长方形的周长是 33.12厘米。 3.铭铭把一张圆形纸片平均分成若干等份，然后拼成一个近似的长方形，已知这 个长方形的周长是 41.4厘米，求圆形纸片的半径。 解析： 因为“长方形的周长=圆的周长十半径×2”，即长 方形的周长=半径×6.28+半径 ×2=8.28×半径，所以，半径=长方形的周长÷8.28,即 41.4÷8.28=5(厘米)。 【课内精选四】半圆的面积。 有一个半圆形的零件如图所示，周长是 25.7厘米，求这个半圆形零件的面积。 解析： 25.7÷5.14=5(厘米) 3.14×5²÷2=39.25(平方厘米) 答：这个半圆形零件的面积是 39.25平方厘米。 【专项训练】 1.一个半圆形的周长是 51.4厘米，求这个半圆形的面积。 解析： 51.4÷(π+2)=10(厘米) 3.14×10²÷2=157(平方厘米) 2.一个半圆的半径是 7厘米，求它的周长和面积。 解析： 7×(π+2)=35.98(厘米) 3.14×7²÷2=76.93(平方厘米) 3.如图所示，这个 4 1 圆的周长是 17.85厘米，求它的面积。 7 / 23 解析： 周长是 r+r+2r=3.57r,17.85÷3.57=5(厘米) 3.14×5²÷4=19.625(平方厘米) 所以，它的面积是 19.625平方厘米。 【课内精选五】拼接法求阴影部分的面积。 图中的 3个圆完全一样，面积都是 150平方厘米，求阴影部分的面积。 解析： 150÷2=75(平方厘米) 答：阴影部分的面积是 75平方厘米。 【专项训练】 1.图中的 3个圆完全一样，面积都是 85平方厘米，求阴影部分的面积。 解析： 85÷2=42.5(平方厘米) 2.图中每个圆的半径都是 5厘米，求阴影部分的面积。 8 / 23 解析： 3.14×5²=78.5(平方厘米) 3.图中每个圆的半径都是 6厘米，求阴影部分的面积。 解析： 五个阴影部分的角度和是(5-2)×180°=540° 3.14×6²× 360 540 =169.56(平方厘米) 9 / 23 【奥数拓展一】圆与图案设计。 给你两个完全相同的圆，设计一个只有两条对称轴的图形。 解析： 【专项训练】 1.请你利用一个圆和一个正方形，设计一个有四条对称轴的图形。 解析： 方法不唯一。 2.画两个圆，使组成的图形有无数条对称轴。 解析： 方法不唯一。 3.如图所示，4×4的方格中至少要再将几个白正方形格涂黑，才能使得着色的图 形为轴对称图形.请在图中画出涂黑的方格。 10 / 23 解析： 【奥数拓展二】半径直径与周长的关系。 如图所示，在 1个大圆内有 3个小圆，其直径之和等于大圆的直径，请问：大圆 周长与这 3个小圆周长之和，哪个长，为什么? 解析：大圆周长与所有小圆周长之和相等。 【专项训练】 1.如图所示，从 A点到 C点，沿着大圆周走近还是沿着小、中圆周走近? 解析：相等。 2.两只蚂蚁比赛，一只跑内圈 2个半圆，另一只跑外圈一个半圆，如图所示，如 果它们的速度相同，谁会赢?为什么? 11 / 23 解析：同时到达。 3.已知线段 AB长 30厘米，如图所示，求图中所有圆的周长和。 解析：3.14×30=94.2(厘米) 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长其一。 图 1是一个零件的横截面，求这个横截面的周长(单位：厘米)。 解析： 12×4+3.14×6×2=48+37.68=85.68(厘米) 答：这个零件横截面的周长是 85.68厘米。 【专项训练】 1.求下面这个图形的周长(单位：厘米)。 解析： 将原图形的周长看成一个长方形与两个圆形的周长之和。 (8+4)×2+3.14×3×2=24+18.84=42.84(厘米) 12 / 23 所以，图形的周长是 42.84厘米。 2.如右图，求图形的周长(单位：厘米)。 解析： 将图形看成是三个半径为 3厘米的圆与两个半径为 2厘米的圆的周长和 3.14×3×2×3+3.14×4×2=3.14×26=81.64(厘米) 所以，图形的周长是 81.64厘米。 3.如图所示，这是一个大型的花坛，大圆的半径是 7米，请你算出涂色部分的周 长。 解析： 涂色部分的周长实质就是四个小圆的周长和 7×π×4=28π=87.92(米) 所以，涂色部分的周长为 87.92米。 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长其二。 把 3根底面直径为 6厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆一圈至少要用 多长的铁丝(接头处长 8厘米)? 13 / 23 解析： 3.14×6+6×3+8=18.84+18+8=44.84(厘米) 答：捆一圈至少要用 44.84厘米长的铁丝。 【专项训练】 1.把 3根底面半径为 4厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆两圈至少要 用多长的铁丝(接头处不计)? 解析：4×2=8(厘米)，(3.14×8+8×3)×2=98.24(厘米) 2.图中两个完全相同的圆紧靠在一起，半径都是 2.5厘米.求阴影部分的周长。 解析：2.5×2×3.14+2.5×2×2=25.7(厘米) 3.有 4段同样的圆木，横截面圆的半径是 10厘米，用绳子将它们捆起来(如图所 示)，只需要捆 1圈，打结处需要 15厘米的绳子，那么，共需要多少厘米长的绳 子? 解析： 将绳子的长度看成 4条直径与一个圆的周长和，再加上打结处的长度 3.14×10×2+10×2×4+15=157.8(厘米) 【奥数拓展五】含圆的组合图形周长其三。 求右图阴影部分的周长(单位：厘米)。 14 / 23 解析： 2×3.14×6=37.68(厘米) 答：阴影部分的周长是 37.68厘米。 【专项训练】 1.图中的两个圆完全一样，半径为 20厘米，求这个组合图形的周长。 解析 2×3.14×20× 4 3 ×2=188.4(厘米) 2.图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点 A和点 C，AE=4米，点 B是 AE的中点，那么阴影部分的周长是多少米?(π取 3) 解析： 4+3×4×2÷4+3×2×2÷4=13(m) 15 / 23 3.一个正方形、一个半圆、两个扇形拼成了如图的图形，如果正方形的边长是 100 厘米，那么这个图形的周长是多少厘米?(π取 3.14) 解析： 100+100×2×3.14÷4+100×2×2×3.14÷4+100×3×3.14÷2 =100+157+314+471 =1042(厘米) 【奥数拓展六】圆周滚动问题其一。 如图所示，A圆的半径为 3厘米，B圆的半径为 4厘米，如 果 A圆不动，B圆 沿 A圆的圆周滚动，当 B圆滚到原处时，B 圆自身滚动了多少圈? 解析： （圈） ）（ 4 7 414.32 4314.32    【专项训练】 1.有 A、B两个圆，A圆的半径为 2厘米，B圆的半径为 5厘米，如果 A圆不动， B圆沿 A圆的圆周滚动，当 B圆滚到原处时，B圆自身滚动了多少圈? 解析： 5 7 514.32 5214.32    ）（ 2.有甲、乙两个圆，甲圆的半径为 a厘米，乙圆的半径为 b厘米，如果甲圆不动， 乙圆沿甲圆滚动到原处，乙圆自身转动的圈数是多少? 解析： 16 / 23 b ba b14.32 ba14.32     ）（ 3.正方形 ABCD的边长正好等于 1元硬币的周长，正方形不动，将硬币沿着正方 形的边滚动(如图所示)，当硬币第一次回到原处，它自转了几圈?(提示：用一个 硬币做一次滚动实验，注意从正方形的一边滚到了另一条边硬币自转了几圈) 解析： 5 4 11 4 11 4 11 4 11  【奥数拓展七】圆周滚动问题其二。 如图所示，一条直线上放着一个长方形，它长 8厘米、宽 6厘米，对角线恰好是 10厘米，让这个长方形每次顺时针旋转 90°，连续旋转四次后 A 点到了 E 点的 位置，求 A点走过的路程总长(圆周率取 3)。 解析： 6²+8²=CF²，CF=10(厘米) 4 1 ×3×6×2+ 4 1 ×3×10×2+ 4 1 ×3×8×2=36(厘米) 答：A点走过的路程总长是 36厘米。 【专项训练】 1.等边三角形 ABC 的边长是 9厘米，现在将三角形沿着一条直线翻滚 10 次(如 图 所示)，求 A点经过的路程长。 17 / 23 解析： （厘米））（ 88.131 360 1203 360 2402914.3  2.有一只狗被拴在一间小房子的墙角上(如图所示)，这间小房子的底面是一个边 长为 6米的正方形，拴小狗的绳长 20米，小狗从 A点出发，将绳子拉紧顺时针 跑，最多可跑多少米? 解析： 如图，当狗沿顺时针方向跑 90度时，有 6米的绳子将与小房子贴紧，同样，每 次跑的时候，都有 6米的绳子与小房子贴紧，这样就得到四条弧，每条弧的圆心 角都是 90度，半径分别是 20米、14米、8米、2米，分别求出弧长再相加就可 以了。 弧 AB：3.14×20×2÷4 =31.4(米)； 弧 BC：3.14×14×2÷4 =21.98(米)； 弧 CD：3.14×8×2÷4=12.56(米)； 弧 DE：3.14×2×2÷4=3.14(米)； 狗最多跑：31.4+21.98+12.56+3.14=69.08(米) 18 / 23 3.一个边长为 100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形 的周长是多少厘米(π取 3.14)? 解析：2384厘米。 【奥数拓展八】割补法求阴影部分的面积。 如图 1 所示，正方形的边长为 8 厘米，A和 B分别是两条边长的中点，求阴影 部分的面积。 解析： 因为 A和 B分别是边长的中点，所以上下两个长方形完全一样，而图 1中阴影 部分的面积又可以分为两部分：上面是一个半圆，下面的部分可以看作从一个长 方形中减去两个扇形的面积，两个扇形拼在一起相当于上面一个半圆，因此，我 们可以将阴影部分割拼成一个长方形(如图 2所示)，它的面积正好是正方形面积 的一半， 8×8÷2=32(平方厘米) 答：阴影部分的面积是 32平方厘米。 19 / 23 【专项训练】 1.学校的大标语上要画出如下图所示(图形阴影部分)的标点符号——逗号。已知 其中大圆半径为 10厘米，则这个“逗号”的面积为多少平方厘米?(其中圆周率 取 3.14) 解析： 不难发现图中阴影“逗号”的面积恰好等于大圆面积的一半 2 1 ×3.14×10²=157(平方厘米) 2.求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 解析： 3.14×6²÷4=28.26(平方厘米) 3.如图所示，这是一个扇形和半圆相交组成的图形，半圆的半径是 5厘米，求阴 影部分的面积。 20 / 23 解析： 3.14×(5×2)²× 360 45 - 2 1 ×5×2×5=14.25(平方厘米) 【奥数拓展九】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理）。 有一块正方形的草地(如图所示),边长是 4米，A、C两个顶点处各拴一只羊， 每 只羊的羊绳长 4米，那么，两只羊都能吃到草的区域面积是多少? 解析： 3.14×4²÷2-4×4=25.12—16=9.12(平方米) 答：两只羊都能吃到草的区域面积是 9.12平方米。 【专项训练】 1.图中阴影部分甲的面积比乙的面积多 28平方厘米，AB长 40厘米，CB垂直于 AB，求 BC的长。 解析： [3.14×(40÷2)²÷2-28]×2÷40=30(厘米) 2.如图所示，求阴影部分甲比阴影部分乙的面积小多少平方厘米?(单位：厘米) 21 / 23 解析： 3.14×6²× 360 50 -6×5÷2=0.7(平方厘米) 3.如图所示，边长为 2厘米的正方形中有一个半圆和一个直角扇形，两个阴影部 分的面积之差为多少平方厘米?(π取 3.14) 解析： (2÷2)²π÷2—(2×2-2²π÷4) ==1.57—0.86 =0.71(平方厘米) 【奥数拓展十】整体法求阴影部分面积。 右图中的阴影部分面积是 25平方厘米，求圆环的面积。 解析： π×R²—π×r²=π×(R²—r²)=3.14×50=157(平方厘米) 22 / 23 答：圆环的面积为 157平方厘米。 【专项训练】 1.数学实践活动课上，小芳在一张圆形纸片内画了一个直角三角形，如图所示， 如果直角三角形的面积是 40平方厘米，那么圆形纸片的面积是多少平方厘米? 解析： r×r÷2=40，r²=80，3.14×80=251.2(平方厘米) 2.下图中阴影部分的面积是 40平方厘米，求环形的面积。 解析： 3.14×(R²-r²)=3.14×40=125.6(平方厘米) 3.如图所示，涂阴影的三角形的面积是 30平方厘米，圆的面积是多少平方厘米? 解析： 2r×r÷2=30，r²=30 23 / 23 所以，圆的面积是 3.14×30=94.2(平方厘米)。 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月20日 目 录 【课内精选一】对称轴与轴对称图形 3 【课内精选二】等长转化问题 4 【课内精选三】等积转化问题 5 【课内精选四】半圆的面积 6 【课内精选五】拼接法求阴影部分的面积 7 【奥数拓展一】圆与图案设计 9 【奥数拓展二】半径直径与周长的关系 10 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长其一 11 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长其二 12 【奥数拓展五】含圆的组合图形周长其三 13 【奥数拓展六】圆周滚动问题其一 15 【奥数拓展七】圆周滚动问题其二 16 【奥数拓展八】割补法求阴影部分的面积 18 【奥数拓展九】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理） 20 【奥数拓展十】整体法求阴影部分面积 21 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】对称轴与轴对称图形。 在我们学过的平面图形中，哪些是轴对称图形?分别有几条对称轴? 解析： 长方形：两条对称轴； 正方形：四条对称轴； 等腰三角形：一条对称轴； 等边三角形：三条对称轴； 等腰梯形：一条对称轴； 圆：无数条对称轴 同学们可以在纸上画出上面几个图形的对称轴。 【专项训练】 1.平行四边形一定是轴对称图形吗?它什么时候可以成为轴对称图形呢? 解析： 不一定，当此平行四边形为长方形、正方形或菱形时，是轴对称图形，否则不是轴对称图形。 2.画出下面图形的对称轴。 解析： 3.画出下面不规则五角星的对称轴。 解析： 【课内精选二】等长转化问题。 用一根铁丝可以围成一个长21.4厘米、宽10厘米的长方形(接头处不计)，如果将这根铁丝改围成一个圆形，这个圆形的半径是多少? 解析： (21.4+10)×2=62.8(厘米) 62.8÷3.14÷2=10(厘米) 答：这个圆形的半径是10厘米。 【专项训练】 1.用一根绳子可以围成一个长10米、宽5.7米的长方形(接头处不计)，如果将这根绳子改围成一个圆形，这个圆形的直径是多少米? 解析：(10+5.7)×2=31.4(米)，31.4÷3.14=10(米) 2.晨晨用一根线围成一个长方形，长与宽的和是18.84厘米，如果将这根线改围成一个圆形，这个圆形的半径是多少? 解析：18.84×2=37.68(厘米)，37.68÷3.14÷2=6(厘米) 3.王大爷用一批篱笆可以围成一个直径是10米的羊圈，现在他想把篱笆改围成一个面积最大的长方形(含正方形)羊圈，新羊圈的边有多长? 解析：10×3.14=31.4(米)，31.4÷4=7.85(米) 【课内精选三】等积转化问题。 如图，圆的周长是24厘米，圆的面积等于长方形的面积，求图中阴影部分的周长是多少厘米? 解析： 24+24×=30(厘米) 答：图中阴影部分的周长是30厘米。 【专项训练】 1.图中圆的面积等于长方形的面积，圆的周长是30厘米，求图中阴影部分的周长是多少厘米? 解析： 30+30÷4=37.5(厘米) 所以，阴影部分的周长是37.5厘米。 2.圆的面积计算公式是通过把圆转化成长方形推导出来的，如图所示，把一个圆转化成长方形后，长方形的周长比圆的周长多8厘米，长方形的周长是多少厘米? 解析： 8+3.14×8=33.12(厘米) 所以，长方形的周长是33.12厘米。 3.铭铭把一张圆形纸片平均分成若干等份，然后拼成一个近似的长方形，已知这个长方形的周长是41.4厘米，求圆形纸片的半径。 解析： 因为“长方形的周长=圆的周长十半径×2”，即长 方形的周长=半径×6.28+半径×2=8.28×半径，所以，半径=长方形的周长÷8.28,即41.4÷8.28=5(厘米)。 【课内精选四】半圆的面积。 有一个半圆形的零件如图所示，周长是25.7厘米，求这个半圆形零件的面积。 解析： 25.7÷5.14=5(厘米) 3.14×5²÷2=39.25(平方厘米) 答：这个半圆形零件的面积是39.25平方厘米。 【专项训练】 1.一个半圆形的周长是51.4厘米，求这个半圆形的面积。 解析： 51.4÷(π+2)=10(厘米) 3.14×10²÷2=157(平方厘米) 2.一个半圆的半径是7厘米，求它的周长和面积。 解析： 7×(π+2)=35.98(厘米) 3.14×7²÷2=76.93(平方厘米) 3.如图所示，这个圆的周长是17.85厘米，求它的面积。 解析： 周长是r+r+2r=3.57r,17.85÷3.57=5(厘米) 3.14×5²÷4=19.625(平方厘米) 所以，它的面积是19.625平方厘米。 【课内精选五】拼接法求阴影部分的面积。 图中的3个圆完全一样，面积都是150平方厘米，求阴影部分的面积。 解析： 150÷2=75(平方厘米) 答：阴影部分的面积是75平方厘米。 【专项训练】 1.图中的3个圆完全一样，面积都是85平方厘米，求阴影部分的面积。 解析： 85÷2=42.5(平方厘米) 2.图中每个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。 解析： 3.14×5²=78.5(平方厘米) 3.图中每个圆的半径都是6厘米，求阴影部分的面积。 解析： 五个阴影部分的角度和是(5-2)×180°=540° 3.14×6²×=169.56(平方厘米) 【奥数拓展一】圆与图案设计。 给你两个完全相同的圆，设计一个只有两条对称轴的图形。 解析： 【专项训练】 1.请你利用一个圆和一个正方形，设计一个有四条对称轴的图形。 解析： 方法不唯一。 2.画两个圆，使组成的图形有无数条对称轴。 解析： 方法不唯一。 3.如图所示，4×4的方格中至少要再将几个白正方形格涂黑，才能使得着色的图 形为轴对称图形.请在图中画出涂黑的方格。 解析： 【奥数拓展二】半径直径与周长的关系。 如图所示，在1个大圆内有3个小圆，其直径之和等于大圆的直径，请问：大圆周长与这3个小圆周长之和，哪个长，为什么? 解析：大圆周长与所有小圆周长之和相等。 【专项训练】 1.如图所示，从A点到C点，沿着大圆周走近还是沿着小、中圆周走近? 解析：相等。 2.两只蚂蚁比赛，一只跑内圈2个半圆，另一只跑外圈一个半圆，如图所示，如果它们的速度相同，谁会赢?为什么? 解析：同时到达。 3.已知线段AB长30厘米，如图所示，求图中所有圆的周长和。 解析：3.14×30=94.2(厘米) 【奥数拓展三】含圆的组合图形周长其一。 图1是一个零件的横截面，求这个横截面的周长(单位：厘米)。 解析： 12×4+3.14×6×2=48+37.68=85.68(厘米) 答：这个零件横截面的周长是85.68厘米。 【专项训练】 1.求下面这个图形的周长(单位：厘米)。 解析： 将原图形的周长看成一个长方形与两个圆形的周长之和。 (8+4)×2+3.14×3×2=24+18.84=42.84(厘米) 所以，图形的周长是42.84厘米。 2.如右图，求图形的周长(单位：厘米)。 解析： 将图形看成是三个半径为3厘米的圆与两个半径为 2厘米的圆的周长和 3.14×3×2×3+3.14×4×2=3.14×26=81.64(厘米) 所以，图形的周长是81.64厘米。 3.如图所示，这是一个大型的花坛，大圆的半径是7米，请你算出涂色部分的周长。 解析： 涂色部分的周长实质就是四个小圆的周长和7×π×4=28π=87.92(米) 所以，涂色部分的周长为87.92米。 【奥数拓展四】含圆的组合图形周长其二。 把3根底面直径为6厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆一圈至少要用多长的铁丝(接头处长8厘米)? 解析： 3.14×6+6×3+8=18.84+18+8=44.84(厘米) 答：捆一圈至少要用44.84厘米长的铁丝。 【专项训练】 1.把3根底面半径为4厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧地捆在一起，捆两圈至少要用多长的铁丝(接头处不计)? 解析：4×2=8(厘米)，(3.14×8+8×3)×2=98.24(厘米) 2.图中两个完全相同的圆紧靠在一起，半径都是2.5厘米.求阴影部分的周长。 解析：2.5×2×3.14+2.5×2×2=25.7(厘米) 3.有4段同样的圆木，横截面圆的半径是10厘米，用绳子将它们捆起来(如图所示)，只需要捆1圈，打结处需要15厘米的绳子，那么，共需要多少厘米长的绳子? 解析： 将绳子的长度看成4条直径与一个圆的周长和，再加上打结处的长度 3.14×10×2+10×2×4+15=157.8(厘米) 【奥数拓展五】含圆的组合图形周长其三。 求右图阴影部分的周长(单位：厘米)。 解析： 2×3.14×6=37.68(厘米) 答：阴影部分的周长是37.68厘米。 【专项训练】 1.图中的两个圆完全一样，半径为20厘米，求这个组合图形的周长。 解析 2×3.14×20××2=188.4(厘米) 2.图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C，AE=4米，点B是 AE的中点，那么阴影部分的周长是多少米?(π取3) 解析： 4+3×4×2÷4+3×2×2÷4=13(m) 3.一个正方形、一个半圆、两个扇形拼成了如图的图形，如果正方形的边长是100厘米，那么这个图形的周长是多少厘米?(π取3.14) 解析： 100+100×2×3.14÷4+100×2×2×3.14÷4+100×3×3.14÷2 =100+157+314+471 =1042(厘米) 【奥数拓展六】圆周滚动问题其一。 如图所示，A圆的半径为3厘米，B圆的半径为4厘米，如 果A圆不动，B圆沿A圆的圆周滚动，当B圆滚到原处时，B 圆自身滚动了多少圈? 解析： 【专项训练】 1.有A、B两个圆，A圆的半径为2厘米，B圆的半径为5厘米，如果A圆不动，B圆沿A圆的圆周滚动，当B圆滚到原处时，B圆自身滚动了多少圈? 解析： 2.有甲、乙两个圆，甲圆的半径为a厘米，乙圆的半径为b厘米，如果甲圆不动，乙圆沿甲圆滚动到原处，乙圆自身转动的圈数是多少? 解析： 3.正方形ABCD的边长正好等于1元硬币的周长，正方形不动，将硬币沿着正方形的边滚动(如图所示)，当硬币第一次回到原处，它自转了几圈?(提示：用一个硬币做一次滚动实验，注意从正方形的一边滚到了另一条边硬币自转了几圈) 解析： 【奥数拓展七】圆周滚动问题其二。 如图所示，一条直线上放着一个长方形，它长8厘米、宽6厘米，对角线恰好是 10厘米，让这个长方形每次顺时针旋转90°，连续旋转四次后A点到了E点的位置，求 A点走过的路程总长(圆周率取3)。 解析： 6²+8²=CF²，CF=10(厘米) ×3×6×2+×3×10×2+×3×8×2=36(厘米) 答：A点走过的路程总长是36厘米。 【专项训练】 1.等边三角形ABC的边长是9厘米，现在将三角形沿着一条直线翻滚10次(如图 所示)，求A点经过的路程长。 解析： 2.有一只狗被拴在一间小房子的墙角上(如图所示)，这间小房子的底面是一个边 长为6米的正方形，拴小狗的绳长20米，小狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针 跑，最多可跑多少米? 解析： 如图，当狗沿顺时针方向跑90度时，有6米的绳子将与小房子贴紧，同样，每次跑的时候，都有6米的绳子与小房子贴紧，这样就得到四条弧，每条弧的圆心 角都是90度，半径分别是20米、14米、8米、2米，分别求出弧长再相加就可以了。 弧AB：3.14×20×2÷4 =31.4(米)； 弧BC：3.14×14×2÷4 =21.98(米)； 弧CD：3.14×8×2÷4=12.56(米)； 弧DE：3.14×2×2÷4=3.14(米)； 狗最多跑：31.4+21.98+12.56+3.14=69.08(米) 3.一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形 的周长是多少厘米(π取3.14)? 解析：2384厘米。 【奥数拓展八】割补法求阴影部分的面积。 如图1所示，正方形的边长为8厘米，A和B分别是两条边长的中点，求阴影部分的面积。 解析： 因为A和B分别是边长的中点，所以上下两个长方形完全一样，而图1中阴影部分的面积又可以分为两部分：上面是一个半圆，下面的部分可以看作从一个长方形中减去两个扇形的面积，两个扇形拼在一起相当于上面一个半圆，因此，我 们可以将阴影部分割拼成一个长方形(如图2所示)，它的面积正好是正方形面积的一半， 8×8÷2=32(平方厘米) 答：阴影部分的面积是32平方厘米。 【专项训练】 1.学校的大标语上要画出如下图所示(图形阴影部分)的标点符号——逗号。已知 其中大圆半径为10厘米，则这个“逗号”的面积为多少平方厘米?(其中圆周率 取3.14) 解析： 不难发现图中阴影“逗号”的面积恰好等于大圆面积的一半 ×3.14×10²=157(平方厘米) 2.求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 解析： 3.14×6²÷4=28.26(平方厘米) 3.如图所示，这是一个扇形和半圆相交组成的图形，半圆的半径是5厘米，求阴影部分的面积。 解析： 3.14×(5×2)²×-×5×2×5=14.25(平方厘米) 【奥数拓展九】容斥法求阴影部分的面积（容斥原理）。 有一块正方形的草地(如图所示),边长是4米，A、C两个顶点处各拴一只羊， 每只羊的羊绳长4米，那么，两只羊都能吃到草的区域面积是多少? 解析： 3.14×4²÷2-4×4=25.12—16=9.12(平方米) 答：两只羊都能吃到草的区域面积是9.12平方米。 【专项训练】 1.图中阴影部分甲的面积比乙的面积多28平方厘米，AB长40厘米，CB垂直于 AB，求BC的长。 解析： [3.14×(40÷2)²÷2-28]×2÷40=30(厘米) 2.如图所示，求阴影部分甲比阴影部分乙的面积小多少平方厘米?(单位：厘米) 解析： 3.14×6²×-6×5÷2=0.7(平方厘米) 3.如图所示，边长为2厘米的正方形中有一个半圆和一个直角扇形，两个阴影部分的面积之差为多少平方厘米?(π取3.14) 解析： (2÷2)²π÷2—(2×2-2²π÷4) ==1.57—0.86 =0.71(平方厘米) 【奥数拓展十】整体法求阴影部分面积。 右图中的阴影部分面积是25平方厘米，求圆环的面积。 解析： π×R²—π×r²=π×(R²—r²)=3.14×50=157(平方厘米) 答：圆环的面积为157平方厘米。 【专项训练】 1.数学实践活动课上，小芳在一张圆形纸片内画了一个直角三角形，如图所示，如果直角三角形的面积是40平方厘米，那么圆形纸片的面积是多少平方厘米? 解析： r×r÷2=40，r²=80，3.14×80=251.2(平方厘米) 2.下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求环形的面积。 解析： 3.14×(R²-r²)=3.14×40=125.6(平方厘米) 3.如图所示，涂阴影的三角形的面积是30平方厘米，圆的面积是多少平方厘米? 解析： 2r×r÷2=30，r²=30 所以，圆的面积是3.14×30=94.2(平方厘米)。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$