5.3 一元一次方程的解法-【一课通】2024-2025学年七年级上册数学随堂小练习(青岛版2024)

&!$!一元一次方程的解法 第 " 课时!解简单的一元一次方程 "边学边练# 知识点#解简单的一元一次方程 "!下列方程中%直接用合并同类项可解的是 "### ## ######### ######## ######H".M1!&.O* G$. 3"%.G$.O! ,"&3M$3O%3M( K" .M! $ O ! ' M(! #!下列解方程中%合并同类项正确的是 "### H"由 '.G.OG$ M'%得 %.O* 3"由 $ % .M$.OG' G&%得 + % .OG) ,"由 & $ G ! ' OG.M $ % .%得 ) ' O ! % . K"由G$.M%.O! G*%得.O& $!解下列方程' "!#&.M'.O!+( "$# G*.M%.OG! G+( "%#(!&.G$!&.M%.OG+ F$' "随堂小测# "!对任意四个有理数 ,%*%-%=定义新运算$ ,#* -#= O,= G*-%已知 $.#G' .# #! O!+%则.O "### H"G! 3"$ ,"% K"' #!"教材.!!'U( 改编题$有一列数%按一定的规律排列成 ! % % G!%%% G)%$(% G+!%&' 若其中某三个相邻数的和为G&*(%则这三个数中第一个数为####' #& $!判断下列方程的求解过程是否正确%如果不正确%请给出正确的解答' "!# G*.M%.OG! G+' 解$合并同类项%得G).OG)' 系数化为 !%得.O!' ##### "$#&.M'.O!+' 解$合并同类项%得 ).O!+' 系数化为 !%得.O ! $ ' %!"新素养#模型观念$小红把 !'1 <@长的铁丝分成 $ 段%分别做成两个正方形的数 学模型%已知两个正方形的边长比为 % ]'%那么这两个正方形的边长分别为多少/ &!我国是一个淡水资源严重缺乏的国家%有关数据显示%中国人均淡水资源占有量仅为 美国人均淡水资源占有量的 ! & %中!美两国人均淡水资源占有量之和为 !% +11 @%%问$ 中!美两国人均淡水资源占有量各为多少/ "单位$@%# '!"新考法#数学文化$+九章算术,中记载了这样一道题$今有牛!马!羊食人苗' 苗 主责之粟五斗%羊主曰$)我羊食半马'*马主曰$)我马食半牛'*大意是$现在有一头 牛!一匹马!一只羊吃了别人家的禾苗' 禾苗的主人要求这些动物的主人共计赔偿五 斗粟' 羊的主人说$)我家羊只吃了马吃的禾苗的一半'*马的主人说$)我家马只吃了 牛吃的禾苗的一半'*按此说法%羊的主人应当赔偿给禾苗的主人几斗粟/ $& 第 # 课时!解需要移项的一元一次方程 "边学边练# 知识点一#移项 "!解方程 *.G& O.G! 时%可将方程变形为 *.G.OG! M&%其依据是 "### ## ######### ######## ######H"等式的基本性质 ! 3"等式的基本性质 $ ,"加法交换律 K"加法结合律 #!下列解方程的过程中%移项错误的是 "### H"方程 $.M* OG% 变形为 $.OG* M% 3"方程 $.G* OG% 变形为 $.OG% M* ,"方程 %.O' G.变形为 %.M.O' K"方程 ' G.O%.变形为.M%.O' 知识点二#用移项的方法解一元一次方程 $!如图是解一元一次方程的过程%) *所代表的内容是 "### H"M$. 3"G$. ,"M ! $ . K"G ! $ . %!解方程' "!#1!1&.G1!%! O1!!$.M$( "$# G%.M( O&.G)' "随堂小测# "!下列变形符合方程的变形规则的是 "### H"由 $.G% O(%移项%得 $.O( G% 3"由 %.G$ O.M!%移项%得 %.G.O! G$ ,"由G%.O&%移项%得.O& M% K"由G ! ' .O!%系数化为 !%得.OG' #!方程 $.G! O'.M! 的根为 "### H"G! 3"1 ,"! K"$ %& $!小亮在做作业时%不小心将墨水洒在了作业纸上%导致方程 %".G$# G O .中的一个常数被污染%同桌说正确答案为.O&%则被污染的常数为 "### H"* 3"& ,"' K"% %!"新考法#数学文化$+九章算术,一书中记载了一道题$今有共买鸡%人出九%盈十 一(人出六%不足十六' 问人数!物价各几何' 题意是$有若干人一起买鸡%如果每人 出 ) 文钱%就多出 !! 文钱(如果每人出 * 文钱%就差 !* 文钱%则买鸡的人数和鸡的 钱数各为 "### H"*%*! 3"(%** ,")%*) K")%(1 &!若代数式 &.G! 的值与G$ 互为相反数%则.O####' '!某同学在解关于 .的方程 %, O$.M!& 时%在移项过程中 $.O%, M!& 没有改变符 号%得到的方程的解为.O%%求 ,的值及原方程的解' (!"新素养#模型观念$某工人在一定时间内加工一批零件%若每天加工 '' 个%则总 量比规定任务少 $1 个(若每天加工 &1 个%则总量超额 !1 个%求规定加工的零件个 数和计划加工的天数' )!"新素养#几何直观$一个如图所示的长方形%恰好被分成 * 个正方形%已知最小的 正方形H的面积为 !' "!#求正方形 的̂边长( "$#求长方形的面积' && 第 $ 课时!解含括号或分母的一元一次方程 "边学边练# 知识点一#去括号解一元一次方程 "!解方程"%.M$# G$"$.G!# O!%去括号的结果正确的是 "### ## ######### ######## ######H"%.M$ G$.M! O! 3"%.M$ G'.M! O! ,"%.M$ G'.G$ O! K"%.M$ G'.M$ O! #!解方程' "!#$.M%"$.G!# O!* G".M!#( "$#' G$".M'# O$".G!#' 知识点二#去分母解一元一次方程 $!解方程 . % O! G .G! & %去分母的结果正确的是 "### H"&.O% G%".G!# 3".O! G"%.G!# ,"&.O! G%".G!# K"&.O!& G%".G!# %!将方程 3M$ ' M $3G! * O! 去分母得到 %3M$ M'3G! O!$%错在#########' &!解方程' "!# .G( ' G &.M+ $ O!( "$# &.M! % O! M $.G! * ' "随堂小测# "!下列变形%正确的是 "### %!由 %.M( O%$ G$.%移项%得 %.G$.O%$ M( 3"由 $.G".M!1# O&.%去括号%得 $.G.M!1 O&. ,"由 %.G(.M$.O%%合并同类项%得G*.O% K"由 %.O% G $.G! % %去分母%得 ).O) G"$.G!# '& #!按右图的程序计算%如果输入的 .的值每增加 $%输出的值就减少 %%则 $的值为 "### H"$ 3"G% ,"G $ % K"G % $ $!与方程.G $.G% % OG! 的解相同的方程是 "### H"%.G$.M$ OG! 3"%.G$.M% OG% ,"$".G&# O! K" ! $ .G% O1 %!若) ( *表示一种新运算%规定 , ( *O, F*G", M*#%若" G$# ( "! M.# OG.M*% 则.的值为####' &!"新素养#运算能力$解方程' "!#! G %.G! ' O % M. $ ( "$# 1!& M. 1!% G! O 1!(.G%!! 1!$ ' '!"新考法#阅读理解$在解一元一次方程时%巧妙利用整体法%可以达到简化计算的 效果' 例如&在解方程 ("$.M!$ G!1"$.M!$ M+ O$.M! 时%把 $.M! 看作一个整体) 令 , O$.M!%得 (, G!1, M+ O,) 移项%得 (, G!1, G, OG+) 合并同类项%得G', OG+) 系数化为 !%得 , O$) 故 $.M! O$%解得.O ! $ ) 阅读以上材料%请用同样的方法解方程$$ 1$+"(.G!# M$ 1$("! G(.# G& O!'.G$' (& '!解%"!#当.O$ 时%左边O % $ %右边O1' 因为左边 + 右边%所以.O$ 不是方程的解' "$#当.OG! 时%左边OG%%右边OG%' 因为左边O右边%所以.OG! 是方程的解' "随堂小测# "!3##!H#$!3 %!.G . $ ( )G! G ! $ . $ ( )M![ ]M! O% &!+.M'"&1 G.# O$++ '!解%"!#当.O! 时%左边O$ F! M& O$ M& O(%右边O !1 F! G% O!1 G% O(' 因为左边O右边%所以.O! 是方程的解' "$#当.O1 时%左边 O$ F"1 G!# G ! $ F"1 M!# O G$ G ! $ OG$!&%右边O% F"1 M!# G ! % F"1 G!# O % M ! % O !1 % ' 因为左边 + 右边%所以.O1 不是方程的解' (!解%设该中学七年级人数为.%则八年级人数为.G'1' 列方程%得.M".G'1# O! 111' 估计问题的解为.O&$1' 答$该中学七年级人数为 &$1' )!解%因为当.O1 时%%".M!# G(.O% R$!$%当 .O! 时%%".M!# G(.OG! S$!$% 所以.取 1 和 ! 之间的数%而且更接近 1 的数' 第三次取 1!'%则 %".M!# G(.O!!'%还是大了% 第四次取 1!$%则 %".M!# G(.O$!$%正好与右边 相等' 所以方程的解为.O1!$' &!#!等式的基本性质 "边学边练# "!,##!3 $!(!& "随堂小测# "!K##!K $!H#"解析#设 % 的质量是 ,% ( 的质量是*% , 的质量 是-) 根据 " %得 $, O$*) 根据等式的基本性质 $%等 式两边都除以 $%得 , O*.根据等式的基本性质 !%等 式两边都加上*M-%得 , M*M-O*M*M-) ' 中天平 左侧的质量为 , M*M-%右侧的质量为 *M*M-%左侧 的质量O右侧的质量% ' 中天平能平衡) 故选H) %!- + ! &!S#"解析#两边都减去"'#M("$%得 +#M%" M$ G "'#M("$ O1%即 '#G'" M$ O1) 两边都减去 G$% 得 '#G'" OG$) 两边都除以 '%得 #G" OG ! $ ) 所以#G" S1%即#S") '!解%"!#若 %.M! O$%则 %.O$ G!%应用的是等式的基 本性质!%变形的方法是两边都减去 !' "$#若G$.OG*%则.O%%应用的是等式的基本性质 $%变形的方法是两边都除以G$' "%#若 $".G!# O'%则.G! O$%应用的是等式的基本 性质 $%变形的方法是两边都除以 $' (!解%"!#等式的基本性质 ! "$#等式的基本性质 $ "%#等式的基本性质 $ "'#等式的基本性质 ! "&#等式的可逆性 "*#等式的传递性 )!解%"!#等式的基本性质 ! "$# ( #等式两边都除以."实质它是 1# "%#等式两边都加上G%.M'%得.G' G%.M' O%.G' G%.M'%即G$.O1' 等式两边都除以G$%得.O1' &!$!一元一次方程的解法 第 " 课时!解简单的一元一次方程 "边学边练# "!3##!3 $!解%"!#合并同类项%得 ).O!+' 系数化为 !%得.O$' "$#合并同类项%得G%.OG)' 系数化为 !%得.O%' "%#合并同类项%得 +.OG!*' 系数化为 !%得.OG$' "随堂小测# "!,#"解析#因为 ,#* -#= O,= G*-% $.# G' .# #! O!+%所 以$.M'.O!+%即.O%) 故选,) #!G+!#"解析#设这三个数中第一个数为 .%则另外两 个数分别为 G%.%).) 根据题意%得 .G%.M).O G&*() 解得.OG+! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ) $!! $!解%"!#不正确' 正确解答如下$ 合并同类项%得G%.OG)' 系数化成 !%得.O%' "$#不正确' 正确解答如下$ 合并同类项%得 ).O!+' 系数化成 !%得.O$' %!解%设这两个正方形的边长分别为 %.<@%'.<@' 根据题意%得 ' F%.M' F'.O!'1%即 !$.M!*.O!'1' 合并同类项%得 $+.O!'1' 系数化成 !%得.O&' 因此 %.O!&%'.O$1' 答$这两个正方形的边长分别为 !& <@%$1 <@' &!解%设美国人均淡水资源占有量为 .@%%则中国人均 淡水资源占有量为 ! & .@ % ' 根据题意%得.M ! & .O!% +11' 解得.O!! &11' 因此 ! & .O$ %11' 答$中!美两国人均淡水资源占有量各为 $ %11 @%% !! &11 @ % ' '!解%设羊的主人赔 .斗%则马的主人赔 $.斗%牛的主 人赔 '.斗' 根据题意%得.M$.M'.O&' 解得.O & ( ' 答$羊的主人应当赔偿给禾苗的主人 & ( 斗粟' 第 # 课时!解需要移项的一元一次方程 "边学边练# "!H##!H $!H#"解析#因为 &.O+ G$.%所以 &.M$.O+ G$.M $.%即 &.M$.O+) 所以 * +所代表的内容是 M$.)故选H) %!解%"!#移项%得 1!1&.G1!!$.O$ M1!%!' 合并同类项%得G1!1(.O$!%!' 系数化为 !%得.OG%%' "$#移项%得G%.G&.OG) G(' 合并同类项%得G+.OG!*' 系数化为 !%得.O$' "随堂小测# "!K #!H#"解析#移项%得 $.G'.O! M!) 合并同类项%得 G$.O$) 系数化为 !%得.OG!) 故选H) $!,#"解析#设被污染的常数为 ,%把 .O& 代入方程 %".G$$ G, O.%得 % F"& G$$ G, O&) 解得 , O') 所以被污染的常数为 ') 故选,) %!K#"解析#设买鸡的人数为.) 根据题意%得 ).G!! O *.M!*) 解得 .O)) 所以 ).G!! O) F) G!! O(1) 所以买鸡的人数为 )%买鸡的钱数为 (1) 故选K) &! % & #"解析#根据题意%得 &.G! M" G$$ O1) 解得 .O % & ) '!解%根据题意%得 .O% 是关于 .的方程 $.O%, M!& 的解' 所以 $ F% O%, M!&' 解得 , OG%' 把 , OG% 代入原方程%得 % F" G%# O$.M!&%所以 $.OG$'%即.OG!$' 因此%,的值为G%%原方程的解为.OG!$' (!解%设计划加工的天数为.' 根据题意%得 ''.M$1 O&1.G!1' 解得.O&' 所以 &1.G!1 O$'1' 答$规定加工的零件个数为 $'1%计划加工的天数 为 &' )!解%"!#设正方形 的̂边长为.%则正方形K的边长为 ".M!#%正方形,的边长为".M$#%正方形3的边长 为".M%#' 根据题意%得.M% M.M$ O.M.M.M!' 解得.O'' 答$正方形 的̂边长为 '' "$#由"!#知%该长方形的面积为"' M% M' M$# F "' M% M'# O!'%' 第 $ 课时!解含括号或分母的一元一次方程 "边学边练# "! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! K %!! #!解%"!#去括号%得 $.M*.G% O!* G.G!' 移项%得 $.M*.M.O!* G! M%' 合并同类项%得 ).O!+' 系数化为 !%得.O$' "$#去括号%得 ' G$.G+ O$.G$' 移项%得G$.G$.OG$ G' M+' 合并同类项%得G'.O$' 系数化为 !%得.OG1!&' $!K %!去分母时%分子部分没有加括号 &!解%"!#去分母%得".G(# G$"&.M+# O'' 去括号%得.G( G!1.G!* O'' 移项%得.G!1.O' M( M!*' 合并同类项%得G).O$(' 系数化为 !%得.OG%' "$#去分母%得 $"&.M!# O* M"$.G!#' 去括号%得 !1.M$ O* M$.G!' 移项%得 !1.G$.O* G! G$' 合并同类项%得 +.O%' 系数化为 !%得.O % + ' "随堂小测# "!K #!K#"解析#根据题意%得$.M& G'$".M$$ M&( O%) 整理%得G$$O%) 解得$OG % $ ) 故选K) $!3#"解析#.G $.G% % OG!%去分母%得 %.G"$.G%$ O G%) 去括号%得 %.G$.M% OG%) 移项!合并同类 项%得.OG*) H项 %.G$.M$ OG! 的解为.OG%. 3项 %.G$.M% OG% 的解为.OG*.,项 $".G&$ O ! 的解为 .O !! $ .K项 ! $ .G% O1 的解为 .O*) 故 选3) %!G ( $ #"解析#根据题意%得 G$ F"! M.$ G" G$ M ! M.$ OG.M*) 去括号%得G$ G$.M! G.OG.M*% 解得.OG ( $ ) &!解%"!#去分母%得 ' G"%.G!# O$"% M.#' 去括号%得 ' G%.M! O* M$.' 移项%得G%.G$.O* G' G!' 合并同类项%得G&.O!' 系数化为 !%得.OG ! & ' "$#原方程化为 & M!1. % G! O (.G%! $ % 去分母%得 $"& M!1.# G* O%"(.G%!#' 去括号%得 !1 M$1.G* O$!.G)%' 移项%得 $1.G$!.OG)% G!1 M*' 合并同类项%得.O)(' '!解%方程整理%得 $ 1$+"(.G!# G$ 1$("(.G!# G& O $"(.G!#' 令 , O(.G!%得 $ 1$+, G$ 1$(, G& O$,' 移项%得 $ 1$+, G$ 1$(, G$, O&' 合并同类项%得G, O&' 系数化为 !%得 , OG&' 故 (.G! OG&%解得.OG ' ( ' 小专题 &!解一元一次方程的类型总结 "!K #!H#"解析#解方程 '.O%".G!$ M'".G%$%得.O&% 则方程 #.G& O%#的解为 .O*) 代入方程可得 *#G& O%#%解得#O & % ) 故选H) $!K#"解析#整理"$G$ 1$+$.G$ 1$* O* G$ 1$+".M !$%得$.O') 因为.%$均为整数%所以当.ON! 时% $ON'.当.ON$ 时%$ON$.当 .ON' 时%$ON!) 所以$的取值共有 * 个) %!解%"!#移项%得 &.G%.OG!& G%' 合并同类项%得 $.OG!+' 系数化为 !%得.OG)' "$#移项%得 1!&.M!!%.O*!& M1!(' 合并同类项%得 !!+.O(!$' 系数化为 !%得.O'' "%#去括号%得 !1.G$1 G*.G!& O!' 移项%得 !1.G*.O! M$1 M!&' 合并同类项%得 '.O%*' 系数化为 !%得.O) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ' &!!